Solution de C. Hyltén-Cavallius pour un problème de P. Turán concernant des polynômes

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Sur les comportements locaux de polynômes et polynômes trigonométriques

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

A Generalization of a Theorem of Boyd and Lawton

Ce mémoire s’applique à étudier d’abord, dans la première partie, la mesure de Mahler des polynômes à une seule variable. Il commence en donnant des définitions et quelques résultats pertinents pour le calcul de telle hauteur. Il aborde aussi le sujet de la question de Lehmer, la conjecture la plus célèbre dans le domaine, donne quelques exemples et résultats ayant pour but de résoudre la question. Ensuite, il y a l’extension de la mesure de Mahler sur les polynômes à plusieurs variables, une démarche semblable au premier cas de la mesure de Mahler, et le sujet des points limites avec quelques exemples. Dans la seconde partie, on commence par donner des définitions concernant un ordre supérieur de la mesure de Mahler, et des généralisations en passant des polynômes simples aux polynômes à plusieurs variables. La question de Lehmer existe aussi dans le domaine de la mesure de Mahler supérieure, mais avec des réponses totalement différentes. À la fin, on arrive à notre objectif, qui sera la démonstration de la généralisation d’un théorème de Boyd-Lawton, ce dernier met en évidence une relation entre la mesure de Mahler des polynômes à plusieurs variables avec la limite de la mesure de Mahler des polynômes à une seule variable. Ce résultat a des conséquences en termes de la conjecture de Lehmer et sert à clarifier la relation entre les valeurs de la mesure de Mahler des polynômes à une variable et celles des polynômes à plusieurs variables, qui, en effet, sont très différentes en nature.

Formules de quadrature pour les fonctions entières de type exponentiel

Ce mémoire contient quelques résultats sur l'intégration numérique. Ils sont liés à la célèbre formule de quadrature de K. F. Gauss. Une généralisation très intéressante de la formule de Gauss a été obtenue par P. Turán. Elle est contenue dans son article publié en 1948, seulement quelques années après la seconde guerre mondiale. Étant données les circonstances défavorables dans lesquelles il se trouvait à l'époque, l'auteur (Turán) a laissé beaucoup de détails à remplir par le lecteur. Par ailleurs, l'article de Turán a inspiré une multitude de recherches; sa formule a été étendue de di érentes manières et plusieurs articles ont été publiés sur ce sujet. Toutefois, il n'existe aucun livre ni article qui contiennent un compte-rendu détaillé des résultats de base, relatifs à la formule de Turán. Je voudrais donc que mon mémoire comporte su samment de détails qui puissent éclairer le lecteur tout en présentant un exposé de ce qui a été fait sur ce sujet. Voici comment nous avons organisé le contenu de ce mémoire. 1-a. La formule de Gauss originale pour les polynômes - L'énoncé ainsi qu'une preuve. 1-b. Le point de vue de Turán - Compte-rendu détaillé des résultats de son article. 2-a. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Gauss. 2-b. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Turán. 3-a. Deux formules pour les fonctions entières de type exponentiel, analogues à celle de Gauss pour les polynômes. 3-b. Une formule pour les fonctions entières de type exponentiel, analogue à celle de Turán. 4-a. Annexe A - Notions de base sur les polynômes de Legendre. 4-b. Annexe B - Interpolation polynomiale. 4-c. Annexe C - Notions de base sur les fonctions entières de type exponentiel. 4-d. Annexe D - L'article de P. Turán.

Identification et caractérisation d’une souris mutante Skam26Jus comme un nouveau modèle des anomalies du tube neural

