Processi di appropriazione nello studio della fisica quantistica: analisi di una sperimentazione didattica in una quinta liceo scientifico

In questa tesi sono stati analizzati i dati raccolti nella sperimentazione di un percorso di fisica quantistica in una quinta liceo scientifico – indirizzo musicale, svolta nel periodo Marzo-Giugno 2015. Il percorso, progettato dai ricercatori in Didattica della Fisica del DIFA di Bologna, comprende una parte “genuinamente” quantistica sviluppata a partire dall’“Esperimento più bello della Fisica”. Il percorso è stato progettato sulla base dei criteri che definiscono l’appropriazione, costrutto che esprime un particolare tipo di apprendimento attraverso cui lo studente “fa proprio” un concetto. L’analisi è stata condotta con l’obiettivo di osservare casi di appropriazione tra gli studenti e di rifinire il costrutto di appropriazione, valutando in particolare l’efficacia del questionario sociometrico, uno strumento appositamente progettato dall’autore di questa tesi per valutare una delle dimensioni di cui si compone il costrutto di appropriazione. I principali dati analizzati per dare risposta agli obiettivi della tesi riguardano le risposte degli studenti a interviste realizzate alla fine del percorso scolastico, nonché gli esiti di altre attività appositamente progettate: svolgimento di un compito in classe, elaborazione di un tema scientifico, compilazione di questionari. I risultati mostrano come si siano ritrovati tre punti molto delicati che possono ostacolare l’appropriazione: il tempo a disposizione, le dinamiche di classe e soprattutto il rapporto che hanno avuto gli studenti con i concetti quantistici del percorso. Tali fattori hanno portato reazioni molto diverse: chi è stato stimolato e questo ha favorito l’appropriazione, chi ha compreso la fisica quantistica ma non l’ha accettata, chi l’ha compresa e accettata senza troppi problemi, chi si è rifiutato di studiarla perché “troppo grande per sé”.

Corso-laboratorio pls "l'esperimento piu bello": Analisi di un'esperienza di insegnamento/apprendimento della fisica quantistica

In questo elaborato sono stati analizzati i dati raccolti nel Corso-Laboratorio “L’esperimento più bello”, realizzato nel periodo marzo-aprile 2013 nell'ambito delle attività del Piano Lauree Scientifiche del Dipartimento di Fisica e Astronomia di Bologna. Il Corso, frequentato da studenti volontari del quinto anno di Liceo Scientifico, era finalizzato ad introdurre concetti di Fisica Quantistica seguendo, come filo conduttore, l’esperimento di interferenza con elettroni singoli e le sue varianti. I principali dati considerati e analizzati riguardano le risposte degli studenti a questionari proposti a fine Corso per avere un riscontro sul tipo di coinvolgimento e sul livello di comprensione raggiunto. L’analisi è stata condotta con l’obiettivo specifico di valutare come gli studenti si siano posti di fronte ad alcuni approfondimenti formali sviluppati per interpretare gli esperimenti e come abbiano colto i concetti trattati, ritenuti necessari per entrare nel “nuovo modo di vedere il mondo della quantistica”: il concetto di stato, sovrapposizione, ampiezza di probabilità, entanglement.

Il gruppo delle rotazioni in fisica quantistica.

Lo scopo del presente lavoro è quello di analizzare il ben noto concetto di rotazione attraverso un formalismo matematico. Nella prima parte dell'elaborato si è fatto uso di alcune nozioni di teoria dei gruppi nella quale si definisce il gruppo ortogonale speciale in n dimensioni. Vengono studiati nel dettaglio i casi di rotazione in 2 e 3 dimensioni introducendo le parametrizzazioni più utilizzate. Nella seconda parte si introduce l'operatore di rotazione, il quale può essere applicato ad un sistema fisico di tipo quantistico. Vengono infine studiate le proprietà di simmetria di rotazione, definendone le caratteristiche e analizzando il caso particolare del potenziale centrale.

