Matemática dos antigos VI

Neste artigo, volta a estar em destaque o trabalho desenvolvido por Miguel Gouveia, formador em calcetaria portuguesa e artística. (...) O contraste de cores das pedras da calçada proporciona uma diversidade considerável de padrões, que podem ser estudados do ponto de vista matemático. (...) De volta à Vila da Calheta, é possível apreciar outra rosácea, mesmo em frente aos paços do concelho (figura 7): identificamos dois eixos de simetria (um vertical e outro horizontal). Esta rosácea também apresenta simetria de rotação de 360/2=180 graus. Isto significa que se a "virarmos de pernas ao ar", ou seja, se a rodarmos dois ângulos retos em torno do seu centro de rotação, a sua configuração não se altera. No centro destaca-se outra rosácea, desta feita com 6 eixos de simetria. Identificamos também 6 simetrias de rotação: se rodarmos a rosácea em torno do seu centro segundo uma amplitude de 360/6=60 graus (ou de algum dos seus múltiplos), a figura obtida sobrepõe-se por completo à figura inicial. Note-se que a amplitude a utilizar depende do número de repetições do motivo, neste caso 6. Em relação a esta rosácea sextavada, Miguel refere uma curiosidade interessante: "A ideia de a implementar surgiu ao verificar que este símbolo era muito comum no mobiliário açoriano. A proposta foi recebida de bom agrado pelas autoridades camarárias." (...)

Mas que rica toalha!

O termo padrão quando empregue no dia a dia pode assumir diferentes significados. Em geral, está associado à identificação de algum tipo de regularidade. A Matemática, enquanto ciência dos padrões, fornece ferramentas que permitem classificar de forma rigorosa e exaustiva os padrões que encontramos, sejam eles numéricos, geométricos ou de outra natureza qualquer. Esta é a missão de um matemático: identificar regularidades para que, no meio da desordem e de um volume considerável de informação, se possa extrair algum tipo de invariância que conduza à caracterização das propriedades comuns aos diferentes casos analisados. (...) Dedicamos este artigo à caracterização de outro padrão bidimensional, desta vez proveniente do artesanato: analisamos as simetrias de uma toalha feita em renda tradicional ou croché de arte, com diferentes tipos de pontos (laça, amora, escadinha, ponto de serrilha, entre outros). A foto analisada foi enviada pela Dona Maria Freitas, da freguesia de Castelo Branco, que agradeço pela disponibilidade e simpatia. A peça foi executada pela sua mãe, Filomena Correia, há 8 anos quando tinha 80 anos! (...) Verificamos, de seguida, que a toalha apresenta os quatro tipos possíveis de simetria. (...) Destaca-se outro aspeto relevante que pode facilmente ser comprovado com recurso a um espelho: por cada centro de ordem 4 passam quatro eixos de simetria (representados por linhas contínuas em C) e por cada centro de ordem 2 passam dois eixos de simetria. Ficam, assim, caracterizadas as simetrias de reflexão. Resta identificar as simetrias de reflexão deslizante. Ora, estas estão associadas aos eixos de deslocamento representados a tracejado em C: por cada centro de rotação de ordem 2 passam dois eixos de deslocamento. Identifica-se em D um desses eixos de deslocamento: há uma reflexão seguida de uma translação de vetor paralelo ao eixo. Ao fixar o olhar ao longo do eixo de deslocamento, é possível verificar que os losangos alternam sucessivamente de posição, algo semelhante às marcas das nossas pegadas quando caminhamos descalços na areia. (...)

Grupos de simetria: identificação de padrões no património açoriano

Dissertação de Mestrado, Matemática para Professores, 3 de Abril de 2014, Universidade dos Açores.

