Trasformazioni che conservano la misura

Si consideri un insieme X non vuoto su cui si costruisce una sigma-algebra F, una trasformazione T dall'insieme X in se stesso F-misurabile si dice che conserva la misura se, preso un elemento della sigma-algebra, la misura della controimmagine di tale elemento è uguale a quella dell'elemento stesso. Con questa nozione si possono costruire vari esempi di applicazioni che conservano la misura, nell'elaborato si presenta la trasformazione di Gauss. Questo tipo di trasformazioni vengono utilizzate nella teoria ergodica dove ha senso considerare il sistema dinamico a tempi discreti T^j x; dove x = T^0 x è un dato iniziale, e studiare come la dinamica dipende dalla condizione iniziale x. Il Teorema Ergodico di Von Neumann afferma che dato uno spazio di Hilbert H su cui si definisce un'isometria U è possibile considerare, per ogni elemento f dello spazio di Hilbert, la media temporale di f che converge ad un elemento dell'autospazio relativo all'autovalore 1 dell'isometria. Il Teorema di Birkhoff invece asserisce che preso uno spazio X sigma-finito ed una trasformazione T non necessariamente invertibile è possibile considerare la media temporale di una funzione f sommabile, questa converge sempre ad una funzione f* misurabile e se la misura di X è finita f* è distribuita come f. In particolare, se la trasformazione T è ergodica si avrà che la media temporale e spaziale coincideranno.

Sulla decomposizione di misure

Questa tesi illustra il teorema di decomposizione delle misure e come questo viene applicato alle trasformazioni che conservano la misura. Dopo aver dato le definizioni di σ-algebra e di misura ed aver enunciato alcuni teoremi di teoria della misura, si introducono due differenti concetti di separabilità: quello di separabilità stretta e quello di separabilità, collegati mediante un lemma. Si descrivono poi la funzione di densità relativa e le relative proprietà e, dopo aver definito il concetto di somma diretta di spazi di misura, si dimostra il teorema di decomposizione delle misure, che permette sotto certe ipotesi di esprimere uno spazio di misura come somma diretta di spazi di misura. Infine, dopo aver spiegato cosa significa che una trasformazione conserva la misura e che è ergodica, si dimostra il teorema di Von Neumann, per il quale le trasformazioni che conservano la misura risultano decomponibili in parti ergodiche.

Teorema di Radon-Nikodym e Statistica

Il presente elaborato vuole illustrare alcuni risultati matematici di teoria della misura grazie ai quali si sono sviluppate interessanti conseguenze nel campo della statistica inferenziale relativamente al concetto di statistica sufficiente. Il primo capitolo riprende alcune nozioni preliminari e si espone il teorema di Radon-Nikodym, sulle misure assolutamente continue, con conseguente dimostrazione. Il secondo capitolo dal titolo ‘Applicazioni alla statistica sufficiente’ si apre con le definizioni degli oggetti di studio e con la presentazione di alcune loro proprietà matematiche. Nel secondo paragrafo si espongono i concetti di attesa condizionata e probabilità condizionata in relazione agli elementi definiti nel paragrafo iniziale. Si entra nel corpo di questo capitolo con il terzo paragrafo nel quale definiamo gli insiemi di misura, gli insiemi di misura dominati e il concetto di statistica sufficiente. Viene qua presentato un importante teorema di caratterizzazione delle statistiche sufficienti per insiemi dominati e un suo corollario che descrive la relativa proprietà di fattorizzazione. Definiamo poi gli insiemi omogenei ed esponiamo un secondo corollario al teorema, relativo a tali insiemi. Si considera poi l’esempio del controllo di qualità per meglio illustrare la nozione di statistica sufficiente osservando una situazione più concreta. Successivamente viene introdotta la nozione di statistica sufficiente a coppie e viene enunciato un secondo teorema di caratterizzazione in termini di rapporto di verosimiglianza. Si procede quindi ad un confronto tra questi due tipi di sufficienza. Tale confronto viene operato in due situazioni differenti e porta a risultati diversi per ogni caso. Si conclude dunque l’elaborato marcando ancora l’effettiva bontà di una statistica sufficiente in termini di informazioni contenute al suo interno.

