Dupire's formula for exponential Lévy models

Questa tesi è incentrata sull'analisi della formula di Dupire, che permette di ottenere un'espressione della volatilità locale, nei modelli di Lévy esponenziali. Vengono studiati i modelli di mercato Merton, Kou e Variance Gamma dimostrando che quando si è off the money la volatilità locale tende ad infinito per il tempo di maturità delle opzioni che tende a zero. In particolare viene proposta una procedura di regolarizzazione tale per cui il processo di volatilità locale di Dupire ricrea i corretti prezzi delle opzioni anche quando si ha la presenza di salti. Infine tale risultato viene provato numericamente risolvendo il problema di Cauchy per i prezzi delle opzioni.

Capitoli della teoria delle funzioni di K. Weierstrass nell'interpretazione di A. Hurwitz e S. Pincherle

Ricostruzione della teoria delle funzioni affrontata nel corso "Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen" tenuto da K. Weierstrass attraverso l'analisi e il confronto dei saggi di due suoi studenti: A. Hurwitz e S. Pincherle.

Performance based earthquake engineering: Il metodo P.E.E.R. applicazione su un caso di studio.

L’approccio performance-based nell’Ingegneria sismica è una metodologia di progetto che tiene esplicitamente in conto la performance dell’edificio tra i criteri progettuali. Nell’ambito dei metodi PBEE (Performance-Based Earthquake Engineering) di seconda generazione, quello proposto dal PEER (Pacific Earthquake Engineering Research Center) risulta essere il più diffuso. In esso la performance dell’edificio oggetto di studio viene valutata in termini quantitativi secondo le 3D’s (dollars, deaths, downtime – soldi, decessi, inutilizzo), quantità di notevole interesse per l’utente finale. Il metodo si compone di quattro step, indipendenti tra loro fino alla sintesi finale. Essi sono: l’analisi di pericolosità, l’analisi strutturale, l’analisi di danno, l’analisi delle perdite o di loss. Il risultato finale è la curva di loss, che assegna ad ogni possibile perdita economica conseguente all’evento sismico una probabilità di superamento nell’arco temporale di riferimento. Dopo la presentazione del metodo PEER, si è provveduto ad una sua applicazione su di un caso di studio, nella fattispecie un telaio piano di quattro campate, multipiano, in calcestruzzo armato, costruito secondo le norme del ’92. Per l’analisi di pericolosità si è fatto ricorso alle mappe di pericolosità disponibili sul sito INGV, mentre per l’analisi strutturale si è utilizzato il software open-source OpenSees. Le funzioni di fragilità e quelle di loss sono state sviluppate facendo riferimento alla letteratura scientifica, in particolare il bollettino Fib numero 68 “Probabilistic performance-based seismic design”. In questa sede ci si è concentrati unicamente sulla stima delle perdite economiche, tralasciando le altre due variabili decisionali. Al termine del procedimento si è svolta un’analisi di sensitività per indagare quali parametri influenzino maggiormente la curva di loss. Data la curva di pericolosità, il legame EDP(IM) e la deformazione ultima a collasso risultano essere i più rilevanti sul risultato dell’analisi.

Statistical analysis of written languages

La tesi presenta una serie di risultati dell'analisi quantitativa sulla linguistica. Inizialmente sono studiate due fra le leggi empiriche più famose di questo campo, le leggi di Zipf e Heaps, e vengono esposti vari modelli sullo sviluppo del linguaggio. Nella seconda parte si giunge alla discussione di risultati più specifici sulla presenza di fenomeni di burstiness e di correlazioni a lungo raggio nei testi. Tutti questi studi teorici sono affiancati da analisi sperimentali, svolte utilizzando varie traduzioni del libro "Guerra e pace" di Leo Tolstoj e concentrate principalmente sulle eventuali differenze riscontrabili tra le diverse lingue.

Mimicking the one-dimensional marginal distributions of stochastic diffusions

In the large maturity limit, we compute explicitly the Local Volatility surface for Heston, through Dupire’s formula, with Fourier pricing of the respective derivatives of the call price. Than we verify that the prices of European call options produced by the Heston model, concide with those given by the local volatility model where the Local Volatility is computed as said above.

Dall'insieme alla struttura matematica nella scuola di oggi

Percorso didattico alternativo dall'insieme alla struttura matematica con analisi di libri di testo di scuole superiori.

Italian texts as networks: Topological measurements, Zipf and Heaps' laws

In questa tesi si è studiato un corpus di importanti testi della letteratura Italiana utilizzando la teoria dei network. Le misure topologiche tipiche dei network sono state calcolate sui testi letterari, poi sono state studiate le loro distribuzioni e i loro valori medi, per capire quali di esse possono distinguere un testo reale da sue modificazioni. Inoltre si è osservato come tutti i testi presentino due importanti leggi statistiche: la legge di Zipf e quella di Heaps.

Il polinomio cromatico di un grafo e il teorema dei quattro colori

La seguente tesi affronta la dimostrazione del teorema dei quattro colori. Dopo un introduzione dei concetti cardine utili alla dimostrazione, quali i concetti ed i risultati principali della teoria dei grafi e della loro colorazione, viene affrontata a livello prima storico e poi tecnico l'evoluzione della dimostrazione del teorema, che rimase congettura per 124 anni.