Os bordados da dona Maria de Fátima Oliveira

(...) Este artigo é dedicado ao trabalho desenvolvido pela Dona Maria de Fátima Oliveira, em especial a alguns dos seus bordados que estiveram expostos na Feira. (...) Nos seus trabalhos utiliza linho e algodão. Para além da máquina de costura, necessita também de um bastidor, de tesoura e de linha de algodão de cores variadas. Para esboçar no tecido os desenhos que pretende implementar, utiliza papel vegetal, químico e uma esferográfica sem tinta. Maria de Fátima Oliveira confessa: "tenho sempre uma grande curiosidade em ver as peças finalizadas, por isso prefiro aquelas que são mais pequenas e que, por isso, são de rápida execução". De entre as peças que habitualmente produz, destacam-se panos de pão, panos de tabuleiro, toalhas da louça, aventais e laços para garrafas, bases para copos, argolas para guardanapos, porta-chaves e bolsas para telemóveis. Quando questionada sobre as peças que mais gostou de fazer ao longo dos anos, Maria de Fátima recorda as toalhas que bordou para os altares da Igreja de Nossa Senhora de Fátima, localizada na Ribeira Funda, na freguesia dos Cedros. (...) Seguem-se algumas imagens de panos de pão bordados pela Dona Maria de Fátima, cuja disponibilidade e simpatia agradeço. Todos estes trabalhos (A, B, C e D) apresentam simetrias de rotação de 90 graus e dos seus múltiplos: ao rodar um pano de pão no sentido anti-horário, segurando com um dedo no centro da peça, a configuração do desenho do pano permanece a mesma sempre que se completa um ângulo de 90 graus (ângulo reto). Por outras palavras, ao olharmos para o pano de pão segundo direções perpendiculares (num sentido e no oposto), a configuração do desenho não se altera: por exemplo, se nos posicionarmos em qualquer um dos lados de uma mesa quadrangular ou retangular, em frente ao pano de pão, a configuração do desenho é sempre a mesma. (...)

À descoberta de padrões : as simetrias que podemos encontrar num passeio em calçada

Retomamos a nossa viagem à descoberta de padrões pelas calçadas da Ilha de S. Miguel. A próxima paragem é no Miradouro da Ponta do Escalvado, localizado no lugar da Várzea, freguesia dos Ginetes, concelho de Ponta Delgada. [...] Mas qual o particular interesse da calçada do Miradouro da Ponta do Escalvado? Mostramos, em seguida, que este é um exemplo de um passeio onde podemos encontrar, em simultâneo, os quatro tipos possíveis de simetria... o que nem sempre acontece. [...] Existem também outros tipos de simetria, aparentemente menos percetíveis. Na imagem 3, ilustra-se o conceito de simetria de rotação. Para tal, temos que fixar um ponto: o centro de rotação. Basicamente, a ideia é a de rodar a figura em torno do ponto fixo segundo um ângulo com uma determinada amplitude. Respeita-se, em geral, o sentido contrário aos ponteiros do relógio, designado por sentido anti-horário ou sentido positivo. Se, ao rodarmos a figura segundo uma amplitude inferior a 360º, ela coincidir com a sua posição inicial, dizemos que tem uma simetria de rotação: a figura inicial e a que resultou desse movimento ficam completamente sobrepostas, não se conseguem distinguir. Dizemos que o movimento em causa fixou globalmente a figura ou que a deixou invariante. [...].

À descoberta de padrões : um olhar matemático pelas calçadas de S. Miguel

No artigo "The bad and the beautiful", publicado no Finantial Times em janeiro de 2013, Edwin Heathcote realça alguns aspetos que tornam as cidades mais sedutoras e elege as oito mais belas atrações citadinas a nível mundial. O autor coloca o impacto causado pelos padrões ondulantes da calçada do Rossio (calçada do "Mar Largo"), em Lisboa, a par com outros "momentos belos" desencadeados, por exemplo, ao olhar para o grande canal de Veneza, para os apartamentos vitorianos de Nova Iorque ou para a iluminação noturna produzida pelos mercados de rua de Mongkok, em Hong Kong. Sem dúvida que vale a pena dedicar um pouco do nosso tempo a apreciar a bonita calçada portuguesa, uma verdadeira atração mundial. [...] Mas como podemos identificar simetrias no dia a dia? Neste artigo, abordaremos dois dos tipos mais comuns de simetria: a simetria de rotação e a simetria de espelho ou de reflexão. Com o intuito de exemplificar estes tipos de simetria, analisam-se duas rosáceas em calçada, localizadas no Campo de S. Francisco em Ponta Delgada [...].