Les anomalies du tube neural (ATN) sont des malformations congénitales très fréquentes chez l’humain en touchant 1-2 nouveau-nés sur 1000 naissances. Elles résultent d’une fermeture incomplète du tube neural lors de l’embryogenèse. L’étiologie des ATN est complexe impliquant des facteurs environnementaux et des facteurs génétiques. La souris représente un outil puissant afin de mieux comprendre la génétique des ATN. Particulièrement, la souris modèle a impliqué fortement la voie de la polarité cellulaire planaire (PCP) dans ces malformations. Dans cette étude, nous avons identifié et caractérisé une nouvelle souris mutante, Skam26Jus dans le but d’identifier un nouveau gène causant les ATN. Skam26Jus a été générée par l’agent mutagène N-Ethyl-N-Nitrosuera. Cette souris est caractérisée par une queue en forme de boucle ou de crochet, soit un phénotype associé aux ATN. La complémentation génétique de la souris Skam26Jus avec une souris mutante d’un gène de la voie PCP Vangl2 (Looptail) a montré une interaction génétique entre le gène muté chez Skam26Jus et Vangl2, suggérant que ces deux gènes fonctionnent dans des voies de signalisation semblables ou parallèles. Un total de 50% des embryons doubles hétérozygotes avec un phénotype de la queue présentent un spina bifida. La cartographie par homozygotie du génome entier suivie par un clonage positionnel a permis d’identifier Lrp6 comme le gène muté chez Skam26Jus. Une mutation homozygote, p.Ile681Arg, a été identifiée dans Lrp6 chez les souris ayant une queue en boucle/crochet. Cette mutation était absente dans 30 souches génétiques pures indiquant que cette mutation est spécifique au phénotype observé. Une étude de phénotype-génotype évalue la pénétrance à 53 % de la mutation Ile681Arg. Lrp6 est connu pour activer la voie canonique Wnt/β-caténine et inhiber la voie non canonique Wnt/PCP. Le séquençage de la région codante et de la jonction exon-intron de LRP6 chez 268 patients a mené à l’identification de quatre nouvelles rares mutations faux sens absentes chez 272 contrôles et de toutes les bases de données publiques. Ces mutations sont p.Tyr306His ; p.Tyr373Cys ; p.Val1386Ile; p.Tyr1541Cys et leur pathogénicité prédite in silico indiquent que p.Val1386Ile est bénigne, et que p.Tyr306Hiset p.Tyr373Cys et p.Tyr1541Cys sont i possiblement dommageables. Les mutations p.Tyr306His, p.Tyr373Cys et p.Tyr1541Cys ont affecté l’habilité de LRP6 d’activer la voie Wnt/β-caténine en utilisant le système rapporteur luciférase de pTOPflash. Nos résultats suggèrent que LRP6 joue un rôle dans le développement des ATN chez une petite fraction de patients ayant une ATN. Cette étude présente aussi Skam26Jus comme un nouveau modèle pour étudier les ATN chez l’humain et fournit un outil important pour comprendre les mécanismes moléculaires à l’origine des A TN.

Étude de la dynamique des interactions des constituants du complexe de biosynthèse et d’insertion de la sélénocystéine dans la traduction des sélénoprotéines in vivo

