Non-Markovian Dynamics in Continuous Variable Quantum Systems

The present manuscript represents the completion of a research path carried forward during my doctoral studies in the University of Turku. It contains information regarding my scientific contribution to the field of open quantum systems, accomplished in collaboration with other scientists. The main subject investigated in the thesis is the non-Markovian dynamics of open quantum systems with focus on continuous variable quantum channels, e.g. quantum Brownian motion models. Non-Markovianity is here interpreted as a manifestation of the existence of a flow of information exchanged by the system and environment during the dynamical evolution. While in Markovian systems the flow is unidirectional, i.e. from the system to the environment, in non-Markovian systems there are time windows in which the flow is reversed and the quantum state of the system may regain coherence and correlations previously lost. Signatures of a non-Markovian behavior have been studied in connection with the dynamics of quantum correlations like entanglement or quantum discord. Moreover, in the attempt to recognisee non-Markovianity as a resource for quantum technologies, it is proposed, for the first time, to consider its effects in practical quantum key distribution protocols. It has been proven that security of coherent state protocols can be enhanced using non-Markovian properties of the transmission channels. The thesis is divided in two parts: in the first part I introduce the reader to the world of continuous variable open quantum systems and non-Markovian dynamics. The second part instead consists of a collection of five publications inherent to the topic.

Numerical Simulation of Stochastic Di erential Equations

Stochastic differential equation (SDE) is a differential equation in which some of the terms and its solution are stochastic processes. SDEs play a central role in modeling physical systems like finance, Biology, Engineering, to mention some. In modeling process, the computation of the trajectories (sample paths) of solutions to SDEs is very important. However, the exact solution to a SDE is generally difficult to obtain due to non-differentiability character of realizations of the Brownian motion. There exist approximation methods of solutions of SDE. The solutions will be continuous stochastic processes that represent diffusive dynamics, a common modeling assumption for financial, Biology, physical, environmental systems. This Masters' thesis is an introduction and survey of numerical solution methods for stochastic differential equations. Standard numerical methods, local linearization methods and filtering methods are well described. We compute the root mean square errors for each method from which we propose a better numerical scheme. Stochastic differential equations can be formulated from a given ordinary differential equations. In this thesis, we describe two kind of formulations: parametric and non-parametric techniques. The formulation is based on epidemiological SEIR model. This methods have a tendency of increasing parameters in the constructed SDEs, hence, it requires more data. We compare the two techniques numerically.

Excessive functions, Appell polynomials and optimal stopping

The main topic of the thesis is optimal stopping. This is treated in two research articles. In the first article we introduce a new approach to optimal stopping of general strong Markov processes. The approach is based on the representation of excessive functions as expected suprema. We present a variety of examples, in particular, the Novikov-Shiryaev problem for Lévy processes. In the second article on optimal stopping we focus on differentiability of excessive functions of diffusions and apply these results to study the validity of the principle of smooth fit. As an example we discuss optimal stopping of sticky Brownian motion. The third research article offers a survey like discussion on Appell polynomials. The crucial role of Appell polynomials in optimal stopping of Lévy processes was noticed by Novikov and Shiryaev. They described the optimal rule in a large class of problems via these polynomials. We exploit the probabilistic approach to Appell polynomials and show that many classical results are obtained with ease in this framework. In the fourth article we derive a new relationship between the generalized Bernoulli polynomials and the generalized Euler polynomials.

Distribution asymptotique du nombre de diviseurs premiers distincts inférieurs ou égaux à m

Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$. Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations. Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent. Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1.

