Renormalization methods in KAM theory

It is well known that an integrable (in the sense of Arnold-Jost) Hamiltonian system gives rise to quasi-periodic motion with trajectories running on invariant tori. These tori foliate the whole phase space. If we perturb an integrable system, the Kolmogorow-Arnold-Moser (KAM) theorem states that, provided some non-degeneracy condition and that the perturbation is sufficiently small, most of the invariant tori carrying quasi-periodic motion persist, getting only slightly deformed. The measure of the persisting invariant tori is large together with the inverse of the size of the perturbation. In the first part of the thesis we shall use a Renormalization Group (RG) scheme in order to prove the classical KAM result in the case of a non analytic perturbation (the latter will only be assumed to have continuous derivatives up to a sufficiently large order). We shall proceed by solving a sequence of problems in which theperturbations are analytic approximations of the original one. We will finally show that the approximate solutions will converge to a differentiable solution of our original problem. In the second part we will use an RG scheme using continuous scales, so that instead of solving an iterative equation as in the classical RG KAM, we will end up solving a partial differential equation. This will allow us to reduce the complications of treating a sequence of iterative equations to the use of the Banach fixed point theorem in a suitable Banach space.

On hyvin tunnettua, että (Arnoldin ja Jostin mielessä) integroituva Hamiltonin systeemi synnyttää kvasiperiodisia ratoja invarianteilla toruksilla. Nämä torukset folioivat koko vaiheavaruuden. Jos systeemiä häiritään, kertoo Kolmogorovin, Arnoldin ja Moserin (KAM-) lause, että erään ei-degeneroituvuus-ehdon vallitessa ja häiriön ollessa riittävän pieni suurin osa toruksista säilyy hieman muotoaan muuttaneena. Väitöskirjan ensimmäisessä osassa todistetaan klassinen KAM-lause renormalisaatioryhmän avulla siinä tapauksessa, että häiriö on riittävän useasti derivoituva. Tämö tapahtuu ratkaisemalla jono ongelmia, jossa häiriöt ovat alkuperäisen analyyttisiä approksimaatioita. Näiden ratkaisuiden osoitetaan suppenevan alkuperäisen ongelman ratkaisuun. Toisessa osassa ongelmaa lähestytään jatkuvan renormalisaatioryhmän avulla. Klassisessa KAM-lauseen renormalisaatiotodistuksessa esiintyvän iteratiivisen yhtälön sijaan päädytään nyt osittaisdifferentiaaliyhtälöön. Tätä hyödyntäen pelkistyy ongelma lopulta Banachin kiintopistelauseeseen sopivassa avaruudessa.