The optimal dividend barrier in the Gamma-Omega model

In the traditional actuarial risk model, if the surplus is negative, the company is ruined and has to go out of business. In this paper we distinguish between ruin (negative surplus) and bankruptcy (going out of business), where the probability of bankruptcy is a function of the level of negative surplus. The idea for this notion of bankruptcy comes from the observation that in some industries, companies can continue doing business even though they are technically ruined. Assuming that dividends can only be paid with a certain probability at each point of time, we derive closed-form formulas for the expected discounted dividends until bankruptcy under a barrier strategy. Subsequently, the optimal barrier is determined, and several explicit identities for the optimal value are found. The surplus process of the company is modeled by a Wiener process (Brownian motion).

Valuing equity-linked death benefits in jump diffusion models

The paper is motivated by the valuation problem of guaranteed minimum death benefits in various equity-linked products. At the time of death, a benefit payment is due. It may depend not only on the price of a stock or stock fund at that time, but also on prior prices. The problem is to calculate the expected discounted value of the benefit payment. Because the distribution of the time of death can be approximated by a combination of exponential distributions, it suffices to solve the problem for an exponentially distributed time of death. The stock price process is assumed to be the exponential of a Brownian motion plus an independent compound Poisson process whose upward and downward jumps are modeled by combinations (or mixtures) of exponential distributions. Results for exponential stopping of a Lévy process are used to derive a series of closed-form formulas for call, put, lookback, and barrier options, dynamic fund protection, and dynamic withdrawal benefit with guarantee. We also discuss how barrier options can be used to model lapses and surrenders.

Sampling Interval and estimated Betas : Implications for the Presence of Transitory Components in Stock Prices

We provide a theoretical framework to explain the empirical finding that the estimated betas are sensitive to the sampling interval even when using continuously compounded returns. We suppose that stock prices have both permanent and transitory components. The permanent component is a standard geometric Brownian motion while the transitory component is a stationary Ornstein-Uhlenbeck process. The discrete time representation of the beta depends on the sampling interval and two components labelled \"permanent and transitory betas\". We show that if no transitory component is present in stock prices, then no sampling interval effect occurs. However, the presence of a transitory component implies that the beta is an increasing (decreasing) function of the sampling interval for more (less) risky assets. In our framework, assets are labelled risky if their \"permanent beta\" is greater than their \"transitory beta\" and vice versa for less risky assets. Simulations show that our theoretical results provide good approximations for the means and standard deviations of estimated betas in small samples. Our results can be perceived as indirect evidence for the presence of a transitory component in stock prices, as proposed by Fama and French (1988) and Poterba and Summers (1988).

Distribution asymptotique du nombre de diviseurs premiers distincts inférieurs ou égaux à m

Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$. Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations. Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent. Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1.

Les processus additifs markoviens et leurs applications en finance mathématique

Cette thèse porte sur les questions d'évaluation et de couverture des options dans un modèle exponentiel-Lévy avec changements de régime. Un tel modèle est construit sur un processus additif markovien un peu comme le modèle de Black- Scholes est basé sur un mouvement Brownien. Du fait de l'existence de plusieurs sources d'aléa, nous sommes en présence d'un marché incomplet et ce fait rend inopérant les développements théoriques initiés par Black et Scholes et Merton dans le cadre d'un marché complet. Nous montrons dans cette thèse que l'utilisation de certains résultats de la théorie des processus additifs markoviens permet d'apporter des solutions aux problèmes d'évaluation et de couverture des options. Notamment, nous arrivons à caracté- riser la mesure martingale qui minimise l'entropie relative à la mesure de probabilit é historique ; aussi nous dérivons explicitement sous certaines conditions, le portefeuille optimal qui permet à un agent de minimiser localement le risque quadratique associé. Par ailleurs, dans une perspective plus pratique nous caract érisons le prix d'une option Européenne comme l'unique solution de viscosité d'un système d'équations intégro-di érentielles non-linéaires. Il s'agit là d'un premier pas pour la construction des schémas numériques pour approcher ledit prix.