Les sélénoprotéines sont des protéines auxquelles des sélénocystéines, soit le 21e acide aminé, sont incorporées durant leur traduction. Plus précisément, la sélénocystéine (Sec) est un dérivé métabolique de la sérine, mais structurellement équivalent à une cystéine dont on a remplacé l'atome de soufre par du sélénium. Elle se distingue des autres acides aminés puisqu’elle possède sa propre synthétase qui sert à convertir la sérine en Sec alors que le résidu est déjà fixé à l’ARNt. La position d’une Sec sur l’ARNm est indiquée par le codon UGA étant habituellement un signal STOP introduisant le concept de recoding. Grâce à une machinerie métabolique spécifique à l'ARNtSec et à la présence d’un SecIS (Selenocystein Insertion Sequence) sur l’ARNm, ce codon permet la présence d'une Sec dans la protéine. Il est connu que la synthèse débute avec l’acétylation de l’ARNt[Ser]Sec par la seryl-ARNt synthétase (SerRS) afin de donner la seryl-ARNt[Ser]Sec. Cette dernière est subséquemment phosphorylée par l’O-phosphoséryl-ARNt[Ser]Sec kinase (PSTK) qui donnera l’O-phosphoséryl-ARNt[Ser]Sec. Par la suite, un complexe de plusieurs protéines et cofacteurs, agissant comme machinerie pour l’incorporation des Sec durant la traduction, s’associe avec l’ARNt[Ser]Sec puis l’ARNm et, finalement, les composantes du ribosome. Parmi ces protéines, SepSecS catalyse l’étape finale de la synthèse des Sec en convertissant le O-phosphoseryl-ARNt[Ser]Sec en selenocysteinyl-ARNt[Ser]Sec utilisant le sélénophosphate comme source de sélénium. Des études récentes montrent que l’association avec SECp43 serait nécessaire pour que SepSecS joue son rôle et soit ségrégée au noyau pour s’associer à la machinerie de biosynthèse des sélénoprotéines, soit le complexe moléculaire qui reconnaît le codon UGA. Parmi les protéines de la machinerie de biosynthèse des sélénoprotéines que nous avons analysées, il y a eEFSec, RPL30, SPS2, SPS1, SBP2 et NSEP1. Nos résultats d’analyse de la dynamique de l’interaction entre les constituants de la machinerie de biosynthèse et d’incorporation des Sec, confirment plusieurs données de la littérature, mais remettent en question le modèle jusqu’à maintenant établi. Une meilleure compréhension de la dynamique des interactions entre ses constituants et la régulation de cette dynamique permet d’émettre des hypothèses quant au rôle de la machinerie de biosynthèse des sélénoprotéines et de l’importance de sa complexité. Nous avons analysé les interactions in vivo dans des cellules HEK293T au moyen de la technique de Protein-Fragment Complementation Assay (PCA) en couplant, par un clonage moléculaire, les gènes de chacune des protéines d’intérêt avec des fragments des gènes de la protéine luciférase (hRluc). Nous avons ainsi réalisé une fusion en N-terminal et en C-terminal des fragments de luciférase pour chacune des protéines d’intérêt. Puis, nous avons analysé la dynamique des interactions avec les composantes de la machinerie de biosynthèse des Sec. D’autres travaux seront essentiels afin de bâtir sur les résultats présentés dans cette recherche.

Effet de la mutation du gène lrpprc sur l'activité de l'AMPK dans les fibroblastes des patients atteints du syndrome de Leigh, type canadien français

Le syndrome de Leigh, type canadien français (LSFC) est une maladie infantile orpheline causée par une mutation du gène lrpprc. Elle se caractérise par une déficience tissu spécifique de cytochrome c oxydase (COX), une dysfonction mitochondriale et la survenue de crises d’acidose lactique fatales dans plus de 80% de cas. Selon les familles des patients, ces crises apparaissent lors d’une demande excessive d’énergie. Malheureusement, les mécanismes sous-jacents à l’apparition des crises et notamment la physiopathologie du LSFC demeurent inconnus. Afin de mieux comprendre les mécanismes de régulation du métabolisme énergétique chez les patients LSFC, nous avons examiné la régulation de la protéine kinase activée par l’AMP (AMPK), une enzyme clé de l'homéostasie énergétique, de même que certaines de ses voies cibles (SIRT1/PGC1α et Akt/mTOR) dans les fibroblastes de patients LSFC et de témoins en conditions basales et conditions de stress. En conditions basales, l’activité de l’AMPK était similaire dans les cellules LSFC et les témoins. Par contre, les cellules LSFC montraient une surexpression significative des voies Akt/mTOR et SIRT1/PGC1α comparativement aux cellules témoins. Nous avons aussi examiné ces voies de signalisation suite à une incubation de 4h avec 10 mM de lactate et 1 mM de palmitate (LP), nous permettant de mimer les conditions de « crise ». Nos résultats ont démontré que le LP augmentait les niveaux de phosphorylation de l’AMPK de 90% (p<0,01) dans les cellules témoins mais pas dans les cellules LSFC. Pourtant, l’AMPK est activée dans les cellules LSFC en réponse à une hypoxie chimique induite par le 2,4 dinitrophénol. Dans les cellules témoins, le LP augmentait aussi les niveaux d’expression de SIRT1 (57%, p<0,05), de LRPPRC (23%, p=0,045) et de COXIV (19%, p<0,05). Un prétraitement de 48h au ZMP, un activateur pharmacologique de l’AMPK, a eu un effet additif avec le LP et des augmentations de SIRT1 phosphorylée (120%, p<0,05), de SIRT1 total (75%, p<0,01), de LRPPRC (63%, p<0,001) et de COXIV (38%, p<0,001) ont été observées. Tous ces effets étaient aussi abolis dans les cellules LSFC. En conclusion, nos résultats ont démontré des altérations importantes de la régulation du métabolisme énergétique dans les fibroblastes de patients LSFC.

