On the Geometry of Infinite-Dimensional Grassmannian Manifolds and Gauge Theory

This PhD Thesis is about certain infinite-dimensional Grassmannian manifolds that arise naturally in geometry, representation theory and mathematical physics. From the physics point of view one encounters these infinite-dimensional manifolds when trying to understand the second quantization of fermions. The many particle Hilbert space of the second quantized fermions is called the fermionic Fock space. A typical element of the fermionic Fock space can be thought to be a linear combination of the configurations m particles and n anti-particles . Geometrically the fermionic Fock space can be constructed as holomorphic sections of a certain (dual)determinant line bundle lying over the so called restricted Grassmannian manifold, which is a typical example of an infinite-dimensional Grassmannian manifold one encounters in QFT. The construction should be compared with its well-known finite-dimensional analogue, where one realizes an exterior power of a finite-dimensional vector space as the space of holomorphic sections of a determinant line bundle lying over a finite-dimensional Grassmannian manifold. The connection with infinite-dimensional representation theory stems from the fact that the restricted Grassmannian manifold is an infinite-dimensional homogeneous (Kähler) manifold, i.e. it is of the form G/H where G is a certain infinite-dimensional Lie group and H its subgroup. A central extension of G acts on the total space of the dual determinant line bundle and also on the space its holomorphic sections; thus G admits a (projective) representation on the fermionic Fock space. This construction also induces the so called basic representation for loop groups (of compact groups), which in turn are vitally important in string theory / conformal field theory. The Thesis consists of three chapters: the first chapter is an introduction to the backround material and the other two chapters are individually written research articles. The first article deals in a new way with the well-known question in Yang-Mills theory, when can one lift the action of the gauge transformation group on the space of connection one forms to the total space of the Fock bundle in a compatible way with the second quantized Dirac operator. In general there is an obstruction to this (called the Mickelsson-Faddeev anomaly) and various geometric interpretations for this anomaly, using such things as group extensions and bundle gerbes, have been given earlier. In this work we give a new geometric interpretation for the Faddeev-Mickelsson anomaly in terms of differentiable gerbes (certain sheaves of categories) and central extensions of Lie groupoids. The second research article deals with the question how to define a Dirac-like operator on the restricted Grassmannian manifold, which is an infinite-dimensional space and hence not in the landscape of standard Dirac operator theory. The construction relies heavily on infinite-dimensional representation theory and one of the most technically demanding challenges is to be able to introduce proper normal orderings for certain infinite sums of operators in such a way that all divergences will disappear and the infinite sum will make sense as a well-defined operator acting on a suitable Hilbert space of spinors. This research article was motivated by a more extensive ongoing project to construct twisted K-theory classes in Yang-Mills theory via a Dirac-like operator on the restricted Grassmannian manifold.

Tämä väitöskirja käsittelee ääretönulotteisia Grassmannin monistoja ja niiden yhteyttä geometriaan, esitysteoriaan ja matemaattiseen fysiikkaan. Fysiikan näkökulmasta ääretönulotteisiin Grassmannin monistoihin ajaudutaan fermionihiukkassysteemien toisen kvantisoinnin kautta. Tällaisen monihiukkassysteemin tila-avaruutta kutsutaan fermioniseksi Fockin avaruudeksi: Fermionisen Fockin avaruuden tyypillinen alkio voidaan ajatella olevan lineaarikombinaatio konfiguraatioista, jotka kuvaavat tiloja m hiukkasta ja n anti-hiukkasta . Geometrisesti fermioninen Fockin avaruus voidaan konstruoida tietyn ääretönulotteisen Grassmannin moniston, ns. rajoitetun Grassmannin moniston päälle assosioidun (duaali)determinanttiviivakimpun holomorfisista leikkauksista. Tätä konstruktiota tulisi verrata tunnettuun äärellisulotteiseen analogiaansa, missä äärellisulotteisen vektoriavaruuden ulkoinen potenssi voidaan realisoida äärellisulotteisen Grassmannin moniston päälle rakennetun determinanttiviivakimpun holomorfisina leikkauksina. Yhteys (ääretönulotteiseen) esitysteoriaan tulee huomiosta että rajoitettu Grassmannin monisto on ääretönulotteinen homogeeninen (Kähler)-monisto, eli toisin sanoen se on muotoa G/H, missä G on eräs ääretönulotteinen Lien ryhmä ja H sen aliryhmä. Tässä tapauksessa ryhmän G keskuslaajennus toimii duaalideterminanttiviivakimpun totaaliavaruudessa ja edelleen sen holomorfisten leikkausten muodostamalla avaruudella, ts. G:llä on (projektiivinen) esitys fermionisessa Fockin avaruudessa. Tämä konstruktio indusoi edelleen ns. perusesityksen (engl. basic representation) looppiryhmille, joilla puolestaan on aivan oleellinen merkitys mm. säieteorioissa / konformikenttäteoriassa. Väitöskirja koostuu kolmesta luvusta: ensimmäinen luku on johdanto ja kaksi muuta osaa ovat tutkimusartikkeleita. Ensimmäinen artikkeli käsittelee uudella tavalla tunnettua kysymystä, milloin Yang-Mills -teoriassa voidaan mittakenttämuunnosten ryhmän aktio konnektio 1-muotojen muodostamalla avaruudella nostaa aktioksi (fermioniseen) Fockin kimppuun yhteensopivalla tavalla 2. kvantisoidun Diracin operaattorin kanssa. Yleisessä tapauksessa tälle löytyy obstruktio (ns. Faddeev-Mickelsson -anomalia), jolle on keksitty erilaisia geometrisia tulkintoja mm. ryhmälaajennusten ja differentiaaligeometristen kimppugerbejen (engl. bundle gerbe) avulla. Tässä työssä kyseiselle anomalialle annetaan uusi tulkinta Grothendieck-tyylisten gerbejen (tietynlaisia kategorioiden lyhteitä) tai vaihtoehtoisesti Lien groupoidien keskuslaajennusten avulla. Toisessa tutkimusartikkelissa paneudutaan kysymykseen miten määritellä Diracin operaattori rajoitetulle Grassmannin monistolle, joka on ääretönulotteinen monisto, ja siten standardin Dirac-operaattoriteorian ulkopuolella. Konstruktio nojautuu puhtaasti ääretönulotteiseen esitysteoriaan ja yksi teknisesti vaikeimmista tehtävistä on saada normaalijärjestettyä esiintyvät äärettömät summat operaattoreita niin että kaikki divergenssit häviävät, ja saadaan todellakin määritellyksi aivan oikea hyvin käyttäytyvä operaattori. Tutkimuksen taustalla on laajempi projekti, jonka tarkoituksena olisi pystyä konstruoimaan tämän Diracin operaattorin avulla Yang-Mills -teoriaan liittyviä kierrettyjä K-teorialuokkia.