Zeta and L-functions of elliptic curves

In questa tesi si studiano alcune proprietà fondamentali delle funzioni Zeta e L associate ad una curva ellittica. In particolare, si dimostra la razionalità della funzione Zeta e l'ipotesi di Riemann per due famiglie specifiche di curve ellittiche. Si studia poi il problema dell'esistenza di un prolungamento analitico al piano complesso della funzione L di una curva ellittica con moltiplicazione complessa, attraverso l'analisi diretta di due casi particolari.

p-adic L functions and trivial zeroes

The following is adapted from the notes for the lecture. It announces results and conjectures about values of the p-adic L function of the symmetric square of an elliptic curve.

On Selmer groups and factoring p-adic L-functions

Thesis (Ph.D.)--University of Washington, 2016-06

On Li’s Coefficients for Some Classes of L-Functions

AMS Subj. Classification: 11M41, 11M26, 11S40

Irrégularités dans la distribution des nombres premiers et des suites plus générales dans les progressions arithmétiques

Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,\dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles. Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte. Le deuxième chapitre contient l'article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <>, qui s'observe dans les <>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $\delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $\delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules. Le troisième chapitre contient l'article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a\neq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $\bmod q$. Le quatrième chapitre contient l'article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $a\bmod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$.

Mesure de Mahler supérieure de certaines fonctions rationelles

Nous exprimons la mesure de Mahler 2-supérieure et 3-supérieure de certaines fonctions rationnelles en terme de valeurs spéciales de la fonction zêta, de fonctions L et de polylogarithmes multiples. Les résultats obtenus sont une généralisation de ceux obtenus dans [10] pour la mesure de Mahler classique. On améliore un de ces résultats en réduisant une combinaison linéaire de polylogarithmes multiples en termes de valeurs spéciales de fonctions L. On termine avec la réduction complète d’un cas particuler.

Numerical Computation of a Certain Dirichlet Series Attached to Siegel Modular Forms of Degree Two

The Rankin convolution type Dirichlet series D-F,D-G(s) of Siegel modular forms F and G of degree two, which was introduced by Kohnen and the second author, is computed numerically for various F and G. In particular, we prove that the series D-F,D-G(s), which shares the same functional equation and analytic behavior with the spinor L-functions of eigenforms of the same weight are not linear combinations of those. In order to conduct these experiments a numerical method to compute the Petersson scalar products of Jacobi Forms is developed and discussed in detail.

Sur la distribution des valeurs de la fonction zêta de Riemann et des fonctions L au bord de la bande critque

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Special functions of Weyl groups and their continuous and discrete orthogonality

Cette thèse s'intéresse à l'étude des propriétés et applications de quatre familles des fonctions spéciales associées aux groupes de Weyl et dénotées $C$, $S$, $S^s$ et $S^l$. Ces fonctions peuvent être vues comme des généralisations des polynômes de Tchebyshev. Elles sont en lien avec des polynômes orthogonaux à plusieurs variables associés aux algèbres de Lie simples, par exemple les polynômes de Jacobi et de Macdonald. Elles ont plusieurs propriétés remarquables, dont l'orthogonalité continue et discrète. En particulier, il est prouvé dans la présente thèse que les fonctions $S^s$ et $S^l$ caractérisées par certains paramètres sont mutuellement orthogonales par rapport à une mesure discrète. Leur orthogonalité discrète permet de déduire deux types de transformées discrètes analogues aux transformées de Fourier pour chaque algèbre de Lie simple avec racines des longueurs différentes. Comme les polynômes de Tchebyshev, ces quatre familles des fonctions ont des applications en analyse numérique. On obtient dans cette thèse quelques formules de <>, pour des fonctions de plusieurs variables, en liaison avec les fonctions $C$, $S^s$ et $S^l$. On fournit également une description complète des transformées en cosinus discrètes de types V--VIII à $n$ dimensions en employant les fonctions spéciales associées aux algèbres de Lie simples $B_n$ et $C_n$, appelées cosinus antisymétriques et symétriques. Enfin, on étudie quatre familles de polynômes orthogonaux à plusieurs variables, analogues aux polynômes de Tchebyshev, introduits en utilisant les cosinus (anti)symétriques.

