Commande optimale et jeux différentiels linéaires quadratiques

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Problèmes de premier passage et de commande optimale pour des chaînes de Markov à temps discret.

Nous considérons des processus de diffusion, définis par des équations différentielles stochastiques, et puis nous nous intéressons à des problèmes de premier passage pour les chaînes de Markov en temps discret correspon- dant à ces processus de diffusion. Comme il est connu dans la littérature, ces chaînes convergent en loi vers la solution des équations différentielles stochas- tiques considérées. Notre contribution consiste à trouver des formules expli- cites pour la probabilité de premier passage et la durée de la partie pour ces chaînes de Markov à temps discret. Nous montrons aussi que les résultats ob- tenus convergent selon la métrique euclidienne (i.e topologie euclidienne) vers les quantités correspondantes pour les processus de diffusion. En dernier lieu, nous étudions un problème de commande optimale pour des chaînes de Markov en temps discret. L’objectif est de trouver la valeur qui mi- nimise l’espérance mathématique d’une certaine fonction de coût. Contraire- ment au cas continu, il n’existe pas de formule explicite pour cette valeur op- timale dans le cas discret. Ainsi, nous avons étudié dans cette thèse quelques cas particuliers pour lesquels nous avons trouvé cette valeur optimale.

Problèmes de commande optimale stochastique généralisés

Cette thèse est divisée en deux grands chapitres, dont le premier porte sur des problèmes de commande optimale en dimension un et le deuxième sur des problèmes en dimension deux ou plus. Notons bien que, dans cette thèse, nous avons supposé que le facteur temps n'intervient pas. Dans le premier chapitre, nous calculons, au début, l'équation de programmation dynamique pour la valeur minimale F de l'espérance mathématique de la fonction de coût considérée. Ensuite, nous utilisons le théorème de Whittle qui est applicable seulement si une condition entre le bruit blanc v et les termes b et q associés à la commande est satisfaite. Sinon, nous procédons autrement. En effet, un changement de variable transforme notre équation en une équation de Riccati en G= F', mais sans conditions initiales. Dans certains cas, à partir de la symétrie des paramètres infinitésimaux et de q, nous pouvons en déduire le point x' où G(x')=0. Si ce n'est pas le cas, nous nous limitons à des bonnes approximations. Cette même démarche est toujours possible si nous sommes dans des situations particulières, par exemple, lorsque nous avons une seule barrière. Dans le deuxième chapitre, nous traitons les problèmes en dimension deux ou plus. Puisque la condition de Whittle est difficile à satisfaire dans ce cas, nous essayons de généraliser les résultats du premier chapitre. Nous utilisons alors dans quelques exemples la méthode des similitudes, qui permet de transformer le problème en dimension un. Ensuite, nous proposons une nouvelle méthode de résolution. Cette dernière linéarise l'équation de programmation dynamique qui est une équation aux dérivées partielles non linéaire. Il reste à la fin à trouver les conditions initiales pour la nouvelle fonction et aussi à vérifier que les n expressions obtenues pour F sont équivalentes.

Commande optimale d'un satellite à propulsion électrique utilisant les perturbations pour l'élimination des débris orbitaux en basse altitude