Learning and accepting quantum physics. Re-analysis of a teaching proposal

Nella tesi è analizzata nel dettaglio una proposta didattica sulla Fisica Quantistica elaborata dal gruppo di ricerca in Didattica della Fisica dell’Università di Bologna, in collaborazione con il gruppo di ricerca in Fisica Teorica e con ricercatori del CNR di Bologna. La proposta è stata sperimentata in diverse classi V di Liceo scientifico e dalle sperimentazioni sono emersi casi significativi di studenti che non sono riusciti ad accettare la teoria quantistica come descrizione convincente ad affidabile della realtà fisica (casi di non accettazione), nonostante sembrassero aver capito la maggior parte degli argomenti e essersi ‘appropriati’ del percorso per come gli era stato proposto. Da questa evidenza sono state formulate due domande di ricerca: (1) qual è la natura di questa non accettazione? Rispecchia una presa di posizione epistemologica o è espressione di una mancanza di comprensione profonda? (2) Nel secondo caso, è possibile individuare precisi meccanismi cognitivi che possono ostacolare o facilitare l’accettazione della fisica quantistica? L’analisi di interviste individuali degli studenti ha permesso di mettere in luce tre principali esigenze cognitive (cognitive needs) che sembrano essere coinvolte nell’accettazione e nell’apprendimento della fisica quantistica: le esigenze di visualizzabilità, comparabilità e di ‘realtà’. I ‘cognitive needs’ sono stati quindi utilizzati come strumenti di analisi delle diverse proposte didattiche in letteratura e del percorso di Bologna, al fine di metterne in luce le criticità. Sono state infine avanzate alcune proposte per un suo miglioramento.

Le funzioni wavelet nelle applicazioni scientifiche

Le wavelet sono una nuova famiglia di funzioni matematiche che permettono di decomporre una data funzione nelle sue diverse componenti in frequenza. Esse combinano le proprietà dell’ortogonalità, il supporto compatto, la localizzazione in tempo e frequenza e algoritmi veloci. Sono considerate, perciò, uno strumento versatile sia per il contenuto matematico, sia per le applicazioni. Nell’ultimo decennio si sono diffuse e imposte come uno degli strumenti migliori nell’analisi dei segnali, a fianco, o addirittura come sostitute, dei metodi di Fourier. Si parte dalla nascita di esse (1807) attribuita a J. Fourier, si considera la wavelet di A. Haar (1909) per poi incentrare l’attenzione sugli anni ’80, in cui J. Morlet e A. Grossmann definiscono compiutamente le wavelet nel campo della fisica quantistica. Altri matematici e scienziati, nel corso del Novecento, danno il loro contributo a questo tipo di funzioni matematiche. Tra tutti emerge il lavoro (1987) della matematica e fisica belga, I. Daubechies, che propone le wavelet a supporto compatto, considerate la pietra miliare delle applicazioni wavelet moderne. Dopo una trattazione matematica delle wavalet, dei relativi algoritmi e del confronto con il metodo di Fourier, si passano in rassegna le principali applicazioni di esse nei vari campi: compressione delle impronte digitali, compressione delle immagini, medicina, finanza, astonomia, ecc. . . . Si riserva maggiore attenzione ed approfondimento alle applicazioni delle wavelet in campo sonoro, relativamente alla compressione audio, alla rimozione del rumore e alle tecniche di rappresentazione del segnale. In conclusione si accenna ai possibili sviluppi e impieghi delle wavelet nel futuro.

La risonanza olistica. Arte, pedagogia e scienza della voce nelle culture dello spettacolo

