Inverse Problem for Fractional Brownian Motion with Discrete Data

The problem of recovering information from measurement data has already been studied for a long time. In the beginning, the methods were mostly empirical, but already towards the end of the sixties Backus and Gilbert started the development of mathematical methods for the interpretation of geophysical data. The problem of recovering information about a physical phenomenon from measurement data is an inverse problem. Throughout this work, the statistical inversion method is used to obtain a solution. Assuming that the measurement vector is a realization of fractional Brownian motion, the goal is to retrieve the amplitude and the Hurst parameter. We prove that under some conditions, the solution of the discretized problem coincides with the solution of the corresponding continuous problem as the number of observations tends to infinity. The measurement data is usually noisy, and we assume the data to be the sum of two vectors: the trend and the noise. Both vectors are supposed to be realizations of fractional Brownian motions, and the goal is to retrieve their parameters using the statistical inversion method. We prove a partial uniqueness of the solution. Moreover, with the support of numerical simulations, we show that in certain cases the solution is reliable and the reconstruction of the trend vector is quite accurate.

On the Geometry of Infinite-Dimensional Grassmannian Manifolds and Gauge Theory

This PhD Thesis is about certain infinite-dimensional Grassmannian manifolds that arise naturally in geometry, representation theory and mathematical physics. From the physics point of view one encounters these infinite-dimensional manifolds when trying to understand the second quantization of fermions. The many particle Hilbert space of the second quantized fermions is called the fermionic Fock space. A typical element of the fermionic Fock space can be thought to be a linear combination of the configurations m particles and n anti-particles . Geometrically the fermionic Fock space can be constructed as holomorphic sections of a certain (dual)determinant line bundle lying over the so called restricted Grassmannian manifold, which is a typical example of an infinite-dimensional Grassmannian manifold one encounters in QFT. The construction should be compared with its well-known finite-dimensional analogue, where one realizes an exterior power of a finite-dimensional vector space as the space of holomorphic sections of a determinant line bundle lying over a finite-dimensional Grassmannian manifold. The connection with infinite-dimensional representation theory stems from the fact that the restricted Grassmannian manifold is an infinite-dimensional homogeneous (Kähler) manifold, i.e. it is of the form G/H where G is a certain infinite-dimensional Lie group and H its subgroup. A central extension of G acts on the total space of the dual determinant line bundle and also on the space its holomorphic sections; thus G admits a (projective) representation on the fermionic Fock space. This construction also induces the so called basic representation for loop groups (of compact groups), which in turn are vitally important in string theory / conformal field theory. The Thesis consists of three chapters: the first chapter is an introduction to the backround material and the other two chapters are individually written research articles. The first article deals in a new way with the well-known question in Yang-Mills theory, when can one lift the action of the gauge transformation group on the space of connection one forms to the total space of the Fock bundle in a compatible way with the second quantized Dirac operator. In general there is an obstruction to this (called the Mickelsson-Faddeev anomaly) and various geometric interpretations for this anomaly, using such things as group extensions and bundle gerbes, have been given earlier. In this work we give a new geometric interpretation for the Faddeev-Mickelsson anomaly in terms of differentiable gerbes (certain sheaves of categories) and central extensions of Lie groupoids. The second research article deals with the question how to define a Dirac-like operator on the restricted Grassmannian manifold, which is an infinite-dimensional space and hence not in the landscape of standard Dirac operator theory. The construction relies heavily on infinite-dimensional representation theory and one of the most technically demanding challenges is to be able to introduce proper normal orderings for certain infinite sums of operators in such a way that all divergences will disappear and the infinite sum will make sense as a well-defined operator acting on a suitable Hilbert space of spinors. This research article was motivated by a more extensive ongoing project to construct twisted K-theory classes in Yang-Mills theory via a Dirac-like operator on the restricted Grassmannian manifold.