Les processus additifs markoviens et leurs applications en finance mathématique

Cette thèse porte sur les questions d'évaluation et de couverture des options dans un modèle exponentiel-Lévy avec changements de régime. Un tel modèle est construit sur un processus additif markovien un peu comme le modèle de Black- Scholes est basé sur un mouvement Brownien. Du fait de l'existence de plusieurs sources d'aléa, nous sommes en présence d'un marché incomplet et ce fait rend inopérant les développements théoriques initiés par Black et Scholes et Merton dans le cadre d'un marché complet. Nous montrons dans cette thèse que l'utilisation de certains résultats de la théorie des processus additifs markoviens permet d'apporter des solutions aux problèmes d'évaluation et de couverture des options. Notamment, nous arrivons à caracté- riser la mesure martingale qui minimise l'entropie relative à la mesure de probabilit é historique ; aussi nous dérivons explicitement sous certaines conditions, le portefeuille optimal qui permet à un agent de minimiser localement le risque quadratique associé. Par ailleurs, dans une perspective plus pratique nous caract érisons le prix d'une option Européenne comme l'unique solution de viscosité d'un système d'équations intégro-di érentielles non-linéaires. Il s'agit là d'un premier pas pour la construction des schémas numériques pour approcher ledit prix.

Quantifying diffusion in biofilms : from model hydrogels to living biofilms

Les biofilms sont des communautés de microorganismes incorporés dans une matrice exo-polymérique complexe. Ils sont reconnus pour jouer un rôle important comme barrière de diffusion dans les systèmes environnementaux et la santé humaine, donnant lieu à une résistance accrue aux antibiotiques et aux désinfectants. Comme le transfert de masse dans un biofilm est principalement dû à la diffusion moléculaire, il est primordial de comprendre les principaux paramètres influençant les flux de diffusion. Dans ce travail, nous avons étudié un biofilm de Pseudomonas fluorescens et deux hydrogels modèles (agarose et alginate) pour lesquels l’autodiffusion (mouvement Brownien) et les coefficients de diffusion mutuels ont été quantifiés. La spectroscopie par corrélation de fluorescence a été utilisée pour mesurer les coefficients d'autodiffusion dans une volume confocal de ca. 1 m3 dans les gels ou les biofilms, tandis que les mesures de diffusion mutuelle ont été faites par cellule de diffusion. En outre, la voltamétrie sur microélectrode a été utilisée pour évaluer le potentiel de Donnan des gels afin de déterminer son impact sur la diffusion. Pour l'hydrogel d'agarose, les observations combinées d'une diminution du coefficient d’autodiffusion et de l’augmentation de la diffusion mutuelle pour une force ionique décroissante ont été attribuées au potentiel de Donnan du gel. Des mesures de l'effet Donnan (différence de -30 mV entre des forces ioniques de 10-4 et 10-1 M) et l'accumulation correspondante d’ions dans l'hydrogel (augmentation d’un facteur de 13 par rapport à la solution) ont indiqué que les interactions électrostatiques peuvent fortement influencer le flux de diffusion de cations, même dans un hydrogel faiblement chargé tel que l'agarose. Curieusement, pour un gel plus chargé comme l'alginate de calcium, la variation de la force ionique et du pH n'a donné lieu qu'à de légères variations de la diffusion de sondes chargées dans l'hydrogel. Ces résultats suggèrent qu’en influençant la diffusion du soluté, l'effet direct des cations sur la structure du gel (compression et/ou gonflement induits) était beaucoup plus efficace que l'effet Donnan. De même, pour un biofilm bactérien, les coefficients d'autodiffusion étaient pratiquement constants sur toute une gamme de force ionique (10-4-10-1 M), aussi bien pour des petits solutés chargés négativement ou positivement (le rapport du coefficient d’autodiffusion dans biofilm sur celui dans la solution, Db/Dw ≈ 85 %) que pour des nanoparticules (Db/Dw≈ 50 %), suggérant que l'effet d'obstruction des biofilms l’emporte sur l'effet de charge. Les résultats de cette étude ont montré que parmi les divers facteurs majeurs qui affectent la diffusion dans un biofilm environnemental oligotrophe (exclusion stérique, interactions électrostatiques et hydrophobes), les effets d'obstruction semblent être les plus importants lorsque l'on tente de comprendre la diffusion du soluté. Alors que les effets de charge ne semblaient pas être importants pour l'autodiffusion de substrats chargés dans l'hydrogel d'alginate ou dans le biofilm bactérien, ils ont joué un rôle clé dans la compréhension de la diffusion à travers l’agarose. L’ensemble de ces résultats devraient être très utiles pour l'évaluation de la biodisponibilité des contaminants traces et des nanoparticules dans l'environnement.

Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène

Ce mémoire étudie le comportement des particules dont la position est maximale au temps t dans la marche aléatoire branchante et le mouvement brownien branchant sur R, pour des valeurs de t grandes. Plus exactement, on regarde le comportement du maximum d’une marche aléatoire branchante dans un environnement inhomogène en temps, au sens où la loi des accroissements varie en fonction du temps. On compare avec des modèles connus ou simplifiés, en particulier le modèle i.i.d., où l’on observe des marches aléatoires indépendantes et le modèle de la marche aléatoire homogène. On s’intéresse par la suite aux corrélations entre les particules maximales d’un mouvement brownien branchant. Plus précisément, on étudie le temps de branchement entre deux particules maximales. Finalement, on applique les méthodes et les résultats des premiers chapitres afin d’étudier les corrélations dans un mouvement brownien branchant dans un environnement inhomogène. Le résultat principal du mémoire stipule qu’il y a existence de temps de branchement au centre de l’intervalle [0, t] dans le mouvement brownien branchant inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour le mouvement brownien branchant standard. On présentera également certaines simulations numériques afin de corroborer les résultats numériques et pour établir des hypothèses pour une recherche future.

Thermal diffusivity of rhodamine 6G incorporated in silver nanofluid measured using mode-matched thermal lens technique

Dual beam mode-matched thermal lens method has been employed to measure the heat diffusion in nanofluid of silver with various volumes of rhodamine 6G, both dispersed in water. The important observation is an indication of temperature dependent diffusivity and that the overall heat diffusion is slower in the chemically prepared Ag sol compared to that of water. The experimental results can be explained assuming that Brownian motion is the main mechanism of heat transfer under the present experimental conditions. Light induced aggregation of the nanoparticles can also result in an anomalous diffusion behavior.

Validez del supuesto de neutralidad del horizonte de tiempo en el CAPM y la metodología del rango reescalado: aplicación a Colombia

La existencia de memoria de largo plazo en las series financieras implica que los retornos de un activo hoy pueden tener incidencia sobre los retornos futuros, incluso más allá del corto plazo. En presencia de dicha memoria el horizonte de inversión elegido puede resultar en diferentes condiciones de riesgo para el inversionista. Peters (1989 y 1992), Mandelbrot (1972), León y Vivas (2010), entre otros, encuentran evidencia de dependencia de largo plazo de las series de tiempo financieras y muestran sus principales implicaciones. Este documento se ocupa de extender el análisis al uso del supuesto de neutralidad del horizonte de tiempo en el CAPM, estimando el efecto cuantitativo de la existencia de dependencia de largo plazo en este modelo según lo desarrollado por Greene y Fieltz (1980). Los resultados para una muestra de acciones colombianas y estadounidenses muestran que la distribución de la medida del riesgo sistémico en el modelo, el beta, es estadísticamente diferente cuando se incorpora el efecto de dependencia de largo plazo; por lo tanto, los retornos esperados de estas acciones cambian. En el mercado colombiano se observa una sobreestimación del beta cuando no se realiza el ajuste propuesto, mientras que en las acciones estadounidenses analizadas el beta sin el ajuste se encuentra subestimado. En cuanto a los retornos esperados, estos son sobrevalorados al no tener en cuenta el ajuste por dependencia de largo plazo, tanto en las acciones colombianas como en las estadounidenses.

