Inverse Problem for Fractional Brownian Motion with Discrete Data

The problem of recovering information from measurement data has already been studied for a long time. In the beginning, the methods were mostly empirical, but already towards the end of the sixties Backus and Gilbert started the development of mathematical methods for the interpretation of geophysical data. The problem of recovering information about a physical phenomenon from measurement data is an inverse problem. Throughout this work, the statistical inversion method is used to obtain a solution. Assuming that the measurement vector is a realization of fractional Brownian motion, the goal is to retrieve the amplitude and the Hurst parameter. We prove that under some conditions, the solution of the discretized problem coincides with the solution of the corresponding continuous problem as the number of observations tends to infinity. The measurement data is usually noisy, and we assume the data to be the sum of two vectors: the trend and the noise. Both vectors are supposed to be realizations of fractional Brownian motions, and the goal is to retrieve their parameters using the statistical inversion method. We prove a partial uniqueness of the solution. Moreover, with the support of numerical simulations, we show that in certain cases the solution is reliable and the reconstruction of the trend vector is quite accurate.

Työssä tarkastellaan seuraavaa ongelmaa: oletetaan että mittaamme jotain fysikaalista suuretta tasavälisin ajanhetkin. Tyypillisesti tällaisten mittausten muodostama aikasarja koostuu kahdesta komponentista, nopeasti heilahtelevasta kohinasta, ja trendistä, jonka voi ajatella kuvaavan suureen kehitystä pitkällä aikavälillä. Oletamme, että molemmat näistä komponenteista ovat fraktionaalisen Brownin liikkeen realisaatioita Fraktionaalinen Browin liike määräytyy kahdesta parametrista, amplitudista ja ns. Hurstin parametrista, joka määrää kuinka säännöllinen kuvaaja on. Kohinan kuvaajalla amplitudi on usein trendiä pienempi, ja kuvaajaa epäsäännöllisempi., eli myös kohinan Hurstin parametri on trendin vastaavaa pienempi. Tässä työssä todistetaan, että lisättäessä mittausten määrää saamme tietyin oletuksin määrättyä sekä kohinatermin että trenditermin parametrit. Käyttäen Bayesiläisiä menetelmiä tutkimme myös kuinka hyvin nämä parametrit on mahdollista määrätä simuloidusta aineistosta.