Applications and modelling in mathematics teaching

The aim of this paper is a comprehensive presentation of some important basic and general aspects of the topic applications and modelling, with emphasis on the secondary school level. Owing to the review character of this paper, some overlap with the survey paper Blum and Niss (1989) for ICME-6 in Budapest is inevitable. The paper will consist of three parts. In part 1, I shall try to clarify some basic concepts and remind the reader of a few application and modelling examples suitable for teaching. In part 2, I shall formulate some general aims for mathematics instruction and, on that basis, summarise the most important arguments for and against applications and modelling in mathematics teaching. Finally, in part 3, I shall discuss some relevant instructional aspects resulting from the considerations in part 2.

Mathematical problem solving, modelling, applications, and links to other subjects

The paper will consist of three parts. In part I we shall present some background considerations which are necessary as a basis for what follows. We shall try to clarify some basic concepts and notions, and we shall collect the most important arguments (and related goals) in favour of problem solving, modelling and applications to other subjects in mathematics instruction. In the main part II we shall review the present state, recent trends, and prospective lines of development, both in empirical or theoretical research and in the practice of mathematics instruction and mathematics education, concerning problem solving, modelling, applications and relations to other subjects. In particular, we shall identify and discuss four major trends: a widened spectrum of arguments, an increased globality, an increased unification, and an extended use of computers. In the final part III we shall comment upon some important issues and problems related to our topic.

Mathematical modelling in mathematics education and instruction

This paper aims at giving a concise survey of the present state-of-the-art of mathematical modelling in mathematics education and instruction. It will consist of four parts. In part 1, some basic concepts relevant to the topic will be clarified and, in particular, mathematical modelling will be defined in a broad, comprehensive sense. Part 2 will review arguments for the inclusion of modelling in mathematics teaching at schools and universities, and identify certain schools of thought within mathematics education. Part 3 will describe the role of modelling in present mathematics curricula and in everyday teaching practice. Some obstacles for mathematical modelling in the classroom will be analysed, as well as the opportunities and risks of computer usage. In part 4, selected materials and resources for teaching mathematical modelling, developed in the last few years in America, Australia and Europe, will be presented. The examples will demonstrate many promising directions of development.

Applied mathematical problem solving, modelling, applications, and links to other subjects

The paper will consist of three parts. In part I we shall present some background considerations which are necessary as a basis for what follows. We shall try to clarify some basic concepts and notions, and we shall collect the most important arguments (and related goals) in favour of problem solving, modelling and applications to other subjects in mathematics instruction. In the main part II we shall review the present state, recent trends, and prospective lines of development, both in empirical or theoretical research and in the practice of mathematics instruction and mathematics education, concerning (applied) problem solving, modelling, applications and relations to other subjects. In particular, we shall identify and discuss four major trends: a widened spectrum of arguments, an increased globality, an increased unification, and an extended use of computers. In the final part III we shall comment upon some important issues and problems related to our topic.

Hybrid Power System Modelling - Simulation and Energy Management Unit Development