Depuis le lancement du premier satellite Spoutnik 1 en 1957, l’environnement spatial est de plus en plus utilisé et le nombre de débris orbitaux se multiplie naturellement, soit par des explosions, des collisions ou tout simplement par les opérations normales des satellites. Au-delà d'un certain seuil, la densité des débris orbitaux risque de créer une réaction en chaîne incontrôlée : l’effet Kessler. L’élimination des débris orbitaux en basse altitude permettrait de limiter cette réaction et ainsi de préserver l’environnement spatial afin de pouvoir l’utiliser de façon sécuritaire. L’élimination des débris orbitaux est une opération complexe et coûteuse. Elle consiste à déplacer des objets spatiaux inactifs vers une orbite basse pour mener à leur désintégration dans la basse atmosphère terrestre. En utilisant les perturbations orbitales, il est possible de réduire le coût du carburant requis pour effectuer les manœuvres orbitales nécessaires à l’élimination de ces débris. L'objectif principal de cette étude consiste à développer une procédure et une stratégie de commande autonome afin de modifier l'orbite des satellites non opérationnels (débris) pour mener à leur désintégration naturelle tout en optimisant les facteurs carburant et temps. Pour ce faire, un modèle d’atmosphère basé sur le modèle de Jacchia (1977) est développé. Un modèle de la dynamique du satellite inclut aussi les perturbations principales, soit : traînée atmosphérique, non sphéricité et distribution non uniforme de la masse de la Terre. Ces modèles ainsi qu'un algorithme de commande optimale pour un propulseur électrique sont développés et le tout est validé par simulations numériques sur Matlab/Simulink. Au terme de cette étude, les conditions optimales dans lesquelles il faut laisser un débris afin qu'il se désintègre dans la basse atmosphère de la Terre en quelques semaines seront données (type d'orbite : altitude, inclinaison, etc.) ainsi que le coût en carburant pour une telle mission. Cette étude permettra de prouver qu'il est possible de réaliser des missions d'élimination des débris orbitaux tout en réduisant les coûts associés aux manœuvres orbitales par l'utilisation des perturbations naturelles de l'environnement.

Induction optimale d'hypothermie par ventilation liquidienne totale : validation expérimentale et projection à l'humain

La ventilation liquidienne totale (VLT) consiste à remplir les poumons d'un liquide perfluorocarbone (PFC). Un respirateur liquidien assure la ventilation par un renouvellement cyclique de volume courant de PFC oxygéné et à température contrôlée. Ayant une capacité thermique volumique 1665 fois plus élevée que l'air, le poumon rempli de PFC devient un échangeur de chaleur performant avec la circulation pulmonaire. La température du PFC inspiré permet ainsi de contrôler la température artérielle, et par le fait même, le refroidissement des organes et des tissus. Des résultats récents d'expérimentations animales sur petits animaux ont démontré que le refroidissement ultra-rapide par VLT hypothermisante (VLTh) avait d'importants effets neuroprotecteurs et cardioprotecteurs. Induire rapidement et efficacement une hypothermie chez un patient par VLTh est une technique émergente qui suscite de grands espoirs thérapeutiques. Par contre, aucun dispositif approuvé pour la clinique n'est disponible et aucun résultat de VLTh sur humain n'est encore disponible. Le problème se situe dans le fait de contrôler la température du PFC inspiré de façon optimale pour induire une hypothermie chez l'humain tout en s'assurant que la température cardiaque reste supérieure à 30 °C pour éviter tout risque d'arythmie. Cette thèse présente le développement d'un modèle thermique paramétrique d'un sujet en VLTh complètement lié à la physiologie. Aux fins de validation du modèle sur des ovins pédiatriques et adultes, le prototype de respirateur liquidien Inolivent pour nouveau-né a dû être reconçu et adapté pour ventiler de plus gros animaux. Pour arriver à contrôler de façon optimale la température du PFC inspiré, un algorithme de commande optimale sous-contraintes a été développé. Après la validation du modèle thermique du nouveau-né à l'adulte par expérimentations animales, celui-ci a été projeté à l'humain. Afin de réduire le temps de calcul, un passage du modèle thermique en temps continu vers un modèle discret cycle-par-cycle a été effectué. À l'aide de la commande optimale et du développement numérique d'un profil de ventilation liquidienne chez des patients humains, des simulations d'induction d'hypothermie par VLTh ont pu être réalisées. La validation expérimentale du modèle thermique sur ovins nouveau-nés (5 kg), juvéniles (22 kg) et adultes (61 kg) a montré que celui-ci permettait de prédire les températures artérielles systémiques, du retour veineux et rectales. La projection à l'humain a permis de démontrer qu'il est possible de contrôler la température du PFC de façon optimale en boucle ouverte si le débit cardiaque et le volume mort thermique sont connus. S'ils ne peuvent être mesurés, la commande optimale pour le pire cas peut être calculée rendant l'induction d'hypothermie par VLTh sécuritaire pour tous les patients, mais diminuant quelque peu les vitesses de refroidissement.