La ricerca impostata considera campi disciplinari specifici e distinti, verso la loro integrazione, mirando a produrre un avanzamento relativo alla scienza della voce attraverso la pratica e lo studio della sua applicazione in campo artistico. A partire dall’analisi delle teorie novecentesche relative alla fonazione nel mondo della scena (Antonin Artaud, Stanislavskij e altri) per giungere alle acquisizioni prodotte dalle terapie corporee e vocali (Tomatis, Lowen, Wilfart in particolare), Marco Galignano ha sviluppato un percorso originale che è passato inoltre attraverso lo studio della pratica di una serie di artisti contemporanei (tra cui Baliani, Belli, Bergonzoni, Jodorowski, Hera, Lucenti e Manfredini) e di pedagoghi e terapeuti (da Serge Wilfart al maestro Paolo Zedda). Galignano ha inoltre riferito, nel suo lavoro, gli esiti della sua personale esperienza di formatore, sviluppata a Bologna all’interno di diversi Dipartimenti dell’Università Alma Mater, del Conservatorio di Musica G.B. Martini, dell’Accademia di Belle Arti e del Teatro Duse in particolare. L’obiettivo della tesi è dunque quello di fondare le basi teoriche per una rinnovata pedagogia vocale, a partire dalla possibile riscoperta del suono naturale fino a giungere alle potenzialità terapeutiche ed artistiche del linguaggio. Gli obiettivi di questo lavoro contemplano l’istituzione di una nuova modalità pedagogica, la sua diffusione attraverso una presentazione opportunamente composta e la sua inscrizione in diverse occorrenze artistiche e professionali. Molte le personalità di spicco del panorama internazionale della scienza e dell’arte della voce che hanno contribuito, negli anni, alla presente ricerca: Francesca Della Monica, insegnante di canto e performer, Tiziana Fuschini, logopedista, Franco Fussi, foniatra, Silvia Magnani, foniatra ed esperta di teatro, Gianpaolo Mignardi, logopedista, Dimitri Pasquali, pedagogo, Livio Presutti, medico chirurgo otorinolaringoiatra, Simonetta Selva, medico dello sport, Serge Wilfart, terapeuta della voce, Paolo Zedda, professore di canto in diverse realtà e Maestro di dizione al Conservatorio Nazionale di Parigi, e molti altri, oltre agli artisti citati in fondo, con le loro ricerche hanno contribuito direttamente alla redazione dell’elaborato finale, che mira a fondare le basi di una rinnovata pedagogia vocale per il teatro in Italia. La ricerca vuole infatti colmare in parte la penuria di apporti scientifici specificamente rivolti alla formazione vocale dell’attore teatrale. II lavoro vorrebbe inoltre raccogliere l’eredita di quei teorici, maestri e registi-pedagoghi che nel Novecento hanno posto le basi per la formazione dell’attore, e al tempo stesso prolungare la linea genealogica che da Stanislavskji trascorre in Grotowski, senza escludere esperienze fondate su presupposti alternativi alla formazione del repertorio vocale del performer: psicofisicità, terapie olistiche, fisica quantistica. Come accennato, una parte della ricerca è stata condotta in collaborazione col Prof. Franco Fussi, correlatore, e grazie al lavoro di redazione nel gruppo della rivista Culture Teatrali, diretto da Marco De Marinis, relatore. II percorso ha inteso infatti sviluppare alcune delle linee di ricerca aperte da Fussi virandole verso lo specifico dell’attività e del training vocale dell’attore, e ha avuto una tappa di verifica rilevante nel Convegno Internazionale di Foniatria e Logopedia “La Voce Artistica” di cui Fussi è direttore, a cui Galignano ha partecipato in veste di relatore. 1. II concetto guida del lavoro di Galignano risiede nell’idea di vibrazione e nel rapporto che questa intrattiene col suono. Il suono, per l’essere umano, costituisce la base materiale della fonazione, del linguaggio codificato comunitariamente così come dei particolari idioletti in continua evoluzione, basi della comunicazione verbale e paraverbale. Il linguaggio umano è costituito principalmente da sonorità vocale e da articolazione consonantica (rumori), e cioè composto di suoni armonici e di rumori prodotti da apparati articolari del corpo che risultano efficaci solo se integrati nel corpo da cui originano. A partire da un tentativo di definizione di salute corporea e di equilibrio psicofisico, attraverso l’analisi della rigenerazione cellulare e delle dinamiche comportamentali, Galignano definisce scientificamente la lingua parlata come emersione di codici comunicativi che originano da una schematizzazione del mondo intimo-personale del soggetto e si fondano su memorie molecolari, sull’attitudine comportamentale abituale, tra spontaneità, automatismi e capacità episodica di attenzione psicofisica. Ciò costituisce, per Galignano, la “risonanza olistica” alla base dell’efficacia comunicativa in sede pedagogica. L’argomento, che verrà sviluppato per la presentazione editoriale dell’elaborato e di cui la tesi di dottorato è solo una prima tappa in fieri, è stato sviscerato anche sulla base di nozioni di fisica classica e di fisica quantistica. Ciò senza dimenticare gli studi approfonditi sulla vocalità in ambito filosofico, da Bologna a Cavarero, da Napolitano a Zumthor. La tesi è composta attraverso una progressione che, a partire da una dichiarazione di poetica, trascorre poi verso l’analisi della fisiologia e della psicologia della voce, per approdare a una zona di approfondimento scientifico, teorico ed empirico, di una serie di metodi d’avanguardia di abilitazione e riabilitazione. In ultimo, come appendice, vengono riferiti i risultati del percorso laboratoriale condotto nel corso degli anni del dottorato di ricerca. Le esperienze sul campo maturate nell’ambito dell’attività pedagogica e laboratoriale si sono inoltre sviluppate a partire da un Progetto Strategico d’Ateneo dell’Università di Bologna intitolato “La Voce nel Corpo. La Recitazione e il Movimento Coreografico”, di cui Marco Galignano è responsabile scientifico. Un tempo specifico della tesi di dottorato è dunque composto a partire dai risultati maturati attraverso le varie azioni, laboratoriali e artistiche, che fin qui il progetto “La Voce nel Corpo” ha prodotto. In definitiva, attraverso il tessuto composto da esperienze pedagogiche, pratica artistica e ricerca scientifica, la tesi di dottorato di Galignano, work in progress, mira a comporre un sistema integrato, teorico-pratico, per l’insegnamento e la trasmissione di una specifica tecnica vocale calata nella pratica attoriale, ma utile a fini ulteriori, da quello riabilitativo fino alle tecniche di cura del sé su cui s’e appuntata la riflessione filosofica erede della teoresi artaudiana. La parte conclusiva della ricerca riguarda i suoi possibili futuri sviluppi, specifici, impostati attraverso la collaborazione, attuale, passata o in divenire, con artisti quali Marco Baliani, Matteo Belli, Alessandro Bergonzoni, Albert Hera, Michela Lucenti, Danio Manfredini e altri a cui Marco Galignano è particolarmente riconoscente.

