Characterization of the unfolding of a weak focus and modulus of analytic classification

La thèse présente une description géométrique d’un germe de famille générique déployant un champ de vecteurs réel analytique avec un foyer faible à l’origine et son complexifié : le feuilletage holomorphe singulier associé. On montre que deux germes de telles familles sont orbitalement analytiquement équivalents si et seulement si les germes de familles de difféomorphismes déployant la complexification de leurs fonctions de retour de Poincaré sont conjuguées par une conjugaison analytique réelle. Le “caractère réel” de la famille correspond à sa Z2-équivariance dans R^4, et cela s’exprime comme l’invariance du plan réel sous le flot du système laquelle, à son tour, entraîne que l’expansion asymptotique de la fonction de Poincaré est réelle quand le paramètre est réel. Le pullback du plan réel après éclatement par la projection monoidal standard intersecte le feuilletage en une bande de Möbius réelle. La technique d’éclatement des singularités permet aussi de donner une réponse à la question de la “réalisation” d’un germe de famille déployant un germe de difféomorphisme avec un point fixe de multiplicateur égal à −1 et de codimension un comme application de semi-monodromie d’une famille générique déployant un foyer faible d’ordre un. Afin d’étudier l’espace des orbites de l’application de Poincaré, nous utilisons le point de vue de Glutsyuk, puisque la dynamique est linéarisable auprès des points singuliers : pour les valeurs réels du paramètre, notre démarche, classique, utilise une méthode géométrique, soit un changement de coordonée (coordonée “déroulante”) dans lequel la dynamique devient beaucoup plus simple. Mais le prix à payer est que la géométrie locale du plan complexe ambiante devient une surface de Riemann, sur laquelle deux notions de translation sont définies. Après avoir pris le quotient par le relèvement de la dynamique nous obtenons l’espace des orbites, ce qui s’avère être l’union de trois tores complexes plus les points singuliers (l’espace résultant est non-Hausdorff). Les translations, le caractère réel de l’application de Poincaré et le fait que cette application est un carré relient les différentes composantes du “module de Glutsyuk”. Cette propriété implique donc le fait qu’une seule composante de l’invariant Glutsyuk est indépendante.

Structures quantiques de certaines sous-variétés lagrangiennes non-monotones

Soit (M,ω) un variété symplectique fermée et connexe.On considère des sous-variétés lagrangiennes α : L → (M,ω). Si α est monotone, c.- à-d. s’il existe η > 0 tel que ημ = ω, Paul Biran et Octav Conea ont défini une version relative de l’homologie quantique. Dans ce contexte ils ont déformé l’opérateur de bord du complexe de Morse ainsi que le produit d’intersection à l’aide de disques pseudo-holomorphes. On note (QH(L), ∗), l’homologie quantique de L munie du produit quantique. Le principal objectif de cette dissertation est de généraliser leur construction à un classe plus large d’espaces. Plus précisément on considère soit des sous-variétés presque monotone, c.-à-d. α est C1-proche d’un plongement lagrangian monotone ; soit les fibres toriques de variétés toriques Fano. Dans ces cas non nécessairement monotones, QH(L) va dépendre de certains choix, mais cela sera irrelevant pour les applications présentées ici. Dans le cas presque monotone, on s’intéresse principalement à des questions de déplaçabilité, d’uniréglage et d’estimation d’énergie de difféomorphismes hamiltoniens. Enfin nous terminons par une application combinant les deux approches, concernant la dynamique d’un hamiltonien déplaçant toutes les fibres toriques non-monotones dans CPn.