Os bordados de palha de trigo sobre tule da Dona Isaura Rodrigues (parte II)

Continuamos à conversa com a Dona Isaura Rodrigues. (...) Analisamos, de seguida, as simetrias de alguns bordados de palha de trigo sobre tule desenvolvidos pela Dona Isaura Rodrigues, que agradecemos pela disponibilidade e simpatia. Começamos pela echarpe das imagens 1 e 2. Identificamos uma simetria de rotação de 180 graus, também conhecida por meia-volta. Isto significa que, se virarmos a echarpe “de pernas ao ar”, a sua configuração não se altera. Este tipo de simetria é muito comum, não só em peças de artesanato, como também nas calçadas e varandas. (...) Por não apresentar simetrias de reflexão, a echarpe das imagens 1 e 2 tem grupo de simetria C2. (...) O espaçamento entre cópias consecutivas dos motivos é sempre o mesmo. Este tipo de propriedade é comum aos frisos que encontramos nas varandas e nos passeios em calçada, que se caracterizam pela presença de simetrias de translação numa única direção. E esta é uma das ferramentas matemáticas mais importantes, constituindo, muitas vezes, um verdadeiro desafio: a capacidade de encontrar propriedades comuns em coisas que, à primeira vista, não têm qualquer ligação. Não fosse a Matemática a Ciência dos Padrões!

Ladrilhos de areia e vento (Parte 1)

Nesta edição do Tribuna das Ilhas, regresso ao tema da Calçada Portuguesa por um bom motivo. A Direção Regional da Cultura, através da Biblioteca Pública e Arquivo Regional João José da Graça, inaugurou no passado dia 11 de dezembro uma exposição de pintura e fotografia intitulada "Ladrilhos de areia e vento", da autoria de Helius Horta. (...) Hélio Silveira, natural da freguesia da Matriz, é a pessoa por detrás do nome artístico Helius Horta. (...) Sobre a articulação entre os vários suportes usados, como a pintura e a fotografia, Hélio refere que “considerei importante mostrar a perspetiva fotográfica e a pintura, utilizando os mesmos desenhos dos ladrilhos da cidade da Horta, como foi o caso da Esfera Armilar, do Moinho e da Cruz de Cristo, por exemplo”. A este propósito, refira-se que os exemplos apresentados pelo Hélio são rosáceas: figuras do plano que apresentam simetrias de rotação e, em alguns casos, simetrias de reflexão ou de espelho. Analisemos algumas rosáceas. (...)

Estrutura de capital e a rendibilidade das 100 maiores empresas dos Açores

Dissertação de Mestrado, Ciências Económicas e Empresariais, 8 de Janeiro de 2015, Universidade dos Açores.

À descoberta de padrões : as simetrias dos tapetes decorativos da Procissão do Senhor Santo Cristo dos Milagres

(...) Neste breve artigo, analisamos as simetrias de alguns tapetes decorativos construídos nos últimos anos. Ao olhar com atenção para os tapetes, encontramos com frequência rosáceas – figuras em geral circulares, tipo a rosa dos ventos, que apresentam simetrias de rotação e, em alguns casos, simetrias de reflexão (simetrias de espelho). (...) Se pensarmos na repetição dos motivos ao longo dos tapetes, do ponto de vista matemático, passamos a ter frisos. Existem 7 tipos de frisos, ou seja, 7 maneiras diferentes de repetir um determinado motivo ao longo de uma faixa recorrendo aos diferentes tipos de simetria. Em seguida, caracterizamos as simetrias do tipo de friso mais comum nos tapetes da Procissão do Senhor Santo Cristo (...)