Weltweit leben mehr als 2 Milliarden Menschen in ländlichen Gebieten. Als Konzept für die elektrische Energieversorgung solcher Gebiete kommen dezentrale elektrische Energieversorgungseinheiten zum Einsatz, die lokal verfügbare erneuerbare Ressourcen nutzen. Stand der Technik bilden Einheiten, die auf PV-Diesel-Batterie System basieren. Die verwendeten Versorgungsskonzepte in Hybridsystemen sind durch den Einsatz von Batterien als Energiespeicher meist wenig zuverlässig und teuer. Diese Energiespeicher sind sehr aufwendig zu überwachen und schwerig zu entsorgen. Den Schwerpunkt dieser Arbeit bildet die Entwicklung eines neuen Hybridsystems mit einem Wasserreservoir als Energiespeicher. Dieses Konzept eignet sich für Bergregionen in Entwicklungsländern wie Nepal, wo z.B. neben der solaren Strahlung kleine Flüsse in großer Anzahl vorhanden sind. Das Hybridsystem verfügt über einen Synchrongenerator, der die Netzgrößen Frequenz und Spannung vorgibt und zusätzlich unterstützen PV und Windkraftanlage die Versorgung. Die Wasserkraftanlage soll den Anteil der erneuerbaren Energienutzung erhöhen. Die Erweiterung des Systems um ein Dieselaggregat soll die Zuverlässigkeit der Versorgung erhöhen. Das Hybridsystem inkl. der Batterien wird modelliert und simuliert. Anschließend werden die Simulations- und Messergebnisse verglichen, um eine Validierung des Modells zu erreichen. Die Regelungsstruktur ist aufgrund der hohen Anzahl an Systemen und Parametern sehr komplex. Sie wird mit dem Simulationstool Matlab/Simulink nachgebildet. Das Verhalten des Gesamtsystems wird unter verschiedene Lasten und unterschiedlichen meteorologischen Gegebenheiten untersucht. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Entwicklung einer modularen Energiemanagementeinheit, die auf Basis der erneuerbaren Energieversorgung aufgebaut wird. Dabei stellt die Netzfrequenz eine wichtige Eingangsgröße für die Regelung dar. Sie gibt über die Wirkleistungsstatik die Leistungsänderung im Netz wider. Über diese Angabe und die meteorologischen Daten kann eine optimale wirtschaftliche Aufteilung der Energieversorgung berechnet und eine zuverlässige Versorgung gewährleistet werden. Abschließend wurde die entwickelte Energiemanagementeinheit hardwaretechnisch aufgebaut, sowie Sensoren, Anzeige- und Eingabeeinheit in die Hardware integriert. Die Algorithmen werden in einer höheren Programmiersprache umgesetzt. Die Simulationen unter verschiedenen meteorologischen und netztechnischen Gegebenheiten mit dem entwickelten Model eines Hybridsystems für die elektrische Energieversorgung haben gezeigt, dass das verwendete Konzept mit einem Wasserreservoir als Energiespeicher ökologisch und ökonomisch eine geeignete Lösung für Entwicklungsländer sein kann. Die hardwaretechnische Umsetzung des entwickelten Modells einer Energiemanagementeinheit hat seine sichere Funktion bei der praktischen Anwendung in einem Hybridsystem bestätigen können.

Quality Criteria for Enterprise Modelling in the context of networked Enterprises

The capability for collaboration is a key success factor for networked enterprises. The paper introduces a methodology supporting the application of Enterprise Modelling in order to improve the maturity for collaboration. The methodology considers the current status of maturity for interoperability for deducing the right modelling approach. The approach is combined with quality criteria of the models in order to guide the modelling process. Both the deducing approach and the quality criteria are related to the levels of interoperability proposed by the ATHENA Interoperability Framework.

Enterprise Modelling Approach based on Maturity and Business Scope perspectives

This paper introduces a framework that supports users to implement enterprise modelling within collaborative companies. These enterprise models are the basis for a holistic interoperability measurement and management methodology which will be presented in the second part of the paper. The discipline of enterprise modelling aims at capturing all dimensions of an enterprise in a simplified model. Thus enterprise models are the appropriate basis for managing collaborative enterprise as they reduce the complexity of interoperability problems. Therefore, a first objective of this paper is to present an approach that enables companies to get the most effect out of enterprise modelling in a collaborative environment based on the maturity of their organisation relative to modelling. Within this first step, the user will get recommendations e.g. for the correct modelling language as well as the right level of detail.

