Le Coniche dallo spazio al piano

Questa tesi ha lo scopo di presentare le coniche sotto vari punti di vista: come sezioni coniche, dalla scoperta da parte di Menecmo alla visione di Apollonio nella sua opera "Le Coniche"; come luoghi geometrici; come curve algebriche del secondo ordine, sia dal punto di vista affine sia proiettivo.

Rette su una cubica liscia nello spazio protettivo

Su ogni superficie cubica non singolare nello spazio proiettivo complesso giacciono esattamente 27 rette distinte. Questo è il primo risultato non banale sulle superfici algebriche di grado maggiore di 2 che ha dato inizio alla moderna geometria algebrica e che per la prima volta fu intuito nel 1849 da Arthur Cayley. In questa tesi verrà dimostrata la precedente affermazione generale prendendo inizialmente in considerazione la superficie cubica di Fermat per cui verranno ricavate esplicitamente le 27 rette. Inoltre si giungerà alla classificazione della Fermat a partire dal risultato ottenuto dal matematico svizzero L.Schläfli che classificherà le superfici cubiche lisce definite sul campo dei reali in base al loro numero di rette reali e piani tritangenti reali.

Insiemi convessi e funzioni convesse in R^n

In questa tesi abbiamo voluto studiare alcune delle proprietà e caratterizzazioni di questa classe di insiemi e di funzioni, nonchè alcune loro possibili applicazioni. Nel primo capitolo vengono analizzati gli insiemi convessi in R^n con le loro proprietà; se ne osserva la relazione con gli iperpiani e con l’inviluppo convesso dell’insieme stesso. Infine abbiamo studiato come la funzione distanza da un insieme caratterizzi gli insiemi convessi. Nel secondo capitolo abbiamo guardato invece le funzioni convesse, osservando alcuni esempi, per poi focalizzarci sulle proprietà generali e diverse possibili caratterizzazioni. In particolare abbiamo osservato come le cosiddette funzioni lisce si relazionano alla convessità. Nella sezione sulla dualità convessa abbiamo infine esaminato il caso di funzioni con codominio R esteso per studiare funzioni convesse semicontinue inferiormente, fino ad arrivare alla dualità. Nel terzo capitolo, vediamo una delle tante possibili applicazioni della teoria convessa, la teoria dei giochi. L’ultimo capitolo è molto breve e non vuole entrare nel merito di questa importante area della matematica, ma vuole solo far “vedere all’opera” alcune delle proprietà della teoria convessa precedentemente esposta.