Progettazione e realizzazione di un banco prova di misura delle caratteristiche elettromeccaniche di sistemi propulsivi per droni elettrici

La tesi in esame ha come obiettivo la progettazione e la realizzazione di un banco prova per la misura delle caratteristiche elettromeccaniche di sistemi propulsivi per droni elettrici.

Una rassegna di teoremi ergodici. Dal teorema ergodico di Birkhoff Khinchin al teorema ergodico quantistico di von Neumann.

La tesi tratta dei teoremi ergodici più importanti scoperti dalla fine dell'800 ad oggi.

Studio dei parametri che determinano la gittata sistolica e la pressione aortica

La stesura di questo elaborato di tesi trova le basi sull’articolo di Stergiopulos et al. “Determinants of stroke volume and systolic and diastolic aortic pressure” pubblicato sulla rivista americana American Journal of Physiology-Heart and Circulatory Physiology nel 1996. Si cerca di investigare sull’importanza che ricoprono alcuni parametri che descrivono il muscolo cardiaco e l’albero arterioso e sulla loro rispettiva influenza sulla pressione sistolica, pressione diastolica e sul volume di sangue eiettato in un battito, ovvero la gittata sistolica. Si procede con la descrizione in dettaglio della funzionalità cardiaca mediante il modello ad elastanza tempo variabile e il modello windkessel a tre elementi simulando così la contrazione ventricolare e l’albero arterioso sistemico. In dettaglio per quanto riguarda la struttura dell’elaborato è bene specificare che l’analisi teorica affrontata nei primi due capitoli ha l’obiettivo primario di: 1) chiarire i principali e caratteristici meccanismi che si trovano alla base della funzionalità cardiaca e procedere quindi con i richiami relativi alla fisiologia del sistema cardio-circolatorio facendo particolare attenzione al concetto di ciclo cardiaco, ciclo pressione-volume e fattori che determinano la funzionalità cardiaca in dettaglio; 2)illustrare quelli che sono i principali modelli di riferimento presenti in letteratura che descrivono la contrazione del ventricolo sinistro in termini di analisi pressione-volume ventricolari istantanei. Dal terzo capitolo in avanti si prosegue verso quello che è il vivo della trattazione dell’articolo di riferimento, nel capitolo appena citato si fa luce sui dettagli che caratterizzano il modello matematico utilizzato per approssimare al meglio il sistema cuore-sistema arterioso e sull’applicazione della teoria dell’analisi dimensionale mediante l’utilizzo del Teorema di Buckingham al fine di ricavare i parametri di interesse. Nel quarto capitolo si riportano i risultati dello studio con annessa validazione del modello e la sua applicazione rispetto al caso umano. Il quinto capitolo è sede della discussione dei risultati ottenuti cercando di far luce sull’universalità e applicabilità delle formule empiriche ottenute e su eventuali limitazioni e implicazioni riscontrabili. Tale elaborato si chiude con alcune conclusioni in merito allo studio effettuato.

Integrazione p-adica e teorema di Igusa

Questa tesi si prefigge lo scopo di dimostrare il teorema di Igusa. Inizia introducendo algebricamente i numeri p-adici e ne dà una rappresentazione grafica. Sviluppa poi un integrale definito dalla misura di Haar, invariante per traslazione e computa alcuni esempi. Utilizza il blow up come strumento per la risoluzione di alcuni integrali ed enuncia un'applicazione del teorema di Hironaka sulla risolubilità delle singolarità. Infine usa questi risultati per dimostrare il teorema di Igusa.

Equazioni Differenziali e Teorema di Frobenius

L’obiettivo di questa tesi è quello di presentare, in maniera elementare ma esaustiva, una delle teorie più interessanti nell’ambito dell’analisi matematica: le equazioni differenziali, equazioni che legano una funzione (vista come incognita) alle sue derivate. Nel presentare la teoria delle equazioni differenziali, l’esposizione viene suddivisa in tre capitoli. Il primo ha il fine di presentare la teoria, introducendo le definizioni e i principali risultati, con particolare attenzione al problema di Cauchy, mentre nel secondo l’attenzione si focalizza su come le soluzioni di un sistema differenziale dipendano dai dati iniziali. Nel terzo capitolo la teoria viene generalizzata attraverso il Teorema di Frobenius. Infatti, così come la soluzione di un’equazione differenziale ordinaria permette di ricostruire una curva passante per un dato punto a partire dal suo campo di tangenti, analogamente il Teorema di Frobenius permette di ricostruire una sottovarietà liscia a partire da un sistema di spazi vettoriali tangenti.