Die aeroelastische Stabilitätsanalyse – ein praxisnaher Ansatz zur intervalltheoretischen Betrachtung von Modellierungsunsicherheiten am Flugzeug

Die Untersuchung des dynamischen aeroelastischen Stabilitätsverhaltens von Flugzeugen erfordert sehr komplexe Rechenmodelle, welche die wesentlichen elastomechanischen und instationären aerodynamischen Eigenschaften der Konstruktion wiedergeben sollen. Bei der Modellbildung müssen einerseits Vereinfachungen und Idealisierungen im Rahmen der Anwendung der Finite Elemente Methode und der aerodynamischen Theorie vorgenommen werden, deren Auswirkungen auf das Simulationsergebnis zu bewerten sind. Andererseits können die strukturdynamischen Kenngrößen durch den Standschwingungsversuch identifiziert werden, wobei die Ergebnisse Messungenauigkeiten enthalten. Für eine robuste Flatteruntersuchung müssen die identifizierten Unwägbarkeiten in allen Prozessschritten über die Festlegung von unteren und oberen Schranken konservativ ermittelt werden, um für alle Flugzustände eine ausreichende Flatterstabilität sicherzustellen. Zu diesem Zweck wird in der vorliegenden Arbeit ein Rechenverfahren entwickelt, welches die klassische Flatteranalyse mit den Methoden der Fuzzy- und Intervallarithmetik verbindet. Dabei werden die Flatterbewegungsgleichungen als parameterabhängiges nichtlineares Eigenwertproblem formuliert. Die Änderung der komplexen Eigenlösung infolge eines veränderlichen Einflussparameters wird mit der Methode der numerischen Fortsetzung ausgehend von der nominalen Startlösung verfolgt. Ein modifizierter Newton-Iterations-Algorithmus kommt zur Anwendung. Als Ergebnis liegen die berechneten aeroelastischen Dämpfungs- und Frequenzverläufe in Abhängigkeit von der Fluggeschwindigkeit mit Unschärfebändern vor.

Comprehensive evaluation of the WaterGAP3 model across climatic, physiographic, and anthropogenic gradients

