Structures linéaires dans les ensembles à faible densité

Réalisé en cotutelle avec l'Université Paris-Diderot.

Le théorème de lebesgue sur la dérivabilité des fonctions à variation bornée

Dans ce mémoire, nous traiterons du théorème de Lebesgue, un des plus frappants et des plus importants de l'analyse mathématique ; à savoir qu'une fonction à variation bornée est dérivable presque partout. Le but de ce travail est de fournir, à part la démonstration souvent proposée dans les cours de la théorie de la mesure, d'autres démonstrations élaborées avec des outils mathématiques plus simples. Ma contribution a consisté essentiellement à détailler et à compléter ces démonstrations, puis à inclure la plupart des figures pour une meilleure lisibilité. Nous allons maintenant, pour ce théorème qui se présente sous d'autres variantes, en proposer l'historique et trois démonstrations différentes.

Le théorème de Borel-Weil-Bott

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Homologie de morse et théorème de la signature

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Théorème de Pleijel pour l'oscillateur harmonique quantique

L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés.

Review of Julien Gœury: L 'Autopsie et le théorème: poétique des Théorèmes spirituels (1613-1622) de Jean de La Ceppède.

Les lecteurs de La Ceppède seront contents de recevoir le livre de Julien Gœury car son étude représente une addition importante aux ouvrages récents sur le poète aixois. Faisant partie de la redécouverte critique des Théorèmes initiée par les travaux de Jean Rousset dans les années 50, L'Autopsie et le théorème jette un nouveau regard sur l'oeuvre laceppédienne en adoptant ce que l'on peut appeler une perspective néo-structuraliste. L'exposé se divise en quatre parties: 1) Morphologie, 2) Anatomie, 3) Physiologie et 4) Psychologie. Une telle répartition suggere le désir de dégager le caractère organique du texte dans le cadre d'une organisation bien schématisée. Concernant la première categorie, Gœury met en exergue la construction générale du texte, signalant au départ “l'architecture extérieure” (23) ainsi que “l'architecture intérieure” (54) dans la composition des livres et des recueils qui édifient l'ouvrage. Ici, le lecteur note l'accent mis sur la signification du frontispice, des pages de titres, et sur d'autres éléments paratextuels. Toujours dans la première partie, Gœury suit l'exemple de plusieurs critiques en examinant l'emploi du sonnet comme mode de discours. L'auteur met en avant des “lois de composition” (141) qui renforcent “l'engagement formel” (151) du texte ainsi que son “architecture phonetique” (157). S'ajoutent à l'examen morphologique des observations sur les différentes formes “d'enjambement” (168) et de “fragmentation” (174) qui se manifestent dans les sonnets.

Integrating engineering education in the middle school mathematics curriculum

Many nations are experiencing a decline in the number of graduating engineers, an overall poor preparedness for engineering studies in tertiary institutions, and a lack of diversity in the field. Given the increasing importance of mathematics, science, engineering, and technology in our world, it is imperative that we foster an interest and drive to participate in engineering from an early age. This discuission paper argues for the intergration of engineering education within the elementary and middle school mathematics curricula. In doing so, we offer a definition of engineering education and address its core goals; consider some perceptions of engineering and engineering education held by teachers and students; and offer one approach to promoting engineering education within the elementary and middle school mathematics curriculum, namely through mathematical modeling.

Mathematical modelling in the early school years

In this article we explore young children's development of mathematical knowledge and reasoning processes as they worked two modelling problems (the Butter Beans Problem and the Airplane Problem). The problems involve authentic situations that need to be interpreted and described in mathematical ways. Both problems include tables of data, together with background information containing specific criteria to be considered in the solution process. Four classes of third-graders (8 years of age) and their teachers participated in the 6-month program, which included preparatory modelling activities along with professional development for the teachers. In discussing our findings we address: (a) Ways in which the children applied their informal, personal knowledge to the problems; (b) How the children interpreted the tables of data, including difficulties they experienced; (c) How the children operated on the data, including aggregating and comparing data, and looking for trends and patterns; (c) How the children developed important mathematical ideas; and (d) Ways in which the children represented their mathematical understandings.