Représentation et détection des images et des surfaces déformables

La représentation d'une surface, son lissage et son utilisation pour l'identification, la comparaison, la classification, et l'étude des variations de volume, de courbure ou de topologie sont omniprésentes dans l'aire de la numérisation. Parmi les méthodes mathématiques, nous avons retenu les transformations difféomorphiques d'un pattern de référence. Il y a un grand intérêt théorique et numérique à approcher un difféomorphisme arbitraire par des difféomorphismes engendrés par des champs de vitesses. Sur le plan théorique la question est : "est-ce que le sous-groupe de difféomorphismes engendrés par des champs de vitesses est dense dans le groupe plus large de Micheletti pour la métrique de Courant ?" Malgré quelques progrès réalisés ici, cette question demeure ouverte. Les pistes empruntées ont alors convergé vers le sous-groupe de Azencott et de Trouvé et sa métrique dans le cadre de l'imagerie. Elle correspond à une notion de géodésique entre deux difféomorphismes dans leur sous-groupe. L'optimisation est utilisée pour obtenir un système d'équations état adjoint caractérisant la solution optimale du problème d'identification à partir des observations. Cette approche est adaptée à l'identification de surfaces obtenues par un numériseur tel que, par exemple, le scan d'un visage. Ce problème est beaucoup plus difficile que celui d'imagerie. On doit alors introduire un système de référence courbe et une surface à facettes pour les calculs. On donne la formulation du problème d'identification et du calcul du changement de volume par rapport à un scan de référence.

Représentation et identification des hypersurfaces

L’objectif à moyen terme de ce travail est d’explorer quelques formulations des problèmes d’identification de forme et de reconnaissance de surface à partir de mesures ponctuelles. Ces problèmes ont plusieurs applications importantes dans les domaines de l’imagerie médicale, de la biométrie, de la sécurité des accès automatiques et dans l’identification de structures cohérentes lagrangiennes en mécanique des fluides. Par exemple, le problème d’identification des différentes caractéristiques de la main droite ou du visage d’une population à l’autre ou le suivi d’une chirurgie à partir des données générées par un numériseur. L’objectif de ce mémoire est de préparer le terrain en passant en revue les différents outils mathématiques disponibles pour appréhender la géométrie comme variable d’optimisation ou d’identification. Pour l’identification des surfaces, on explore l’utilisation de fonctions distance ou distance orientée, et d’ensembles de niveau comme chez S. Osher et R. Fedkiw ; pour la comparaison de surfaces, on présente les constructions des métriques de Courant par A. M. Micheletti en 1972 et le point de vue de R. Azencott et A. Trouvé en 1995 qui consistent à générer des déformations d’une surface de référence via une famille de difféomorphismes. L’accent est mis sur les fondations mathématiques sous-jacentes que l’on a essayé de clarifier lorsque nécessaire, et, le cas échéant, sur l’exploration d’autres avenues.

Sur une classe de structures kählériennes généralisées toriques

Cette thèse concerne le problème de trouver une notion naturelle de «courbure scalaire» en géométrie kählérienne généralisée. L'approche utilisée consiste à calculer l'application moment pour l'action du groupe des difféomorphismes hamiltoniens sur l'espace des structures kählériennes généralisées de type symplectique. En effet, il est bien connu que l'application moment pour la restriction de cette action aux structures kählériennes s'identifie à la courbure scalaire riemannienne. On se limite à une certaine classe de structure kählériennes généralisées sur les variétés toriques notée $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$ que l'on reconnaît comme étant classifiées par la donnée d'une matrice antisymétrique $C$ et d'une fonction réelle strictement convexe $\tau$ (ayant un comportement adéquat au voisinage de la frontière du polytope moment). Ce point de vue rend évident le fait que toute structure kählérienne torique peut être déformée en un élément non kählérien de $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$, et on note que cette déformation à lieu le long d'une des classes que R. Goto a démontré comme étant libre d'obstruction. On identifie des conditions suffisantes sur une paire $(\tau,C)$ pour qu'elle donne lieu à un élément de $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$ et on montre qu'en dimension 4, ces conditions sont également nécessaires. Suivant l'adage «l'application moment est la courbure» mentionné ci-haut, des formules pour des notions de «courbure scalaire hermitienne généralisée» et de «courbure scalaire riemannienne généralisée» (en dimension 4) sont obtenues en termes de la fonction $\tau$. Enfin, une expression de la courbure scalaire riemannienne généralisée en termes de la structure bihermitienne sous-jacente est dégagée en dimension 4. Lorsque comparée avec le résultat des physiciens Coimbra et al., notre formule suggère un choix canonique pour le dilaton de leur théorie.

