Renormalization methods in KAM theory

It is well known that an integrable (in the sense of Arnold-Jost) Hamiltonian system gives rise to quasi-periodic motion with trajectories running on invariant tori. These tori foliate the whole phase space. If we perturb an integrable system, the Kolmogorow-Arnold-Moser (KAM) theorem states that, provided some non-degeneracy condition and that the perturbation is sufficiently small, most of the invariant tori carrying quasi-periodic motion persist, getting only slightly deformed. The measure of the persisting invariant tori is large together with the inverse of the size of the perturbation. In the first part of the thesis we shall use a Renormalization Group (RG) scheme in order to prove the classical KAM result in the case of a non analytic perturbation (the latter will only be assumed to have continuous derivatives up to a sufficiently large order). We shall proceed by solving a sequence of problems in which theperturbations are analytic approximations of the original one. We will finally show that the approximate solutions will converge to a differentiable solution of our original problem. In the second part we will use an RG scheme using continuous scales, so that instead of solving an iterative equation as in the classical RG KAM, we will end up solving a partial differential equation. This will allow us to reduce the complications of treating a sequence of iterative equations to the use of the Banach fixed point theorem in a suitable Banach space.

Primary polyestradiol phosphate versus orchiectomy for advanced prostate cancer : Studies on the efficacy, cardiovascular complications and prognostic factors

Paikallisesti levinnyttä (T3-4 M0) ja luustoon levinnyttä (T1-4 M1) eturauhassyöpää sairastaneet potilaat satunnaistettiin kirurgiseen kastraatioon (orkiektomia) tai lääkkeelliseen kastraatioon lihaksensisäisellä polyestradiolifosfaatilla (PEP) annoksella 240 mg/kk. Verrattiin hoitojen kliinistä tehoa sekä sydän- ja verisuonikomplikaatioita (SV-komplikaatioita). Verrattiin myös hoitoa edeltäviä plasman testosteroni (T) ja estradioli (E2) pitoisuuksia T3-4 M0 ja T1-4 M1 potilaiden välillä sekä selvitettiin potilaiden yleistilan vaikutusta näihin hormonitasoihin. Lopuksi luotiin T1-4 M1 potilaille eturauhassyövän aiheuttaman kuoleman ennusteellinen riskiluokittelu kolmeen riskiryhmään käyttämällä hoitoa edeltäviä ennustetekijöitä. Kliinisessä tehossa ei orkiektomian ja PEP-hoidon välillä todettu tilastollisesti merkitsevää eroa. Odotetusti T1-4 M1 potilaiden ennuste oli huonompi kuin T3-4 M0 potilaiden. T1-4 M1 potilailla ei ollut SV-kuolemissa hoitoryhmien välillä tilastollista eroa, mutta ei-tappavia SV-komplikaatioita oli PEP ryhmässä (5.9%) enemmän kuin orkiektomia ryhmässä (2.0%). T3-4 M0 potilailla PEP-hoitoon liittyi tilastollisesti merkitsevä SV-kuolleisuus riski orkiektomiaan verrattuna (p = 0.001). PEP ryhmässä 67% kuolemista oli akuutteja sydäninfarkteja. Tämä PEP hoitoon liittyvä sydäninfarktiriski (mukaan lukien myös ei-tappavat sydäninfarktit) oli merkitsevästi pienempi potilailla, joiden hoitoa edeltävä E2 taso oli vähintään 93 pmol/l (p = 0.022). E2 taso oli merkitsevästi matalampi T1-4 M1 potilailla (74.7 pmol/l) kuin T3-4 M0 potilailla (87.9 pmol/l), mutta vastaavaa eroa ei ollut T tasoissa. Sekä T3-4 M0 että T1-4 M1 potilailla yleistilan lasku osittain selitti yksilöllisen T ja E2 tasojen laskun. Eturauhassyövän aiheuttaman kuoleman riskiryhmäluokittelu (Rg) kolmeen ryhmään luotiin käyttämällä alkalista fosfataasia (AFOS), prostata spesifistä antigeenia (PSA), laskoa (La) ja potilaan ikää. Yksi riskipiste annettiin, jos AFOS > 180 U/l (tällä hetkellä käytössä olevalla menetelmällä AFOS > 83 U/l), PSA > 35 µg/l, La > 80 mm/h ja ikä < 60 vuotta. Lopuksi pisteet laskettiin yhteen. Muodostettiin seuraavat ryhmät: Rg-a (0 -1 riskipistettä), Rg-b (2 riskipistettä) ja Rg-c (3 – 4 riskipistettä). Eturauhassyövän aiheuttama kuoleman riski lisääntyi merkitsevästi siirryttäessä riskiryhmästä seuraavaan (p < 0.001). Rg-luokittelu oli kliinisesti käytännöllinen ja hyvä havaitsemaan huonon ennusteen potilaat.