Principi di simmetria nella formulazione del modello standard. Riflessioni per una proposta didattica sulla fisica dei primi anni '60

Obiettivo della tesi è sviluppare riflessioni per una proposta d’insegnamento inerente episodi significativi nella formulazione del Modello Standard e rivolta principalmente a studenti universitari del corso magistrale di “Storia della fisica”. Il lavoro di tesi è incentrato su un’analisi di articoli originali degli anni ’60, mirata a evidenziare il significato assunto dalla simmetria nella fisica del XX e XXI secolo, ovvero quello di principio alla base della formulazione di teorie fisiche; nello specifico, ci si è focalizzati sull’analisi di un episodio di particolare interesse culturale nella storia della fisica: la formulazione dell’ Eightfold Way (“Via dell’Ottetto”) sulla base del gruppo di simmetria SU(3) e la conseguente ipotesi sull'esistenza dei quark.

Il concetto di funzione. Una proposta didattica di approccio coordinato fra matematica e fisica

Da anni l’insegnamento “trasmissivo” delle scienze è messo in discussione e le ricerche condotte su grandi numeri di studenti di diverso livello scolare ne stanno dimostrando la scarsa efficacia. Si è cercato di documentare e interpretare le difficoltà esistenti per trovare soluzioni che garantiscano un apprendimento significativo. Il lavoro di tesi cerca di mettere a punto una proposta efficace per una formazione iniziale su un concetto matematico significativo: la funzione. Il percorso che presentiamo si sviluppa a partire da un’esperienza didattica in una terza secondaria inferiore in cui il passaggio dalla fase percettiva a quella più formale è affiancato dalla rappresentazione grafica relativa al moto del proprio corpo. L’attività ha permesso di avvicinare gli studenti ai fenomeni partendo da situazioni reali, di indagare le regolarità dei grafici, interpretare la relazione tra le grandezze e ha permesso a ciascuno di costruirsi un modello intuitivo. La proposta didattica si rivolge agli studenti più grandi del biennio della secondaria superiore ed è risultato abbastanza naturale adattare le prime fasi alla pre-sperimentazione. Si introduce la dipendenza lineare tra due variabili associandola ad un grafico rettilineo e si definisce la relazione che lega le variabili spazio temporali. Il passaggio al concetto di limite viene delineato attraverso l’ingrandimento e l’approssimazione della curva senza necessariamente introdurre rigore e formalismo ma sottolineando la finezza del significato matematico e il senso del procedimento. Tale proposta è un intreccio di contenuti matematici e fisici che avvicina gli studenti allo studio e alla comprensione della realtà di cui fanno parte.