Contribution à l’élaboration d’un guide alimentaire béninois : approche par la programmation linéaire et validation sur le terrain

Contexte: Le Bénin est atteint par le double fardeau nutritionnel : dans le même pays, et parfois dans le même ménage, il y a des personnes malnutries et d’autres aux prises avec des maladies chroniques. Ces conditions, au moins pour partie, peuvent être prévenues si la population est sensibilisée à de bonnes habitudes alimentaires. Pour ce faire, les professionnels de la santé ont besoin d’outils comme un guide alimentaire (GA) pour faciliter l’apprentissage de bonnes pratiques alimentaires. Ce dernier nécessite plusieurs étapes à son élaboration, dont la définition des groupes alimentaires, la présentation visuelle et la quantification des portions d'aliments. Objectif : Ce travail a eu pour but de proposer et d’homologuer des portions quotidiennes d’aliments dans chaque groupe alimentaire pour différents groupes d’âge de Béninois. Méthode : Elle consiste à : 1) Caractériser la consommation alimentaire locale; 2) Optimiser le profil moyen de consommation alimentaire quotidienne à l’aide de la programmation linéaire (PL); 3) Traduire les résultats en termes de nombre et taille de portions d’aliments de chaque groupe à consommer quotidiennement; 4) Illustrer les recommandations au moyen d’exemples de menus journaliers; 5) Homologuer le prototype du GA avec des experts béninois. La PL a permis de déterminer les choix d’aliments et quantités optimales à recommander à partir des enquêtes transversales récentes et des recommandations nutritionnelles de l’OMS. Résultats : Les quantités et portions d'aliments recommandées à la consommation ont été déterminées. Les résultats ont été partagés avec les personnes-ressources en nutrition au Bénin. Le premier prototype du GA a été développé pour restitution subséquente aux autorités du Bénin.

Special functions of Weyl groups and their continuous and discrete orthogonality

Cette thèse s'intéresse à l'étude des propriétés et applications de quatre familles des fonctions spéciales associées aux groupes de Weyl et dénotées $C$, $S$, $S^s$ et $S^l$. Ces fonctions peuvent être vues comme des généralisations des polynômes de Tchebyshev. Elles sont en lien avec des polynômes orthogonaux à plusieurs variables associés aux algèbres de Lie simples, par exemple les polynômes de Jacobi et de Macdonald. Elles ont plusieurs propriétés remarquables, dont l'orthogonalité continue et discrète. En particulier, il est prouvé dans la présente thèse que les fonctions $S^s$ et $S^l$ caractérisées par certains paramètres sont mutuellement orthogonales par rapport à une mesure discrète. Leur orthogonalité discrète permet de déduire deux types de transformées discrètes analogues aux transformées de Fourier pour chaque algèbre de Lie simple avec racines des longueurs différentes. Comme les polynômes de Tchebyshev, ces quatre familles des fonctions ont des applications en analyse numérique. On obtient dans cette thèse quelques formules de <>, pour des fonctions de plusieurs variables, en liaison avec les fonctions $C$, $S^s$ et $S^l$. On fournit également une description complète des transformées en cosinus discrètes de types V--VIII à $n$ dimensions en employant les fonctions spéciales associées aux algèbres de Lie simples $B_n$ et $C_n$, appelées cosinus antisymétriques et symétriques. Enfin, on étudie quatre familles de polynômes orthogonaux à plusieurs variables, analogues aux polynômes de Tchebyshev, introduits en utilisant les cosinus (anti)symétriques.