Lettre... à Mgr. l'archevêque de Paris,... pour faire chanter le Te Deum en action de grâces de la victoire remportée sur les ennemis par l'armée de S. M., commandée par M. le mareschal duc de Luxembourg

[Acte royal. 1692-08-10. Versailles]

Lettre... à Mgr. l'archevesque de Paris,... pour faire chanter le Te Deum en l'église Nostre-Dame, en action de grâces de la prise de la ville de Rose par l'armée du Roy, commandée par M. le mareschal duc de Noailles

[Acte royal. 1693-06-16. Rocroy]

Lettre... à Mgr. l'archevêque de Paris,... pour faire chanter le Te Deum en l'église Nostre-Dame, en action de graces de la victoire remportée sur les ennemis dans la plaine de La Marsaille en Piedmont par l'armée du Roy, commandée par M. le mareschal de Catinat

[Acte royal. 1693-10-13. Fontainebleau]

Lettre... à Mgr. l'archevêque de Paris,... pour faire chanter le Te Deum en l'église Nostre-Dame, en action de grâces de la prise de la ville de Gironne en Catalogne par l'armée du Roy, commandée par M. le mareschal duc de Noailles

[Acte royal. 1694-07-12. Versailles]

Journal historique des opérations militaires du siège de Peschiera et de l'attaque des retranchemens de Sermione commandée par le général de division Chasseloup Laubat inspecteur général commandant en chef du génie à l'Armée d'Italie , accompagné de cartes et de plans, et suivi d'une note sur la maison de campagne de Catulle située à l'extrêmité de la presqu'île de Sermione. Par le chef d'escadron F. Hénin, adjoint, chef de l'état major des troupes du siège de Peschiera

Comprend : Plan du siège de Peschiera au mois de Nivose an IX / Gravé par Stagnon ; Plan de la presqu'île & de l'attaque des retranchemens de Sermione en Nivose An IX ; Plan de la maison de campagne de Catulle située à l'extrémité de la presqu'île de Sermione / Gravé par Stagnon, à Turin

Lettre... à Mgr l'archevesque de Paris,... pour faire chanter le Te Deum, lundy 18e may, en l'église N.-D., en action de grâce pour la prise de Bouchain par l'armée du Roy, commandée par Monsieur

[Acte royal. 1676-05-14. Au camp de Hurtebise]

Lettre... à Mgr. l'archevesque de Paris,... pour faire chanter le Te Deum en l'église Nostre-Dame, afin de remercier Dieu de la victoire remportée sur les ennemis par l'armée du Roy, commandée par M. le maréchal duc de Luxembourg

[Acte royal. 1690-07-12. Versailles]

Lettre... à Mgr. l'archevesque de Paris... pour faire chanter le Te Deum en l'église Nostre-Dame, en action de graces de la prise de la ville et chasteau d'Heidelberg par l'armée du Roy, commandée par M. le mareschal duc de Lorge

[Acte royal. 1693-05-27. Le Quesnoy]

Lettre... à Mgr. l'archevesque de Paris,... pour faire chanter le Te Deum en l'église Nostre-Dame, en action de graces de la victoire remportée en Catalogne sur les Espagnols par l'armée du Roy, commandée par M. le mareschal duc de Noailles

[Acte royal. 1694-06-07. Versailles]

Lettre... à Mgr. l'archevêque de Paris,... pour faire chanter le "Te Deum" en l'église Nostre-Dame, en action de graces de la prise de la ville et chasteau de Palamos par l'armée du Roy, commandée par M. le mareschal duc de Noailles

[Acte royal. 1694-06-22. Versailles]