Il ruolo della matematica nella meccanica quantistica in un approccio interdisciplinare per la scuola secondaria

Questo lavoro di tesi nasce all’interno del nucleo di ricerca in didattica della fisica dell’Università di Bologna, coordinato dalla professoressa Olivia Levrini e che coinvolge docenti di matematica e fisica dei Licei, assegnisti di ricerca e laureandi. Negli ultimi anni il lavoro del gruppo si è concentrato sullo studio di una possibile risposta all'evidente e pressante difficoltà di certi docenti nell'affrontare gli argomenti di meccanica quantistica che sono stati introdotti nelle indicazioni Nazionali per il Liceo Scientifico, dovuta a cause di vario genere, fra cui l'intrinseca complessità degli argomenti e l'inefficacia di molti libri di testo nel presentarli in modo adeguato. In questo contesto, la presente tesi si pone l’obiettivo di affrontare due problemi specifici di formalizzazione matematica in relazione a due temi previsti dalle Indicazioni Nazionali: il tema della radiazione di corpo nero, che ha portato Max Planck alla prima ipotesi di quantizzazione, e l’indeterminazione di Heisenberg, con il cambiamento di paradigma che ha costituito per l’interpretazione del mondo fisico. Attraverso un confronto diretto con le fonti, si cercherà quindi di proporre un percorso in cui il ruolo del protagonista sarà giocato dagli aspetti matematici delle teorie analizzate e dal modo in cui gli strumenti della matematica hanno contribuito alla loro formazione, mantenendo un costante legame con le componenti didattiche. Proprio in quest'ottica, ci si accorgerà della forte connessione fra i lavori di Planck e Heisenberg e due aspetti fondamentali della didattica della matematica: l'interdisciplinarietà con la fisica e il concetto di modellizzazione. Il lavoro finale sarà quindi quello di andare ad analizzare, attraverso un confronto con le Indicazioni Nazionali per il Liceo Scientifico e con alcune esigenze emerse dagli insegnanti, le parti e i modi in cui la tesi risponde a queste richieste.

Una prospettiva storico-filosofica sull'evoluzione del curricolo di fisica nella scuola: problemi e innovazioni pedagogiche

Negli ultimi vent’anni sono state proposte al livello internazionale alcune analisi dei problemi per le scienze nella scuola e diverse strategie per l’innovazione didattica. Molte ricerche hanno fatto riferimento a una nuova nozione di literacy scientifica, quale sapere fondamentale dell’educazione, indipendente dalle scelte professionali successive alla scuola. L’ipotesi di partenza di questa ricerca sostiene che alcune di queste analisi e l’idea di una nuova literacy scientifica di tipo non-vocazionale mostrino notevoli limiti quando rapportate al contesto italiano. Le specificità di quest’ultimo sono state affrontate, innanzitutto, da un punto di vista comparativo, discutendo alcuni documenti internazionali sull’insegnamento delle scienze. Questo confronto ha messo in luce la difficoltà di ottenere un insieme di evidenze chiare e definitive sui problemi dell’educazione scientifica discussi da questi documenti, in particolare per quanto riguarda i dati sulla crisi delle vocazioni scientifiche e sull’attitudine degli studenti verso le scienze. Le raccomandazioni educative e alcuni progetti curricolari internazionali trovano degli ostacoli decisivi nella scuola superiore italiana anche a causa di specificità istituzionali, come particolari principi di selezione e l’articolazione dei vari indirizzi formativi. Il presente lavoro si è basato soprattutto su una ricostruzione storico-pedagogica del curricolo di fisica, attraverso l’analisi delle linee guida nazionali, dei programmi di studio e di alcuni rappresentativi manuali degli ultimi decenni. Questo esame del curricolo “programmato” ha messo in luce, primo, il carattere accademico della fisica liceale e la sua debole rielaborazione culturale e didattica, secondo, l’impatto di temi e problemi internazionali sui materiali didattici. Tale impatto ha prodotto dei cambiamenti sul piano delle finalità educative e degli strumenti di apprendimento incorporati nei manuali. Nonostante l’evoluzione di queste caratteristiche del curricolo, tuttavia, l’analisi delle conoscenze storico-filosofiche utilizzate dai manuali ha messo in luce la scarsa contestualizzazione culturale della fisica quale uno degli ostacoli principali per l’insegnamento di una scienza più rilevante e formativa.