Quantifying diffusion in biofilms : from model hydrogels to living biofilms

Les biofilms sont des communautés de microorganismes incorporés dans une matrice exo-polymérique complexe. Ils sont reconnus pour jouer un rôle important comme barrière de diffusion dans les systèmes environnementaux et la santé humaine, donnant lieu à une résistance accrue aux antibiotiques et aux désinfectants. Comme le transfert de masse dans un biofilm est principalement dû à la diffusion moléculaire, il est primordial de comprendre les principaux paramètres influençant les flux de diffusion. Dans ce travail, nous avons étudié un biofilm de Pseudomonas fluorescens et deux hydrogels modèles (agarose et alginate) pour lesquels l’autodiffusion (mouvement Brownien) et les coefficients de diffusion mutuels ont été quantifiés. La spectroscopie par corrélation de fluorescence a été utilisée pour mesurer les coefficients d'autodiffusion dans une volume confocal de ca. 1 m3 dans les gels ou les biofilms, tandis que les mesures de diffusion mutuelle ont été faites par cellule de diffusion. En outre, la voltamétrie sur microélectrode a été utilisée pour évaluer le potentiel de Donnan des gels afin de déterminer son impact sur la diffusion. Pour l'hydrogel d'agarose, les observations combinées d'une diminution du coefficient d’autodiffusion et de l’augmentation de la diffusion mutuelle pour une force ionique décroissante ont été attribuées au potentiel de Donnan du gel. Des mesures de l'effet Donnan (différence de -30 mV entre des forces ioniques de 10-4 et 10-1 M) et l'accumulation correspondante d’ions dans l'hydrogel (augmentation d’un facteur de 13 par rapport à la solution) ont indiqué que les interactions électrostatiques peuvent fortement influencer le flux de diffusion de cations, même dans un hydrogel faiblement chargé tel que l'agarose. Curieusement, pour un gel plus chargé comme l'alginate de calcium, la variation de la force ionique et du pH n'a donné lieu qu'à de légères variations de la diffusion de sondes chargées dans l'hydrogel. Ces résultats suggèrent qu’en influençant la diffusion du soluté, l'effet direct des cations sur la structure du gel (compression et/ou gonflement induits) était beaucoup plus efficace que l'effet Donnan. De même, pour un biofilm bactérien, les coefficients d'autodiffusion étaient pratiquement constants sur toute une gamme de force ionique (10-4-10-1 M), aussi bien pour des petits solutés chargés négativement ou positivement (le rapport du coefficient d’autodiffusion dans biofilm sur celui dans la solution, Db/Dw ≈ 85 %) que pour des nanoparticules (Db/Dw≈ 50 %), suggérant que l'effet d'obstruction des biofilms l’emporte sur l'effet de charge. Les résultats de cette étude ont montré que parmi les divers facteurs majeurs qui affectent la diffusion dans un biofilm environnemental oligotrophe (exclusion stérique, interactions électrostatiques et hydrophobes), les effets d'obstruction semblent être les plus importants lorsque l'on tente de comprendre la diffusion du soluté. Alors que les effets de charge ne semblaient pas être importants pour l'autodiffusion de substrats chargés dans l'hydrogel d'alginate ou dans le biofilm bactérien, ils ont joué un rôle clé dans la compréhension de la diffusion à travers l’agarose. L’ensemble de ces résultats devraient être très utiles pour l'évaluation de la biodisponibilité des contaminants traces et des nanoparticules dans l'environnement.

Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène

Ce mémoire étudie le comportement des particules dont la position est maximale au temps t dans la marche aléatoire branchante et le mouvement brownien branchant sur R, pour des valeurs de t grandes. Plus exactement, on regarde le comportement du maximum d’une marche aléatoire branchante dans un environnement inhomogène en temps, au sens où la loi des accroissements varie en fonction du temps. On compare avec des modèles connus ou simplifiés, en particulier le modèle i.i.d., où l’on observe des marches aléatoires indépendantes et le modèle de la marche aléatoire homogène. On s’intéresse par la suite aux corrélations entre les particules maximales d’un mouvement brownien branchant. Plus précisément, on étudie le temps de branchement entre deux particules maximales. Finalement, on applique les méthodes et les résultats des premiers chapitres afin d’étudier les corrélations dans un mouvement brownien branchant dans un environnement inhomogène. Le résultat principal du mémoire stipule qu’il y a existence de temps de branchement au centre de l’intervalle [0, t] dans le mouvement brownien branchant inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour le mouvement brownien branchant standard. On présentera également certaines simulations numériques afin de corroborer les résultats numériques et pour établir des hypothèses pour une recherche future.