Avaliação do potencial fotoprotetor de extratos de musgos e investigação de seus riscos toxicológicos

A radiação ultravioleta (UV) induz diversos efeitos nocivos nos organismos e a quantidade desta radiação que atinge a biosfera é afetada pela concentração de ozônio, latitude, altitude, clima e reflexão especular. As respostas de briófitas em relação aos efeitos da radiação UV e a presença de compostos que absorvem esta radiação têm sido estudadas. Sanionia uncinata, Holomitriopsis laevifolia e Leucobryum laevifolium são espécies de musgos encontrados em locais expostos a alta incidência de radiação UV e com habitats distintos. Considerando que as respostas de musgos contra os efeitos da radiação UV e seus mecanismos de proteção ainda são pouco caracterizados, o objetivo deste estudo foi investigar o potencial fotoprotetor e possíveis riscos toxicológicos associados aos extratos dos musgos S. uncinata, proveniente da Antártica e H. laevifolia e L. laevifolium, proveniente do Amazonas. Seus extratos metanólico (EM), aquoso (EA), hidroalcoólico (EH) e etanólico (EE) foram estudados com a caracterização química por absorção ao UV e visível e pela cromatografia líquida de alta eficiência; quantificação do índice total de compostos fenólicos; determinação da capacidade captadora do radical 2,2-difenil-1-picril-hidrazila a fim de avaliar as atividades antioxidantes; avaliação do potencial de fotoproteção cutânea pela determinação do fator de proteção solar; avaliações do potencial mutagênico e citototóxico, através do ensaio de Salmonella/microssoma, utilizando as cepas TA97, TA98, TA100, TA102 e TA104; do potencial fotomutagênico através do ensaio de fotomutagenicidade, usando as cepas TA102 e TA104; e investigação dos efeitos genotóxicos e fotogenotóxicos, pelo ensaio de micronúcleo e fotomicronúcleo, respectivamente, usando diferentes linhagens celulares estabelecidas. Foram encontradas atividades fotoprotetoras e antioxidantes e observou-se que os extratos se apresentaram singulares devido a sua composição química. Os resultados fotoprotetores, além dos mutagênicos/fotomutagênicos, genotóxicos/fotogenotóxicos e suas respectivas avaliações citotóxicas também permitiram selecionar extratos e suas concentrações, como promissores candidatos em fotoproteção Assim, os EA e EH de H. laevifolia e L. laevifolium apresentam, no geral, os resultados mais significativos, tornando-se potenciais para avaliações refinadas em fotoproteção e na separação de componentes que possam levar a futuras aplicações como antioxidantes e protetores solares ou como adjuvantes.

A aprendizagem da trigonometria do triângulo rectângulo através da resolução de problemas

Relatório da prática de ensino supervisionada, Mestrado em Ensino da Matemática, Universidade de Lisboa, 2010

A Representation Theorem for Domains with Discrete and Continuous Variables.

This paper proves a new representation theorem for domains with both discrete and continuous variables. The result generalizes Debreu's well-known representation theorem on connected domains. A strengthening of the standard continuity axiom is used in order to guarantee the existence of a representation. A generalization of the main theorem and an application of the more general result are also presented.

Upper Semicontinuous Extensions of Binary Relations.

Suzumura shows that a binary relation has a weak order extension if and only if it is consistent. However, consistency is demonstrably not sufficient to extend an upper semi-continuous binary relation to an upper semicontinuous weak order. Jaffray proves that any asymmetric (or reflexive), transitive and upper semicontinuous binary relation has an upper semicontinuous strict (or weak) order extension. We provide sufficient conditions for existence of upper semicontinuous extensions of consistence rather than transitive relations. For asymmetric relations, consistency and upper semicontinuity suffice. For more general relations, we prove one theorem using a further consistency property and another with an additional continuity requirement.

Arrow's Theorem in Spatial Environments

In spatial environments, we consider social welfare functions satisfying Arrow's requirements. i.e., weak Pareto and independence of irrelevant alternatives. When the policy space os a one-dimensional continuum, such a welfare function is determined by a collection of 2n strictly quasi-concave preferences and a tie-breaking rule. As a corrollary, we obtain that when the number of voters is odd, simple majority voting is transitive if and only if each voter's preference is strictly quasi-concave. When the policy space is multi-dimensional, we establish Arrow's impossibility theorem. Among others, we show that weak Pareto, independence of irrelevant alternatives, and non-dictatorship are inconsistent if the set of alternatives has a non-empty interior and it is compact and convex.