Teorema di Brouwer ed applicazioni

Lo scopo di questa tesi è analizzare il teorema del punto fisso di Brouwer, e lo faremo da più punti di vista, generalizzandolo e dando una piccola illustrazione di una sua possibile applicazione nella teoria dei giochi. Il teorema del punto fisso è uno dei teoremi prìncipi della topologia algebrica. Nella versione classica esso afferma che qualsiasi funzione continua che porta la palla unitaria di \R^{n} in se stessa possiede un punto fisso.

Il teorema di Cook-Levin e i SAT-solver

In questa tesi è trattato il tema della soddisfacibilità booleana o proposizionale, detta anche SAT, ovvero il problema di determinare se una formula booleana è soddisfacibile o meno. Soddisfacibile significa che è possibile assegnare le variabili in modo che la formula assuma il valore di verità vero; viceversa si dice insoddisfacibile se tale assegnamento non esiste e se quindi la formula esprime una funzione identicamente falsa. A tal fine si introducono degli strumenti preliminari che permetteranno di affrontare più approfonditamente la questione, partendo dalla definizione basilare di macchina di Turing, affrontando poi le classi di complessità e la riduzione, la nozione di NP-completezza e si dimostra poi che SAT è un problema NP-completo. Infine è fornita una definizione generale di SAT-solver e si discutono due dei principali algoritmi utilizzati a tale scopo.

Il teorema dei quattro vertici e il teorema di Jordan-Schönflies

Una curva di Jordan è una curva continua nel piano, semplice e chiusa. Lo scopo della tesi è presentare tre teoremi riguardanti le curve di Jordan. Il teorema dei quattro vertici afferma che ogni curva di Jordan regolare di classe C^2 ha almeno quattro punti in cui la curvatura orientata ha un massimo o un minimo locali. Il teorema della curva di Jordan asserisce che una curva di Jordan divide il piano esattamente in due parti, l'interno e l'esterno della curva. Secondo il teorema di Schönflies, la chiusura dell'interno di una curva di Jordan è omeomorfa a un disco chiuso.

Il Teorema di Inversione di Lévy

In questa tesi si dimostra il teorema di inversione di Lévy, risultato che permette di ricostruire, a partire dalla funzione caratteristica di una variabile aleatoria assolutamente continua, la sua densità. Come conseguenza si dimostra che la funzione caratteristica di una variabile aleatoria ne caratterizza univocamente la distribuzione. Viene inoltre presentata una applicazione della formula di inversione per la valutazione di opzioni in finanza con esempi numerici basati sul modello Merton.

Teorema di Cochran e applicazioni

La statistica è un ramo della matematica che studia i metodi per raccogliere, organizzare e analizzare un insieme di dati numerici, la cui variazione è influenzata da cause diverse, con lo scopo sia di descrivere le caratteristiche del fenomeno a cui i dati si riferiscono, sia di dedurre, ove possibile, le leggi generali che lo regolano. La statistica si suddivide in statistica descrittiva o deduttiva e in statistica induttiva o inferenza statistica. Noi ci occuperemo di approfondire la seconda, nella quale si studiano le condizioni per cui le conclusioni dedotte dall'analisi statistica di un campione sono valide in casi più generali. In particolare l'inferenza statistica si pone l'obiettivo di indurre o inferire le proprietà di una popolazione (parametri) sulla base dei dati conosciuti relativi ad un campione. Lo scopo principale di questa tesi è analizzare il Teorema di Cochran e illustrarne le possibili applicazioni nei problemi di stima in un campione Gaussiano. In particolare il Teorema di Cochran riguarda un'importante proprietà delle distribuzioni normali multivariate, che risulta fondamentale nella determinazione di intervalli di fiducia per i parametri incogniti.

Serie di Fejer e teorema di Weierstrass

Nella mia tesi ho deciso di affrontare il Teorema di Weierstrass utilizzando la serie di Fejer. Il teorema di Weierstrass afferma che ogni funzione continua definita su di un intervallo chiuso e limitato [a , b] può essere approssimata da una funzione polinomiale.