Thermal diffusivity of rhodamine 6G incorporated in silver nanofluid measured using mode-matched thermal lens technique

Dual beam mode-matched thermal lens method has been employed to measure the heat diffusion in nanofluid of silver with various volumes of rhodamine 6G, both dispersed in water. The important observation is an indication of temperature dependent diffusivity and that the overall heat diffusion is slower in the chemically prepared Ag sol compared to that of water. The experimental results can be explained assuming that Brownian motion is the main mechanism of heat transfer under the present experimental conditions. Light induced aggregation of the nanoparticles can also result in an anomalous diffusion behavior.

Validez del supuesto de neutralidad del horizonte de tiempo en el CAPM y la metodología del rango reescalado: aplicación a Colombia

La existencia de memoria de largo plazo en las series financieras implica que los retornos de un activo hoy pueden tener incidencia sobre los retornos futuros, incluso más allá del corto plazo. En presencia de dicha memoria el horizonte de inversión elegido puede resultar en diferentes condiciones de riesgo para el inversionista. Peters (1989 y 1992), Mandelbrot (1972), León y Vivas (2010), entre otros, encuentran evidencia de dependencia de largo plazo de las series de tiempo financieras y muestran sus principales implicaciones. Este documento se ocupa de extender el análisis al uso del supuesto de neutralidad del horizonte de tiempo en el CAPM, estimando el efecto cuantitativo de la existencia de dependencia de largo plazo en este modelo según lo desarrollado por Greene y Fieltz (1980). Los resultados para una muestra de acciones colombianas y estadounidenses muestran que la distribución de la medida del riesgo sistémico en el modelo, el beta, es estadísticamente diferente cuando se incorpora el efecto de dependencia de largo plazo; por lo tanto, los retornos esperados de estas acciones cambian. En el mercado colombiano se observa una sobreestimación del beta cuando no se realiza el ajuste propuesto, mientras que en las acciones estadounidenses analizadas el beta sin el ajuste se encuentra subestimado. En cuanto a los retornos esperados, estos son sobrevalorados al no tener en cuenta el ajuste por dependencia de largo plazo, tanto en las acciones colombianas como en las estadounidenses.

Exercise sheet 2

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Exercise sheet 3 pdf

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Exercise sheet 3

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Modelación estocástica y trading algorítmico del spread entre acciones mediante procesos de reversión a la media

Las estrategias de inversión pairs trading se basan en desviaciones del precio entre pares de acciones correlacionadas y han sido ampliamente implementadas por fondos de inversión tomando posiciones largas y cortas en las acciones seleccionadas cuando surgen divergencias y obteniendo utilidad cerrando la posición al converger. Se describe un modelo de reversión a la media para analizar la dinámica que sigue el diferencial del precio entre acciones ordinarias y preferenciales de una misma empresa en el mismo mercado. La media de convergencia en el largo plazo es obtenida con un filtro de media móvil, posteriormente, los parámetros del modelo de reversión a la media se estiman mediante un filtro de Kalman bajo una formulación de estado espacio sobre las series históricas. Se realiza un backtesting a la estrategia de pairs trading algorítmico sobre el modelo propuesto indicando potenciales utilidades en mercados financieros que se observan por fuera del equilibrio. Aplicaciones de los resultados podrían mostrar oportunidades para mejorar el rendimiento de portafolios, corregir errores de valoración y sobrellevar mejor periodos de bajos retornos.

Ecuaciones diferenciales estocásticas con condición final y soluciones de viscosidad de EDPS semilineales de segundo orden

El objetivo de este documento es recopilar algunos resultados clasicos sobre existencia y unicidad ´ de soluciones de ecuaciones diferenciales estocasticas (EDEs) con condici ´ on final (en ingl ´ es´ Backward stochastic differential equations) con particular enfasis en el caso de coeficientes mon ´ otonos, y su cone- ´ xion con soluciones de viscosidad de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) parab ´ olicas ´ y el´ıpticas semilineales de segundo orden.