Operatori simmetrici massimali in meccanica quantistica

Si è proposto una serie di 4 assiomi per la MQ più deboli, e quindi più fondamentali, da cui è possibile dedurre i concetti di misura di probabilità, equazione di Schrodinger e operatori autoaggiunti, considerati i pilastri della MQ. Si è cercato di trovare le motivazioni fisiche che rendevano necessaria la loro formulazione e si sono sviluppate le conseguenze matematiche. In particolare ci si è focalizzati nel dimostrare che non a tutte le osservabili possono essere associati operatori simmetrici definiti su tutto lo spazio di Hilbert, da cui l’introduzione negli assiomi della MQ degli operatori simmetrici massimali densamente definiti; il punto fondamentale è che da questi ultimi è stato provato che si può arrivare alla corrispondenza biunivoca tra operatori autoaggiunti ed osservabili fisiche. Si è infine dimostrato che la condizione che un operatore sia simmetrico massimale non implica che esso sia autoaggiunto.

Le rappresentazioni in meccanica quantistica

Lo scopo di questo elaborato è compiere un viaggio virtuale attraverso le tappe principali dello sviluppo della teoria dei quanti e approfondirla nelle sue diverse rappresentazioni, quella di Erwin Schrodinger, quella di Werner Karl Heisenberg e quella di Paul Adrien Maurice Dirac, fino ad arrivare, nella fase conclusiva, a diverse applicazione delle rappresentazioni, sfiorando marginalmente la Teoria dei Campi e, di conseguenza, introducendo un parziale superamento della stessa Teoria Quantistica.

Il ruolo della metafora nella comunicazione della fisica contemporanea

Il presente lavoro si rivolge all’analisi del ruolo delle forme metaforiche nella divulgazione della fisica contemporanea. Il focus è sugli aspetti cognitivi: come possiamo spiegare concetti fisici formalmente complessi ad un audience di non-esperti senza ‘snaturarne’ i significati disciplinari (comunicazione di ‘buona fisica’)? L’attenzione è sulla natura stessa della spiegazione e il problema riguarda la valutazione dell’efficacia della spiegazione scientifica a non-professionisti. Per affrontare tale questione, ci siamo orientati alla ricerca di strumenti formali che potessero supportarci nell’analisi linguistica dei testi. La nostra attenzione si è rivolta al possibile ruolo svolto dalle forme metaforiche nella costruzione di significati disciplinarmente validi. Si fa in particolare riferimento al ruolo svolto dalla metafora nella comprensione di nuovi significati a partire da quelli noti, aspetto fondamentale nel caso dei fenomeni di fisica contemporanea che sono lontani dalla sfera percettiva ordinaria. In particolare, è apparsa particolarmente promettente come strumento di analisi la prospettiva della teoria della metafora concettuale. Abbiamo allora affrontato il problema di ricerca analizzando diverse forme metaforiche di particolare rilievo prese da testi di divulgazione di fisica contemporanea. Nella tesi viene in particolare discussa l’analisi di un case-study dal punto di vista della metafora concettuale: una analogia di Schrödinger per la particella elementare. I risultati dell’analisi suggeriscono che la metafora concettuale possa rappresentare uno strumento promettente sia per la valutazione della qualità delle forme analogiche e metaforiche utilizzate nella spiegazione di argomenti di fisica contemporanea che per la creazione di nuove e più efficaci metafore. Inoltre questa prospettiva di analisi sembra fornirci uno strumento per caratterizzare il concetto stesso di ‘buona fisica’. Riteniamo infine che possano emergere altri risultati di ricerca interessanti approfondendo l’approccio interdisciplinare tra la linguistica e la fisica.

Supersimmetria in meccanica quantistica ed oscillatore armonico supersimmetrico

Il presente lavoro è finalizzato ad illustrare i metodi algebrici di base e alcune applicazioni della Meccanica Quantistica Supersimmetrica, partendo da semplici modelli quantistici, come l’oscillatore armonico. Una volta introdotti tali metodi, rappresentati principalmente dalla fattorizzazione di hamiltoniani e dalla costruzione di sistemi partner supersimmetrici, nel corso della trattazione, vengono formalizzate le regole dell’algebra di Supersimmetria N=2 e mostrate le principali proprietà. Viene inoltre definito l’indice di Witten per analizzare la rottura spontanea della Supersimmetria. Infine, si applicano i risultati esposti a semplici modelli fisici: la barriera infinita e l’oscillatore armonico supersimmetrico discutendo di quest’ultimo le principali caratteristiche.