Accumulation de dose à partir de champs de déformation 4D appliqués aux traitements au CyberKnife et à l'IMRT

Le cancer pulmonaire est la principale cause de décès parmi tous les cancers au Canada. Le pronostic est généralement faible, de l'ordre de 15% de taux de survie après 5 ans. Les déplacements internes des structures anatomiques apportent une incertitude sur la précision des traitements en radio-oncologie, ce qui diminue leur efficacité. Dans cette optique, certaines techniques comme la radio-chirurgie et la radiothérapie par modulation de l'intensité (IMRT) visent à améliorer les résultats cliniques en ciblant davantage la tumeur. Ceci permet d'augmenter la dose reçue par les tissus cancéreux et de réduire celle administrée aux tissus sains avoisinants. Ce projet vise à mieux évaluer la dose réelle reçue pendant un traitement considérant une anatomie en mouvement. Pour ce faire, des plans de CyberKnife et d'IMRT sont recalculés en utilisant un algorithme Monte Carlo 4D de transport de particules qui permet d'effectuer de l'accumulation de dose dans une géométrie déformable. Un environnement de simulation a été développé afin de modéliser ces deux modalités pour comparer les distributions de doses standard et 4D. Les déformations dans le patient sont obtenues en utilisant un algorithme de recalage déformable d'image (DIR) entre les différentes phases respiratoire générées par le scan CT 4D. Ceci permet de conserver une correspondance de voxels à voxels entre la géométrie de référence et celles déformées. La DIR est calculée en utilisant la suite ANTs («Advanced Normalization Tools») et est basée sur des difféomorphismes. Une version modifiée de DOSXYZnrc de la suite EGSnrc, defDOSXYZnrc, est utilisée pour le transport de particule en 4D. Les résultats sont comparés à une planification standard afin de valider le modèle actuel qui constitue une approximation par rapport à une vraie accumulation de dose en 4D.

Accumulation de dose à partir de champs de déformation 4D appliqués aux traitements au CyberKnife et à l'IMRT

Le cancer pulmonaire est la principale cause de décès parmi tous les cancers au Canada. Le pronostic est généralement faible, de l'ordre de 15% de taux de survie après 5 ans. Les déplacements internes des structures anatomiques apportent une incertitude sur la précision des traitements en radio-oncologie, ce qui diminue leur efficacité. Dans cette optique, certaines techniques comme la radio-chirurgie et la radiothérapie par modulation de l'intensité (IMRT) visent à améliorer les résultats cliniques en ciblant davantage la tumeur. Ceci permet d'augmenter la dose reçue par les tissus cancéreux et de réduire celle administrée aux tissus sains avoisinants. Ce projet vise à mieux évaluer la dose réelle reçue pendant un traitement considérant une anatomie en mouvement. Pour ce faire, des plans de CyberKnife et d'IMRT sont recalculés en utilisant un algorithme Monte Carlo 4D de transport de particules qui permet d'effectuer de l'accumulation de dose dans une géométrie déformable. Un environnement de simulation a été développé afin de modéliser ces deux modalités pour comparer les distributions de doses standard et 4D. Les déformations dans le patient sont obtenues en utilisant un algorithme de recalage déformable d'image (DIR) entre les différentes phases respiratoire générées par le scan CT 4D. Ceci permet de conserver une correspondance de voxels à voxels entre la géométrie de référence et celles déformées. La DIR est calculée en utilisant la suite ANTs («Advanced Normalization Tools») et est basée sur des difféomorphismes. Une version modifiée de DOSXYZnrc de la suite EGSnrc, defDOSXYZnrc, est utilisée pour le transport de particule en 4D. Les résultats sont comparés à une planification standard afin de valider le modèle actuel qui constitue une approximation par rapport à une vraie accumulation de dose en 4D.