Le problème de Coulomb-Dunkl dans le plan

Ce mémoire, composé d'un article en collaboration avec Monsieur Luc Vinet et Vincent X. Genest, est la suite du travail effectué sur les systèmes quantiques super-intégrables définis par des Hamiltoniens de type Dunkl. Plus particulièrement, ce mémoire vise l'analyse du problème de Coulomb-Dunkl dans le plan qui est une généralisation du système quantique de l'atome d'hydrogène impliquant des opérateurs de réflexion sur les variables x et y. Le modèle est défini par un potentiel en 1/r. Nous avons tout d'abord remarqué que l'Hamiltonien est séparable en coordonnées polaires et que les fonctions d'onde s'écrivent en termes de produits de polynômes de Laguerre généralisés et des harmoniques de Dunkl sur le cercle. L'algèbre générée par les opérateurs de symétrie nous a également permis de confirmer le caractère maximalement super-intégrable du problème de Coulomb-Dunkl. Nous avons aussi pu écrire explicitement les représentations de cette même algèbre. Nous avons finalement trouvé le spectre de l'énergie de manière algébrique.

Les polynômes orthogonaux matriciels et la méthode de factorisation

La méthode de factorisation est appliquée sur les données initiales d'un problème de mécanique quantique déja résolu. Les solutions (états propres et fonctions propres) sont presque tous retrouvés.

Nanovecteurs pour cibler pseudomonas aeruginosa dans la fibrose kystique.

La production excessive de mucus visqueaux dans les poumons des patients atteints de la fibrose kystique (FK) gêne la diffusion des médicaments et entraîne des infections bactériennes. En effet, l’infection pulmonaire par Pseudomonas aeruginosa (PA) est la principale cause de mortalité. Les travaux effectués dans cette thèse avaient pour but de développer des nouvelles formulations de nanoparticules (NP) et de liposomes (LP) chargées avec des antibiotiques pour erradiquer le PA chez les patients atteints de KF. Tout d’abord, les polymères PEG-g-PLA et PLA-OH ont été synthétisés et caractérisés. Ensuite, l'efficacité d'encapsulation (EE) de la tobramycine, du sulfate de colistine et de la lévofloxacine (lévo) a été testée dans des NP de PEG-g-PLA et / ou PLA-OH. Les premiers essais d'optimisation ont montré que les NP chargées avec la lévo présentaient une augmentation de l’EE. La lévo reste alors le médicament de choix. Cependant, la meilleure charge de médicament obtenue était de 0,02% m/m. Pour cette raison, nous avons décidé d'évaluer l'encapsulation de la lévo dans les LP. En fait, des LP chargés de lévo ont présenté une EE d’environ 8% m/m. De plus, la taille et la charge de ces LP étaient appropriées pour la pénétration du vecteur dans le mucus. Le test de biofilm n'est pas reproductible, mais le test standard a montré que la souche mucoïde de PA était susceptible à la lévo. Ainsi, nous avons comparé les activités des LP fraîchement préparées (vides et chargés ) et de la lévo libre sous la forme planctonique de PA. Les résultats ont montré que des LP vides ne gênent pas la croissance bactérienne. Pour la souche mucoïde (Susceptible à la lévo) les LP chargés et le médicament libre ont présenté la même concentration minimale inhibitrice (CMI). Toutefois, les souches non mucoïdes (résistant à la lévo) ont présenté une CMI deux fois plus faible que celle pour le médicament libre. Finalement, les LP se sont avérés plus appropriés pour encapsuler des médicaments hydrophiles que les NP de PEG-g-PLA. En outre, les LP semblent améliorer le traitement contre la souche résistante de PA. Toutefois, des études complémentaires doivent être effectuées afin d'assurer la capacité des liposomes èa traiter la fibrose kystique.

Modélisation de l'irradiance solaire totale et spectrale et applications à la chimie stratosphérique terrestre

