Le problème de Coulomb-Dunkl dans le plan

Ce mémoire, composé d'un article en collaboration avec Monsieur Luc Vinet et Vincent X. Genest, est la suite du travail effectué sur les systèmes quantiques super-intégrables définis par des Hamiltoniens de type Dunkl. Plus particulièrement, ce mémoire vise l'analyse du problème de Coulomb-Dunkl dans le plan qui est une généralisation du système quantique de l'atome d'hydrogène impliquant des opérateurs de réflexion sur les variables x et y. Le modèle est défini par un potentiel en 1/r. Nous avons tout d'abord remarqué que l'Hamiltonien est séparable en coordonnées polaires et que les fonctions d'onde s'écrivent en termes de produits de polynômes de Laguerre généralisés et des harmoniques de Dunkl sur le cercle. L'algèbre générée par les opérateurs de symétrie nous a également permis de confirmer le caractère maximalement super-intégrable du problème de Coulomb-Dunkl. Nous avons aussi pu écrire explicitement les représentations de cette même algèbre. Nous avons finalement trouvé le spectre de l'énergie de manière algébrique.

This master's thesis, composed of an article in collaboration with Luc Vinet and Vincent X. Genest, is the result of a work done on superintegrable quantum systems defined by Hamiltonians of the Dunkl kind. More specifically, the aim of this paper is to analyse the Coulomb-Dunkl problem in the plane which is a generalization of the quantum system of hydrogen involving operators of reflection on the variables x and y. The model is defined by a potential in 1/r. First, we notice that the Hamiltonian is separable in polar coordinates and the wave functions are written in terms of products of generalized Laguerre polynomials and Dunkl harmonics on the circle. The algebra generated by the symmetry operators has also allowed us to confirm the maximally superintegrable character of the Coulomb-Dunkl problem. We also write explicitly the representations of the same algebra. We finally found the energy spectrum algebraically.