In den letzten Jahrzehnten haben sich makroskalige hydrologische Modelle als wichtige Werkzeuge etabliert um den Zustand der globalen erneuerbaren Süßwasserressourcen flächendeckend bewerten können. Sie werden heutzutage eingesetzt um eine große Bandbreite wissenschaftlicher Fragestellungen zu beantworten, insbesondere hinsichtlich der Auswirkungen anthropogener Einflüsse auf das natürliche Abflussregime oder der Auswirkungen des globalen Wandels und Klimawandels auf die Ressource Wasser. Diese Auswirkungen lassen sich durch verschiedenste wasserbezogene Kenngrößen abschätzen, wie z.B. erneuerbare (Grund-)Wasserressourcen, Hochwasserrisiko, Dürren, Wasserstress und Wasserknappheit. Die Weiterentwicklung makroskaliger hydrologischer Modelle wurde insbesondere durch stetig steigende Rechenkapazitäten begünstigt, aber auch durch die zunehmende Verfügbarkeit von Fernerkundungsdaten und abgeleiteten Datenprodukten, die genutzt werden können, um die Modelle anzutreiben und zu verbessern. Wie alle makro- bis globalskaligen Modellierungsansätze unterliegen makroskalige hydrologische Simulationen erheblichen Unsicherheiten, die (i) auf räumliche Eingabedatensätze, wie z.B. meteorologische Größen oder Landoberflächenparameter, und (ii) im Besonderen auf die (oftmals) vereinfachte Abbildung physikalischer Prozesse im Modell zurückzuführen sind. Angesichts dieser Unsicherheiten ist es unabdingbar, die tatsächliche Anwendbarkeit und Prognosefähigkeit der Modelle unter diversen klimatischen und physiographischen Bedingungen zu überprüfen. Bisher wurden die meisten Evaluierungsstudien jedoch lediglich in wenigen, großen Flusseinzugsgebieten durchgeführt oder fokussierten auf kontinentalen Wasserflüssen. Dies steht im Kontrast zu vielen Anwendungsstudien, deren Analysen und Aussagen auf simulierten Zustandsgrößen und Flüssen in deutlich feinerer räumlicher Auflösung (Gridzelle) basieren. Den Kern der Dissertation bildet eine umfangreiche Evaluierung der generellen Anwendbarkeit des globalen hydrologischen Modells WaterGAP3 für die Simulation von monatlichen Abflussregimen und Niedrig- und Hochwasserabflüssen auf Basis von mehr als 2400 Durchflussmessreihen für den Zeitraum 1958-2010. Die betrachteten Flusseinzugsgebiete repräsentieren ein breites Spektrum klimatischer und physiographischer Bedingungen, die Einzugsgebietsgröße reicht von 3000 bis zu mehreren Millionen Quadratkilometern. Die Modellevaluierung hat dabei zwei Zielsetzungen: Erstens soll die erzielte Modellgüte als Bezugswert dienen gegen den jegliche weiteren Modellverbesserungen verglichen werden können. Zweitens soll eine Methode zur diagnostischen Modellevaluierung entwickelt und getestet werden, die eindeutige Ansatzpunkte zur Modellverbesserung aufzeigen soll, falls die Modellgüte unzureichend ist. Hierzu werden komplementäre Modellgütemaße mit neun Gebietsparametern verknüpft, welche die klimatischen und physiographischen Bedingungen sowie den Grad anthropogener Beeinflussung in den einzelnen Einzugsgebieten quantifizieren. WaterGAP3 erzielt eine mittlere bis hohe Modellgüte für die Simulation von sowohl monatlichen Abflussregimen als auch Niedrig- und Hochwasserabflüssen, jedoch sind für alle betrachteten Modellgütemaße deutliche räumliche Muster erkennbar. Von den neun betrachteten Gebietseigenschaften weisen insbesondere der Ariditätsgrad und die mittlere Gebietsneigung einen starken Einfluss auf die Modellgüte auf. Das Modell tendiert zur Überschätzung des jährlichen Abflussvolumens mit steigender Aridität. Dieses Verhalten ist charakteristisch für makroskalige hydrologische Modelle und ist auf die unzureichende Abbildung von Prozessen der Abflussbildung und –konzentration in wasserlimitierten Gebieten zurückzuführen. In steilen Einzugsgebieten wird eine geringe Modellgüte hinsichtlich der Abbildung von monatlicher Abflussvariabilität und zeitlicher Dynamik festgestellt, die sich auch in der Güte der Niedrig- und Hochwassersimulation widerspiegelt. Diese Beobachtung weist auf notwendige Modellverbesserungen in Bezug auf (i) die Aufteilung des Gesamtabflusses in schnelle und verzögerte Abflusskomponente und (ii) die Berechnung der Fließgeschwindigkeit im Gerinne hin. Die im Rahmen der Dissertation entwickelte Methode zur diagnostischen Modellevaluierung durch Verknüpfung von komplementären Modellgütemaßen und Einzugsgebietseigenschaften wurde exemplarisch am Beispiel des WaterGAP3 Modells erprobt. Die Methode hat sich als effizientes Werkzeug erwiesen, um räumliche Muster in der Modellgüte zu erklären und Defizite in der Modellstruktur zu identifizieren. Die entwickelte Methode ist generell für jedes hydrologische Modell anwendbar. Sie ist jedoch insbesondere für makroskalige Modelle und multi-basin Studien relevant, da sie das Fehlen von feldspezifischen Kenntnissen und gezielten Messkampagnen, auf die üblicherweise in der Einzugsgebietsmodellierung zurückgegriffen wird, teilweise ausgleichen kann.

A Computational Model for Observation in Quantum Mechanics

A computational model of observation in quantum mechanics is presented. The model provides a clean and simple computational paradigm which can be used to illustrate and possibly explain some of the unintuitive and unexpected behavior of some quantum mechanical systems. As examples, the model is used to simulate three seminal quantum mechanical experiments. The results obtained agree with the predictions of quantum mechanics (and physical measurements), yet the model is perfectly deterministic and maintains a notion of locality.