Alcuni problemi additivi riguardanti i numeri primi

La tesi prende spunto da due laboratori del Piano di Lauree Scientifiche, "Numeri primi e crittografia" e "Giocare con i numeri". Si approfondiscono i problemi additivi riguardanti i numeri primi. Questi sono stati scelti per due principali motivi: la semplicità dei contenuti, che possono essere compresi dagli studenti di tutti i tipi di scuola, e la possibilità di prestarsi bene ad un approccio di tipo laboratoriale da parte degli studenti, adattabile alle diverse preparazioni matematiche e al tempo stesso in grado di stimolare curiosità su problemi ancora irrisolti. Si mostreranno metodi di risoluzione di tipo elementare ma anche metodi che coinvolgono l'analisi complessa.

Storia e sviluppo del concetto di limite: fra matematica, filosofia e didattica

La letteratura mostra come siano innumerevoli le difficoltà e gli ostacoli nell'apprendimento del concetto di limite: la ricerca è volta ad ipotizzare un possibile aiuto e supporto alla didattica con l'utilizzo della storia della matematica relativa al concetto di limite.

Dynamic networks, text analysis and Gephi: the art math

In numerosi campi scientici l'analisi di network complessi ha portato molte recenti scoperte: in questa tesi abbiamo sperimentato questo approccio sul linguaggio umano, in particolare quello scritto, dove le parole non interagiscono in modo casuale. Abbiamo quindi inizialmente presentato misure capaci di estrapolare importanti strutture topologiche dai newtork linguistici(Degree, Strength, Entropia, . . .) ed esaminato il software usato per rappresentare e visualizzare i grafi (Gephi). In seguito abbiamo analizzato le differenti proprietà statistiche di uno stesso testo in varie sue forme (shuffolato, senza stopwords e senza parole con bassa frequenza): il nostro database contiene cinque libri di cinque autori vissuti nel XIX secolo. Abbiamo infine mostrato come certe misure siano importanti per distinguere un testo reale dalle sue versioni modificate e perché la distribuzione del Degree di un testo normale e di uno shuffolato abbiano lo stesso andamento. Questi risultati potranno essere utili nella sempre più attiva analisi di fenomeni linguistici come l'autorship attribution e il riconoscimento di testi shuffolati.

Gli idrocarburi non convenzionali nel futuro degli approvvigionamenti energetici : aspetti tecnici e economici

breve trattato sulle potenzialità presenti e future delle fonti fossili non convenzionali e della loro incidenza sugli scenari energetici futuri.

La congettura di Collatz

Presentazione dei risultati più importanti e famosi che riguardano la congettura di Collatz. Analisi empiriche e nuovi risultati riguardanti la congettura e le sue generalizzazioni.

Campi finiti e segnale GPS

Lo scopo della tesi è quello di studiare una delle applicazioni della teoria dei campi finiti: il segnale GPS. A questo scopo si descrivono i registri a scorrimento a retroazione lineare (linear feedback shift register, LFSR), dispositivi utili in applicazioni che richiedono la generazione molto rapida di numeri pseudo-casuali. I ricevitori GPS sfruttano il determinismo di questi dispositivi per identificare il satellite da cui proviene il segnale e per sincronizzarsi con esso. Si inizia con una breve introduzione al funzionamento del GPS, poi si studiano i campi finiti: sottocampi, estensioni di campo, gruppo moltiplicativo e costruzione attraverso la riduzione modulo un polinomio irriducibile, fattorizzazione di polinomi, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi irriducibili, radici di polinomi irriducibili, coniugati, teoria di Galois (automorfismo ed orbite di Frobenius, gruppo e corrispondenza di Galois), traccia, polinomio caratteristico, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi primitivi. Successivamente si introducono e si esaminano sequenze ricorrenti lineari, loro periodicità, la sequenza risposta impulsiva, il polinomio caratteristico associato ad una sequenza e la sequenza di periodo massimo. Infine, si studiano i registri a scorrimento che generano uno dei segnali GPS. In particolare si esamina la correlazione tra due sequenze. Si mostra che ogni polinomio di grado n-1 a coefficienti nel campo di Galois di ordine 2 può essere rappresentato univocamente in n bit; la somma tra polinomi può essere eseguita come XOR bit-a-bit; la moltiplicazione per piccoli coefficienti richiede al massimo uno shift ed uno XOR. Si conclude con la dimostrazione di un importante risultato: è possibile inizializzare un registro in modo tale da fargli generare una sequenza di periodo massimo poco correlata con ogni traslazione di se stessa.

Forward implied volatility expansions in LSV models

In this work we address the problem of finding formulas for efficient and reliable analytical approximation for the calculation of forward implied volatility in LSV models, a problem which is reduced to the calculation of option prices as an expansion of the price of the same financial asset in a Black-Scholes dynamic. Our approach involves an expansion of the differential operator, whose solution represents the price in local stochastic volatility dynamics. Further calculations then allow to obtain an expansion of the implied volatility without the aid of any special function or expensive from the computational point of view, in order to obtain explicit formulas fast to calculate but also as accurate as possible.