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Modelación estocástica y trading algorítmico del spread entre acciones mediante procesos de reversión a la media

Las estrategias de inversión pairs trading se basan en desviaciones del precio entre pares de acciones correlacionadas y han sido ampliamente implementadas por fondos de inversión tomando posiciones largas y cortas en las acciones seleccionadas cuando surgen divergencias y obteniendo utilidad cerrando la posición al converger. Se describe un modelo de reversión a la media para analizar la dinámica que sigue el diferencial del precio entre acciones ordinarias y preferenciales de una misma empresa en el mismo mercado. La media de convergencia en el largo plazo es obtenida con un filtro de media móvil, posteriormente, los parámetros del modelo de reversión a la media se estiman mediante un filtro de Kalman bajo una formulación de estado espacio sobre las series históricas. Se realiza un backtesting a la estrategia de pairs trading algorítmico sobre el modelo propuesto indicando potenciales utilidades en mercados financieros que se observan por fuera del equilibrio. Aplicaciones de los resultados podrían mostrar oportunidades para mejorar el rendimiento de portafolios, corregir errores de valoración y sobrellevar mejor periodos de bajos retornos.

Ecuaciones diferenciales estocásticas con condición final y soluciones de viscosidad de EDPS semilineales de segundo orden

El objetivo de este documento es recopilar algunos resultados clasicos sobre existencia y unicidad ´ de soluciones de ecuaciones diferenciales estocasticas (EDEs) con condici ´ on final (en ingl ´ es´ Backward stochastic differential equations) con particular enfasis en el caso de coeficientes mon ´ otonos, y su cone- ´ xion con soluciones de viscosidad de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) parab ´ olicas ´ y el´ıpticas semilineales de segundo orden.

Characterization and classification of tumor lesions using computerized fractal-based texture analysis and support vector machines in digital mammograms

Objective: This paper presents a detailed study of fractal-based methods for texture characterization of mammographic mass lesions and architectural distortion. The purpose of this study is to explore the use of fractal and lacunarity analysis for the characterization and classification of both tumor lesions and normal breast parenchyma in mammography. Materials and methods: We conducted comparative evaluations of five popular fractal dimension estimation methods for the characterization of the texture of mass lesions and architectural distortion. We applied the concept of lacunarity to the description of the spatial distribution of the pixel intensities in mammographic images. These methods were tested with a set of 57 breast masses and 60 normal breast parenchyma (dataset1), and with another set of 19 architectural distortions and 41 normal breast parenchyma (dataset2). Support vector machines (SVM) were used as a pattern classification method for tumor classification. Results: Experimental results showed that the fractal dimension of region of interest (ROIs) depicting mass lesions and architectural distortion was statistically significantly lower than that of normal breast parenchyma for all five methods. Receiver operating characteristic (ROC) analysis showed that fractional Brownian motion (FBM) method generated the highest area under ROC curve (A z = 0.839 for dataset1, 0.828 for dataset2, respectively) among five methods for both datasets. Lacunarity analysis showed that the ROIs depicting mass lesions and architectural distortion had higher lacunarities than those of ROIs depicting normal breast parenchyma. The combination of FBM fractal dimension and lacunarity yielded the highest A z value (0.903 and 0.875, respectively) than those based on single feature alone for both given datasets. The application of the SVM improved the performance of the fractal-based features in differentiating tumor lesions from normal breast parenchyma by generating higher A z value. Conclusion: FBM texture model is the most appropriate model for characterizing mammographic images due to self-affinity assumption of the method being a better approximation. Lacunarity is an effective counterpart measure of the fractal dimension in texture feature extraction in mammographic images. The classification results obtained in this work suggest that the SVM is an effective method with great potential for classification in mammographic image analysis.

The uniqueness of signature problem in the non-Markov setting

We establish a general framework for a class of multidimensional stochastic processes over [0,1] under which with probability one, the signature (the collection of iterated path integrals in the sense of rough paths) is well-defined and determines the sample paths of the process up to reparametrization. In particular, by using the Malliavin calculus we show that our method applies to a class of Gaussian processes including fractional Brownian motion with Hurst parameter H>1/4, the Ornstein–Uhlenbeck process and the Brownian bridge.