Los programas While: bases para una teoría de la computabilidad

La Teoría de la Computabilidad estudia los límites teóricos de los sistemas computacionales. Uno de sus objetivos centrales consiste en clasificar los problemas en computables e incomputables, donde llamamos computable a un problema si admite solución informática. Para desarrollar estos resultados el modelo abstracto de computador más utilizado históricamente es la Máquina de Turing. Los estudiantes de Ingeniería Informática pueden percibir cierta lejanía entre el modelo teórico y los computadores reales por lo que es más adecuado utilizar un modelo más cercano a la programación como son los programas-while. Los Programas-while permiten resolver los mismos problemas que las máquinas de Turing, pero en cambio son mucho más sencillos de utilizar, sobre todo para personas que tienen una experiencia previa en la informática real, pues toman la forma de lenguaje imperativo clásico. Este texto además utiliza los Programas-while aprovechando sus ventajas y reformulándolos de manera que la computación quede definida en términos de manipulación de símbolos arbitrarios, algo que está mucho más en concordancia con la realidad informática. Además de explicar en detalle qué son los programas while y cómo se utilizan, se justifica por qué no es necesario incorporar otras instrucciones o tipos de datos.

Técnicas básicas de computabilidad

La Teoría de la Computabilidad es una disciplina encuadrada en la Informática Teórica que tiene como objetivo establecer los límites lógicos que presentan los sistemas informáticos a la hora de resolver problemas mediante el diseño de algoritmos. Frente a las disciplinas y técnicas que día a día amplían el campo de aplicabilidad práctica de los computadores, esta teoría establece una serie de barreras insalvables por ninguna tecnología digital de procesamiento de la información. Los métodos propios de la Teoría de la Computabilidad pueden ser extraordinariamente complejos, sin embargo, existe un núcleo de resultados fundamentales que son abordables mediante técnicas más asequibles, y que tienen la virtud de reflejar razonablemente el concepto central de indecidibilidad computacional. Este informe incluye una descripción de los conceptos y técnicas que configuran ese núcleo básico de la Teoría. Su propósito es dar cuenta de la primera batería de resultados relacionados con la incomputabilidad de algunos problemas conocidos y relevantes en Informática. Los resultados se presentan utilizando como estándar de programación los programas-while, incluyéndose una explicación detallada y sistemática de la técnica de Diagonalización, además de resultados tan importantes como la tesis de Church-Turing, la función universal o el problema de parada.

El método de reducción en Teoría de la Computabilidad

La Teoría de la Computabilidad es una disciplina encuadrada en la Informática Teórica que tiene como objetivo establecer los límites lógicos que presentan los sistemas informáticos a la hora de resolver problemas mediante el diseño de algoritmos. Estos resultados proporcionan importantes herramientas que se utilizan para demostrar tanto la computabilidad como la incomputabilidad de muchas funciones relevantes. Los primeros problemas incomputables que se encontraron lo fueron allá por la década de los años 30. El problema de parada es el primer y más conocido ejemplo de problema no resoluble mediante técnicas algorítmicas: ningún ordenador, por muy potente que sea, puede anticipar el comportamiento de los programas en ejecución, y decidir de antemano si terminarán o no. Este problema nos proporciona un soporte intuitivo para anticipar la incomputabilidad de otros problemas relacionados y un procedimiento para resolverlos: el método de diagonalización. Sin embargo para determinados problemas también incomputables hay que recurrir a otros métodos. Este texto incluye una descripción de otra técnica básica de Teoría de la Computabilidad: la Reducción. La base del método estriba en demostrar que ciertos pares de problemas están fuertemente relacionados de modo que si el segundo tiene solución algorítmica entonces el primero debe tenerla necesariamente también. Esta relación se establece por medio de funciones transformadoras computables, que permiten convertir de manera automática las instancias positivas del primer problema en instancias positivas del segundo. Esta técnica se utiliza muy a menudo porque resulta comparativamente más sencilla que la diagonalización, ya que en general requiere menos esfuerzo para demostrar la incomputabilidad de un mismo problema.

La enseñanza significativa del sistema verbal : un modelo operativo.

Tesis doctoral (Universidad de Granada, 1998)

Algunas demostraciones de incomputabilidad usando la técnica de diagonalización

Los supuestos fundamentales de la Teoría de la Computabilidad se establecieron antes de la aparición de los primeros ordenadores (a finales de los años 40), supuestos que muchos años de vertiginoso cambio no han conseguido alterar. Alan Mathison Turing demostró ya entonces que ningún ordenador, por muy potente que lo imaginemos, podría resolver algunas cuestiones. Estos problemas para los que no existe ningún algoritmo posible, los incomputables, no son excepcionales y hay un gran número de ellos entre los problemas que se plantean en torno al comportamiento de los programas. El problema de parada, es sin duda el miembro más conocido de esta familia: no existe un algoritmo para decidir con carácter general si un programa ciclará o no al recibir unos datos de entrada concretos. Para demostrar la incomputabilidad de un problema necesitamos un argumento lógico que certifique la inexistencia de algoritmo, o lo que es lo mismo, que pruebe que ninguno de los algoritmos existentes es capaz de resolver dicho problema. Tal argumento de carácter universal no suele ser sencillo de establecer, y normalmente suele estar relacionado con una demostración por reducción al absurdo. Existen distintas técnicas para lograr este objetivo. La técnica de diagonalización es la más básica de ellas, y resulta bastante conocida al no tratarse de una herramienta específica de la Informática Teórica. En este documento no se trata de explicar la técnica en sí, que se supone conocida, sino de ilustrarla con una colección de ejemplos de diferente grado de dificultad.