Alikasvoksen mittaus ja kartoitus laserkeilauksella

Tasaikäisen metsän alle muodostuvilla alikasvoksilla on merkitystä puunkorjuun, metsänuudistamisen, näkemä-ja maisema-analyysien sekä biodiversiteetin ja hiilitaseen arvioinnin kannalta. Ilma-aluksista tehtävä laserkeilaus on osoittautunut tehokkaaksi kaukokartoitusmenetelmäksi varttuneiden puustojen mittauksessa. Laserkeilauksen käyttöönotto operatiivisessa metsäsuunnittelussa mahdollistaa aiempaa tarkemman tiedon tuottamisen alikasvoksista, mikäli alikasvoksen ominaisuuksia voidaan tulkita laseraineistoista. Tässä työssä käytettiin tarkasti mitattuja maastokoealoja ja kaikulaserkeilausaineistoja (discrete return LiDAR) usealta vuodelta (1–2 km lentokorkeus, 0,9–9,7 pulssia m-2). Laserkeilausaineistot oli hankittu Optech ALTM3100 ja Leica ALS50-II sensoreilla. Koealat edustavat suomalaisia tasaikäisiä männiköitä eri kehitysvaiheissa. Tutkimuskysymykset olivat: 1) Minkälainen on alikasvoksesta saatu lasersignaali yksittäisen pulssin tasolla ja mitkä tekijät signaaliin vaikuttavat? 2) Mikä on käytännön sovelluksissa hyödynnettävien aluepohjaisten laserpiirteiden selitysvoima alikasvospuuston ominaisuuksien ennustamisessa? Erityisesti haluttiin selvittää, miten laserpulssin energiahäviöt ylempiin latvuskerroksiin vaikuttavat saatuun signaaliin, ja voidaanko laserkaikujen intensiteetille tehdä energiahäviöiden korjaus. Puulajien väliset erot laserkaiun intensiteetissä olivat pieniä ja vaihtelivat keilauksesta toiseen. Intensiteetin käyttömahdollisuudet alikasvoksen puulajin tulkinnassa ovat siten hyvin rajoittuneet. Energiahäviöt ylempiin latvuskerroksiin aiheuttivat alikasvoksesta saatuun lasersignaaliin kohinaa. Energiahäviöiden korjaus tehtiin alikasvoksesta saaduille laserpulssin 2. ja 3. kaiuille. Korjauksen avulla pystyttiin pienentämään kohteen sisäistä intensiteetin hajontaa ja parantamaan kohteiden luokittelutarkkuutta alikasvoskerroksessa. Käytettäessä 2. kaikuja oikeinluokitusprosentti luokituksessa maan ja yleisimmän puulajin välillä oli ennen korjausta 49,2–54,9 % ja korjauksen jälkeen 57,3–62,0 %. Vastaavat kappa-arvot olivat 0,03–0,13 ja 0,10–0,22. Tärkein energiahäviöitä selittävä tekijä oli pulssista saatujen aikaisempien kaikujen intensiteetti, mutta hieman merkitystä oli myös pulssin leikkausgeometrialla ylemmän latvuskerroksen puiden kanssa. Myös 3. kaiuilla luokitustarkkuus parani. Puulajien välillä havaittiin eroja siinä, kuinka herkästi ne tuottavat kaiun laserpulssin osuessa puuhun. Kuusi tuotti kaiun suuremmalla todennäköisyydellä kuin lehtipuut. Erityisen selvä tämä ero oli pulsseilla, joissa oli energiahäviöitä. Laserkaikujen korkeusjakaumapiirteet voivat siten olla riippuvaisia puulajista. Sensorien välillä havaittiin selviä eroja intensiteettijakaumissa, mikä vaikeuttaa eri sensoreilla hankittujen aineistojen yhdistämistä. Myös kaiun todennäköisyydet erosivat jonkin verran sensorien välillä, mikä aiheutti pieniä eroavaisuuksia kaikujen korkeusjakaumiin. Aluepohjaisista laserpiirteistä löydettiin alikasvoksen runkolukua ja keskipituutta hyvin selittäviä piirteitä, kun rajoitettiin tarkastelu yli 1 m pituisiin puihin. Piirteiden selitysvoima oli parempi runkoluvulle kuin keskipituudelle. Selitysvoima ei merkittävästi alentunut pulssitiheyden pienentyessä, mikä on hyvä asia käytännön sovelluksia ajatellen. Lehtipuun osuutta ei pystytty selittämään. Tulosten perusteella kaikulaserkeilausta voi olla mahdollista hyödyntää esimerkiksi ennakkoraivaustarpeen arvioinnissa. Sen sijaan alikasvoksen tarkempi luokittelu (esim. puulajitulkinta) voi olla vaikeaa. Kaikkein pienimpiä alikasvospuita ei pystytä havaitsemaan. Lisää tutkimuksia tarvitaan tulosten yleistämiseksi erilaisiin metsiköihin.