Modelling the Somantic Electrical Response of Hippocampal Pyramidal Neurons

A modeling study of hippocampal pyramidal neurons is described. This study is based on simulations using HIPPO, a program which simulates the somatic electrical activity of these cells. HIPPO is based on a) descriptions of eleven non-linear conductances that have been either reported for this class of cell in the literature or postulated in the present study, and b) an approximation of the electrotonic structure of the cell that is derived in this thesis, based on data for the linear properties of these cells. HIPPO is used a) to integrate empirical data from a variety of sources on the electrical characteristics of this type of cell, b) to investigate the functional significance of the various elements that underly the electrical behavior, and c) to provide a tool for the electrophysiologist to supplement direct observation of these cells and provide a method of testing speculations regarding parameters that are not accessible.

Computational Structure of Human Language

The central thesis of this report is that human language is NP-complete. That is, the process of comprehending and producing utterances is bounded above by the class NP, and below by NP-hardness. This constructive complexity thesis has two empirical consequences. The first is to predict that a linguistic theory outside NP is unnaturally powerful. The second is to predict that a linguistic theory easier than NP-hard is descriptively inadequate. To prove the lower bound, I show that the following three subproblems of language comprehension are all NP-hard: decide whether a given sound is possible sound of a given language; disambiguate a sequence of words; and compute the antecedents of pronouns. The proofs are based directly on the empirical facts of the language user's knowledge, under an appropriate idealization. Therefore, they are invariant across linguistic theories. (For this reason, no knowledge of linguistic theory is needed to understand the proofs, only knowledge of English.) To illustrate the usefulness of the upper bound, I show that two widely-accepted analyses of the language user's knowledge (of syntactic ellipsis and phonological dependencies) lead to complexity outside of NP (PSPACE-hard and Undecidable, respectively). Next, guided by the complexity proofs, I construct alternate linguisitic analyses that are strictly superior on descriptive grounds, as well as being less complex computationally (in NP). The report also presents a new framework for linguistic theorizing, that resolves important puzzles in generative linguistics, and guides the mathematical investigation of human language.

Computational Models of Object Recognition in Cortex: A Review

Understanding how biological visual systems perform object recognition is one of the ultimate goals in computational neuroscience. Among the biological models of recognition the main distinctions are between feedforward and feedback and between object-centered and view-centered. From a computational viewpoint the different recognition tasks - for instance categorization and identification - are very similar, representing different trade-offs between specificity and invariance. Thus the different tasks do not strictly require different classes of models. The focus of the review is on feedforward, view-based models that are supported by psychophysical and physiological data.

Possible solution of some essential zero problems in compositional data analysis

One of the tantalising remaining problems in compositional data analysis lies in how to deal with data sets in which there are components which are essential zeros. By an essential zero we mean a component which is truly zero, not something recorded as zero simply because the experimental design or the measuring instrument has not been sufficiently sensitive to detect a trace of the part. Such essential zeros occur in many compositional situations, such as household budget patterns, time budgets, palaeontological zonation studies, ecological abundance studies. Devices such as nonzero replacement and amalgamation are almost invariably ad hoc and unsuccessful in such situations. From consideration of such examples it seems sensible to build up a model in two stages, the first determining where the zeros will occur and the second how the unit available is distributed among the non-zero parts. In this paper we suggest two such models, an independent binomial conditional logistic normal model and a hierarchical dependent binomial conditional logistic normal model. The compositional data in such modelling consist of an incidence matrix and a conditional compositional matrix. Interesting statistical problems arise, such as the question of estimability of parameters, the nature of the computational process for the estimation of both the incidence and compositional parameters caused by the complexity of the subcompositional structure, the formation of meaningful hypotheses, and the devising of suitable testing methodology within a lattice of such essential zero-compositional hypotheses. The methodology is illustrated by application to both simulated and real compositional data