Cette thèse présente des reconstructions de l'irradiance totale et spectrale durant les 400 dernières années à l'aide des modèles pour l'irradiance totale et l'irradiance spectrale dans l'ultraviolet développés à l'Université de Montréal. Tous deux sont basés sur la simulation de l'émergence, de la fragmentation et de l'érosion des taches solaires, qui permet d'obtenir une distribution de l'aire des taches sombres et des facules brillantes en fonction du temps. Ces deux composantes sont principalement responsables de la variation de l'irradiance sur l'échelle de temps de la décennie, qui peut être calculée en sommant leur émissivité à celle de la photosphère inactive. La version améliorée du modèle d'irradiance solaire spectrale MOCASSIM inclut une extension de son domaine spectral entre 150 et 400 nm ainsi que de son domaine temporel, débutant originalement en 1874 et couvrant maintenant la période débutant en 1610 jusqu'au présent. Cela permet de reconstruire le spectre ultraviolet durant le minimum de Maunder et de le comparer à celui du minimum de 2009. Les conclusions tirées de cette étude spécifient que l'émissivité dans l'ultraviolet était plus élevée en 2009 que durant le minimum de Maunder, que le niveau de base de la photosphère non magnétisée contribuait pour environ les deux tiers de cette différence et que les structures magnétiques restantes étaient responsables pour le tiers restant. Le modèle d'irradiance totale a vu son domaine temporel étendu sur la même période et une composante représentant le réseau magnétique de façon réaliste y a été ajoutée. Il a été démontré que les observations des 30 dernières années ne sont bien reproduites qu'en incluant la composante du Soleil non magnétisé variable à long terme. Le processus d'optimisation des paramètres libres du modèle a été effectué en minimisant le carré de la somme de l'écart journalier entre les résultats des calculs et les données observées. Les trois composites disponibles, soit celui du PMOD (Physikalisch Meteorologisches Observatorium Davos), d'ACRIM (ACtive Radiometer Irradiance Monitor) et du IRMB (Institut Royal Météorologique de Belgique), ne sont pas en accord entre eux, en particulier au niveau des minima du cycle d'activité, et le modèle permet seulement de reproduire celui du PMOD avec exactitude lorsque la composante variable à long terme est proportionnelle au flux radio à 10.7 cm. Toutefois, en utilisant des polynômes de Lagrange pour représenter la variation du Soleil inactif, l'accord est amélioré pour les trois composites durant les minima, bien que les relations entre le niveau minimal de l'irradiance et la longueur du cycle précédent varient d'un cas à l'autre. Les résultats obtenus avec le modèle d'irradiance spectrale ont été utilisés dans une étude d'intercomparaison de la réponse de la photochimie stratosphérique à différentes représentations du spectre solaire. Les simulations en mode transitoire d'une durée de 10 jours ont été effectuées avec un spectre solaire constant correspondant soit à une période d'activité minimale ou à une période d'activité maximale. Ceci a permis d'évaluer la réponse de la concentration d'ozone à la variabilité solaire au cours d'un cycle et la différence entre deux minima. En plus de ceux de MOCASSIM, les spectres produits par deux modèles ont été utilisés (NRLSSI et MGNM) ainsi que les données de SIM et SOLSTICE/SORCE. La variabilité spectrale de chacun a été extraite et multipliée à un spectre de base représentant le minimum d'activité afin de simuler le spectre au maximum d'activité. Cela a été effectué dans le but d'isoler l'effet de la variabilité seule et d'exclure celui de la valeur absolue du spectre. La variabilité spectrale d'amplitude relativement élevée des observations de SORCE n'a pas provoqué l'inversion de la réponse de l'ozone à hautes altitudes obtenues par d'autres études, ce qui peut être expliqué par la nature même du modèle utilisé ainsi que par sa limite supérieure en altitude. Finalement, la réponse de l'ozone semble être à peu près proportionnelle à la variabilité de l'intégrale du flux pour lambda<241 nm. La comparaison des concentrations d'ozone obtenues avec les spectres originaux au minimum d'activité démontre que leur différence est du même ordre de grandeur que la variabilité entre le minimum et le maximum d'un cycle typique. Le problème du choix de la reconstruction de l'irradiance à utiliser pour les simulations climatiques dans le passé demeure non résolu.