La distribution des zéros des fonctions L

Selon la philosophie de Katz et Sarnak, la distribution des zéros des fonctions $L$ est prédite par le comportement des valeurs propres de matrices aléatoires. En particulier, le comportement des zéros près du point central révèle le type de symétrie de la famille de fonctions $L$. Une fois la symétrie identifiée, la philosophie de Katz et Sarnak conjecture que plusieurs statistiques associées aux zéros seront modélisées par les valeurs propres de matrices aléatoires du groupe correspondant. Ce mémoire étudiera la distribution des zéros près du point central de la famille des courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}[i]$. Brumer a effectué ces calculs en 1992 sur la famille de courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$. Les nouvelles problématiques reliées à la généralisation de ses travaux vers un corps de nombres seront mises en évidence

La distribution des zéros des fonctions L

Selon la philosophie de Katz et Sarnak, la distribution des zéros des fonctions $L$ est prédite par le comportement des valeurs propres de matrices aléatoires. En particulier, le comportement des zéros près du point central révèle le type de symétrie de la famille de fonctions $L$. Une fois la symétrie identifiée, la philosophie de Katz et Sarnak conjecture que plusieurs statistiques associées aux zéros seront modélisées par les valeurs propres de matrices aléatoires du groupe correspondant. Ce mémoire étudiera la distribution des zéros près du point central de la famille des courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}[i]$. Brumer a effectué ces calculs en 1992 sur la famille de courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$. Les nouvelles problématiques reliées à la généralisation de ses travaux vers un corps de nombres seront mises en évidence

Construction and analysis of a new conditional ferritin H knockout mouse strain/

Résumé Le fer joue un rôle important dans la plupart des fonctions biologiques mais sa présence excessive provoque la production de molécules réactives d'oxygène (ROS) qui peuvent contribuer à diverses maladies. La protéine de stockage du fer, la ferritine H, capte l'excès en fer et le stocke sous forme non-toxique, ce qui empêche des dommages potentiels. La délétion de la ferritine H dans des souris knock-out a été essayée antérieurement, mais ces souris mouraient au stade précoce du développement embryonnaire. Pour étudier l'importance du fer, et en particulier son stockage dans la ferritine, et pour pouvoir mieux comprendre les fonctions de la ferritine H, nous avons créé un modèle de souris knock-out conditionnelles de la ferritine H, selon le système classique de Cre-LoxP. Le premier exon et la région du promoteur du gène de la ferritine H ont été entourés de sites loxP. La mortalité embryonnaire provoquée par la délétion constitutive du gène de la ferritine H a été confirmée en croisant nos souris avec des souris exprimant nestin-Cre1. En croisant nos souris avec des souris transgéniques Mx-Cre, nous avons observé que l'induction de Cre par injection de polyI-polyC provoque la délétion presque complète de la ferritine H dans le foie (> 99%) et la rate (> 88%). Ces tissus ont également perdu une grande partie de leur réserve de fer. Cette observation apporte pour la première fois la preuve in vivo que la ferritine H est indispensable pour le stockage du fer, que les fonctions de la ferritine H et de la ferritine L ne sont pas équivalentes, et que la ferritine L ne peut pas assumer seule la fonction de stockage du fer. Dans le foie des souris knock-out, l'expression de l'ARN messager de l'hepcidine a été induite après 10 jours. En même temps, l'expression de l'ARN messager des gènes codant pour des protéines de l'absorption de fer (DMT1, ferroportin, Dcytb1 et hephaestin) a été réprimée mais dans le duodénum seulement. L'expression d'hepcidine est inversément corrélée avec celle des gènes liés à l'absorption de fer. Cette observation corrobore des études antérieures. Mais, en plus, elle montre également que cette répression se produit seulement dans l'intestin. Nous pouvons ainsi tirer la conclusion suivante : ou bien l'hepcidine a un récepteur spécifique dans le duodénum ou bien les gènes liés à l'absorption de fer dans le duodénum ont un facteur spécifique de transcription sensible à l'hepcidine. Aucune répression de DMT1 et de ferroportin n'a été observée dans les macrophages de la rate après l'induction d'hepcidine. La délétion de ferritine H a entraîné une augmentation du taux de mortalité des cellules hépatiques, ainsi que des altérations dans l'architecture normale du tissu de la rate. Vu par l'immunohistologie, le nombre de lymphocytes B et T était réduit dans la rate, tendant à démontrer que la ferritine H et l'homéostase du fer jouent un rôle dans l'immunité. En conclusion, le modèle de souris knock-out conditionnelles de la ferritine H nous fournit un outil précieux pour l'étude in vivo du rôle joué par la ferritine dans l'homéostase du fer, dans les dommages créés par les ROS, ainsi que dans l'apoptose et l'immunité. Summary Iron plays an important role in most biological functions. However, excess of iron results in production of reactive oxygen species (ROS) which could substantially contribute to pathology of various diseases. Ferritin H scavenges excess of iron and stores it in non-toxic form and potentially prevents the damage. Fenitin H targeting in mice has been attempted before, however, straight knockout was lethal in early embryonic stage. To study the role of iron and its storage protein ferritin and to further elucidate ferritin H functions, we aimed at creating a conditional ferritin H knockout mouse model by classical Cre-LoxP system. First exon along with promoter region of the ferritin H gene was foxed. Embryonic lethality of the constitutive ferritin H deletion was confirmed by crossing the foxed mice with mice expressing nestin Cre-1 as transgene. Almost complete deletion was observed in liver (> 99%) and spleen (>88%) upon induction of Cre by injecting polyI-polyC in Fth Lox/Lox; MxCre mice. These tissues also lost substantial fraction of their iron stores. This provides first in vivo evidence that ferritin H is required for iron storage, ferritin H and L functions are not redundant and that ferritin L cannot perform iron storage function alone. Hepcidin mRNA expression was induced after 10 days in the livers of deleted mice and, simultaneously, mRNA expression of iron absorption related genes (DMT 1, ferroportin, Dcytb1 and hephaestin) was repressed in duodenum only. Hepcidin expression is inversely correlated with that of duodenal iron absorption related genes. This is in agreement with previous studies. However, we also show that this repression happens only in intestine. This leads to the conclusion that either hepcidin has a specific receptor in duodenum or the iron absorption related genes have duodenum specific transcription factor that is responsive to hepcidin. No repression of DMT1 and ferroportin was observed in spleen macrophages upon hepcidin induction. Ferritin H deletion showed increased cell death in liver and disruption of normal architecture of spleen. B lymphocytes were reduced in spleen on immunohistology which point towards a role of ferritin H and iron homeostasis in immunity. In conclusion, ferritin H conditional knockout mouse model provides us with an invaluable tool to study the in vivo role of ferritin H in iron homeostasis, ROS mediated damage, apoptosis and immunity.

