Les invariants de la chaleur en dimensions 1 et 2, et application à la hiérarchie de Korteweg-De Vries

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les invariants de la chaleur en dimensions 1 et 2, et application à la hiérarchie de Korteweg-De Vries

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Oscillatory integral operators related to pointwise convergence of Schrödinger operators

In this thesis we consider smooth analogues of operators studied in connection with the pointwise convergence of the solution, u(x,t), (x,t) ∈ ℝ^n x ℝ, of the free Schrodinger equation to the given initial data. Such operators are interesting examples of oscillatory integral operators with degenerate phase functions, and we develop strategies to capture the oscillations and obtain sharp L^2 → L^2 bounds. We then consider, for fixed smooth t(x), the restriction of u to the surface (x,t(x)). We find that u(x,t(x)) ∈ L^2(D^n) when the initial data is in a suitable L^2-Sobolev space H^8 (ℝ^n), where s depends on conditions on t.

Multiplicity results for some classes of Schrödinger-Poisson systems

In this thesis, we study the existence and multiplicity of solutions of the following class of Schr odinger-Poisson systems: u + u + l(x) u = (x; u) in R3; = l(x)u2 in R3; where l 2 L2(R3) or l 2 L1(R3). And we consider that the nonlinearity satis es the following three kinds of cases: (i) a subcritical exponent with (x; u) = k(x)jujp 2u + h(x)u (4 p < 2 ) under an inde nite case; (ii) a general inde nite nonlinearity with (x; u) = k(x)g(u) + h(x)u; (iii) a critical growth exponent with (x; u) = k(x)juj2 2u + h(x)jujq 2u (2 q < 2 ). It is worth mentioning that the thesis contains three main innovations except overcoming several di culties, which are generated by the systems themselves. First, as an unknown referee said in his report, we are the rst authors concerning the existence of multiple positive solutions for Schr odinger- Poisson systems with an inde nite nonlinearity. Second, we nd an interesting phenomenon in Chapter 2 and Chapter 3 that we do not need the condition R R3 k(x)ep 1dx < 0 with an inde nite noncoercive case, where e1 is the rst eigenfunction of +id in H1(R3) with weight function h. A similar condition has been shown to be a su cient and necessary condition to the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations with inde nite nonlinearity for a bounded domain (see e.g. Alama-Tarantello, Calc. Var. PDE 1 (1993), 439{475), or to be a su cient condition to the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations with inde nite nonlinearity in RN (see e.g. Costa-Tehrani, Calc. Var. PDE 13 (2001), 159{189). Moreover, the process used in this case can be applied to study other aspects of the Schr odinger-Poisson systems and it gives a way to study the Kirchho system and quasilinear Schr odinger system. Finally, to get sign changing solutions in Chapter 5, we follow the spirit of Hirano-Shioji, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 137 (2007), 333, but the procedure is simpler than that they have proposed in their paper.

Arrêt du grand conseil qui ordonne l'exécution des lettres en forme de provision de l'état et privilège d'opérateur du roi, suivant la cour, et de ses conseils, accordées au Sr Pierre-Raymond-Vaconssain, marchand épicier droguiste à Paris, le 1er septembre 1750, en la prévôté de l'hôtel et grande prévôté de France

[Acte. 1750-12-09. Paris]

Opérateur-réseau et approche relationnelle : l'industrie du fret aérien au Canada

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Croissance et ensemble nodal de fonctions propres du laplacien sur des surfaces

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal.

Initial boundary value problems for the nonlinear Schrödinger equation

A new spectral method for solving initial boundary value problems for linear and integrable nonlinear partial differential equations in two independent variables is applied to the nonlinear Schrödinger equation and to its linearized version in the domain {x≥l(t), t≥0}. We show that there exist two cases: (a) if l″(t)<0, then the solution of the linear or nonlinear equations can be obtained by solving the respective scalar or matrix Riemann-Hilbert problem, which is defined on a time-dependent contour; (b) if l″(t)>0, then the Riemann-Hilbert problem is replaced by a respective scalar or matrix problem on a time-independent domain. In both cases, the solution is expressed in a spectrally decomposed form.

Essential selfadjointness of singular magnetic Schrödinger operators on Riemannian manifolds

In this paper we extend the well-known Leinfelder–Simader theorem on the essential selfadjointness of singular Schrödinger operators to arbitrary complete Riemannian manifolds. This improves some earlier results of Shubin, Milatovic and others.

On the long time behavior of free stochastic Schrödinger evolutions

We discuss the time evolution of the wave function which is the solution of a stochastic Schrödinger equation describing the dynamics of a free quantum particle subject to spontaneous localizations in space. We prove global existence and uniqueness of solutions. We observe that there exist three time regimes: the collapse regime, the classical regime and the diffusive regime. Concerning the latter, we assert that the general solution converges almost surely to a diffusing Gaussian wave function having a finite spread both in position as well as in momentum. This paper corrects and completes earlier works on this issue.

Solving Schrödinger equation for two dimensional potential using supersymmetry

The formalism of supersymmetric Quantum Mechanics can be extended to arbitrary dimensions. We introduce this formalism and explore its utility to solve the Schodinger equation for a bidimensional potential. This potential can be applied in several systens in physical and chemistry context, for instance, it can be used to study benzene molecule.

A study about the solutions of Schrödinger equation with an asymptotically linear potential

We determine the solutions of the Schrödinger equation for an asymptotically linear potential. Analytical solutions are obtained by superalgebra in quantum mechanics and we establish when these solutions are possible. Numerical solutions for the spectra are obtained by the shifted 1/N expansion method.

Improved numerical approach for the time-independent Gross-Pitaevskii nonlinear Schrödinger equation

In the present work, we improve a numerical method, developed to solve the Gross-Pitaevkii nonlinear Schrödinger equation. A particular scaling is used in the equation, which permits us to evaluate the wave-function normalization after the numerical solution. We have a two-point boundary value problem, where the second point is taken at infinity. The differential equation is solved using the shooting method and Runge-Kutta integration method, requiring that the asymptotic constants, for the function and its derivative, be equal for large distances. In order to obtain fast convergence, the secant method is used. © 1999 The American Physical Society.