L'Approximation diophantienne simultanée et l'optimisation discrète

Étant donnée une fonction bornée (supérieurement ou inférieurement) $f:\mathbb{N}^k \To \Real$ par une expression mathématique, le problème de trouver les points extrémaux de $f$ sur chaque ensemble fini $S \subset \mathbb{N}^k$ est bien défini du point de vu classique. Du point de vue de la théorie de la calculabilité néanmoins il faut éviter les cas pathologiques où ce problème a une complexité de Kolmogorov infinie. La principale restriction consiste à définir l'ordre, parce que la comparaison entre les nombres réels n'est pas décidable. On résout ce problème grâce à une structure qui contient deux algorithmes, un algorithme d'analyse réelle récursive pour évaluer la fonction-coût en arithmétique à précision infinie et un autre algorithme qui transforme chaque valeur de cette fonction en un vecteur d'un espace, qui en général est de dimension infinie. On développe trois cas particuliers de cette structure, un de eux correspondant à la méthode d'approximation de Rauzy. Finalement, on établit une comparaison entre les meilleures approximations diophantiennes simultanées obtenues par la méthode de Rauzy (selon l'interprétation donnée ici) et une autre méthode, appelée tétraédrique, que l'on introduit à partir de l'espace vectoriel engendré par les logarithmes de nombres premiers.

Structures algébriques, systèmes superintégrables et polynômes orthogonaux

Cette thèse est divisée en cinq parties portant sur les thèmes suivants: l’interprétation physique et algébrique de familles de fonctions orthogonales multivariées et leurs applications, les systèmes quantiques superintégrables en deux et trois dimensions faisant intervenir des opérateurs de réflexion, la caractérisation de familles de polynômes orthogonaux appartenant au tableau de Bannai-Ito et l’examen des structures algébriques qui leurs sont associées, l’étude de la relation entre le recouplage de représentations irréductibles d’algèbres et de superalgèbres et les systèmes superintégrables, ainsi que l’interprétation algébrique de familles de polynômes multi-orthogonaux matriciels. Dans la première partie, on développe l’interprétation physico-algébrique des familles de polynômes orthogonaux multivariés de Krawtchouk, de Meixner et de Charlier en tant qu’éléments de matrice des représentations unitaires des groupes SO(d+1), SO(d,1) et E(d) sur les états d’oscillateurs. On détermine les amplitudes de transition entre les états de l’oscillateur singulier associés aux bases cartésienne et polysphérique en termes des polynômes multivariés de Hahn. On examine les coefficients 9j de su(1,1) par le biais du système superintégrable générique sur la 3-sphère. On caractérise les polynômes de q-Krawtchouk comme éléments de matrices des «q-rotations» de U_q(sl_2). On conçoit un réseau de spin bidimensionnel qui permet le transfert parfait d’états quantiques à l’aide des polynômes de Krawtchouk à deux variables et on construit un modèle discret de l’oscillateur quantique dans le plan à l’aide des polynômes de Meixner bivariés. Dans la seconde partie, on étudie les systèmes superintégrables de type Dunkl, qui font intervenir des opérateurs de réflexion. On examine l’oscillateur de Dunkl en deux et trois dimensions, l’oscillateur singulier de Dunkl dans le plan et le système générique sur la 2-sphère avec réflexions. On démontre la superintégrabilité de chacun de ces systèmes. On obtient leurs constantes du mouvement, on détermine leurs algèbres de symétrie et leurs représentations, on donne leurs solutions exactes et on détaille leurs liens avec les polynômes orthogonaux du tableau de Bannai-Ito. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito: les polynômes de Bannai-Ito complémentaires et les polynômes de Chihara. On montre également que les polynômes de Bannai-Ito sont les coefficients de Racah de la superalgèbre osp(1,2). On détermine l’algèbre de symétrie des polynômes duaux -1 de Hahn dans le cadre du problème de Clebsch-Gordan de osp(1,2). On propose une q - généralisation des polynômes de Bannai-Ito en examinant le problème de Racah pour la superalgèbre quantique osp_q(1,2). Finalement, on montre que la q -algèbre de Bannai-Ito sert d’algèbre de covariance à osp_q(1,2). Dans la quatrième partie, on détermine le lien entre le recouplage de représentations des algèbres su(1,1) et osp(1,2) et les systèmes superintégrables du deuxième ordre avec ou sans réflexions. On étudie également les représentations des algèbres de Racah-Wilson et de Bannai-Ito. On montre aussi que l’algèbre de Racah-Wilson sert d’algèbre de covariance quadratique à l’algèbre de Lie sl(2). Dans la cinquième partie, on construit deux familles explicites de polynômes d-orthogonaux basées sur su(2). On étudie les états cohérents et comprimés de l’oscillateur fini et on caractérise une famille de polynômes multi-orthogonaux matriciels.