Sur la répartition des unités dans les corps quadratiques réels

Ce mémoire s'emploie à étudier les corps quadratiques réels ainsi qu'un élément particulier de tels corps quadratiques réels : l'unité fondamentale. Pour ce faire, le mémoire commence par présenter le plus clairement possible les connaissances sur différents sujets qui sont essentiels à la compréhension des calculs et des résultats de ma recherche. On introduit d'abord les corps quadratiques ainsi que l'anneau de ses entiers algébriques et on décrit ses unités. On parle ensuite des fractions continues puisqu'elles se retrouvent dans un algorithme de calcul de l'unité fondamentale. On traite ensuite des formes binaires quadratiques et de la formule du nombre de classes de Dirichlet, laquelle fait intervenir l'unité fondamentale en fonction d'autres variables. Une fois cette tâche accomplie, on présente nos calculs et nos résultats. Notre recherche concerne la répartition des unités fondamentales des corps quadratiques réels, la répartition des unités des corps quadratiques réels et les moments du logarithme de l'unité fondamentale. (Le logarithme de l'unité fondamentale est appelé le régulateur.)

Évaluation du régulateur sur une courbe modulaire et valeurs particulières

Bloch et Beilinson ont proposé plusieurs conjectures sur les liens entre les applications régulateurs du groupe de K-théorie algébrique associée à une courbe modulaire et des valeurs spéciales de fonction L. Fixons N, un entier naturel et considérons le sous-groupe de congruence $\Gamma_0(N)$. Le présent mémoire démontre une formule explicite entre le régulateur de la courbe modulaire $X_0(N)$ appliqué à une forme primitive et une valeur spéciale de la fonction L associée.