Acercamiento intuitivo al concepto de función derivada

En el siguiente artículo se propone un acercamiento numérico y gráfico al concepto de derivada y de función derivada. Para ello se propone iniciar introduciendo las ideas de diferencias, incrementos y razón de incrementos. El que esto escribe diseño y desarrollo un software de apoyo a la introducción de estas ideas. Para abordar la temática se exponen ideas teóricas, una exposición de lo propuesto en el software y algunos resultados obtenidos.

La visualización como estrategia para la comprensión

En este trabajo se muestran los primeros pasos del proyecto de investigación que tiene como meta el diseño de una propuesta para la enseñanza – aprendizaje del Cálculo Diferencial e Integral (de una variable). Se espera que su implementación, entre otros aspectos, mejore la comprensión de los conceptos fundamentales del Cálculo a través del tratamiento y conversión de las distintas representaciones de los conceptos, promueva el uso de la visualización matemática como estrategia para la formación adecuada de los conceptos, sirva de soporte a los estilos de matematización de las materias de las carreras de ingeniería. La propuesta focaliza su acento en la visualización, considerando que la visualización matemática favorece un enfoque global, integrador, de las representaciones de varios sistemas, facilitando la formación adecuada de los conceptos y la resolución de problemas no rutinarios.

Gulliver y la matemática

¿En qué pensamos cuando citamos a Gulliver? Seguro que en proporciones. El trabajo nos va a mostrar la riqueza que posee este libro en la relación de la matemática con otras disciplinas como es la literatura, o como la música entre otros temas. Todo el material para incorporar en las aulas es de tal magnitud que nos preguntaremos ¿por qué no lo usamos y lo aprovechamos con nuestros alumnos? Se propone tomar distintos párrafos del libro y trabajar las situaciones que se plantean con longitudes, perímetros, superficies, volúmenes, medidas no convencionales, sistemas de coordenadas, razones, figuras y cuerpos geométricos, relaciones trigonométricas para llevar al espacio áulico con nuestros alumnos dichas actividades, donde veremos la riqueza de esta obra literaria con nuestra asignatura y otras.

Tránsito entre representaciones en matemáticas ¿pensamiento global o local?

Este trabajo pretende dar a conocer el avance, que hasta el momento se ha logrado, en la línea de investigación: “Visualización y pensamiento global en Matemáticas”, la cual persigue, a partir de la Teoría de Representaciones Semióticas de Duval, la caracterización del estilo de pensamiento global y local, de estudiantes de nivel medio superior y superior y de sus profesores. En particular reporto los resultados preliminares encontrados hasta el momento con estudiantes de primeros semestres de licenciatura al abordar un problema de precálculo, contrastado con desempeños en ajedrez para interpretar aspectos semejantes en cuanto a la forma local o global de pensar un problema viendo sus registros que lleven a resultados que pudieran servir en la mejora de la enseñanza de algunos temas de matemáticas.

Estudio de prácticas de modelación con estudiantes de México y Chile

Este trabajo es parte de una investigación que estudia prácticas de modelación en diversos escenarios con la intención de analizar las herramientas que surgen en este proceso. Se reportan experiencias con estudiantes, de nivel medio superior y superior de México y Chile, respectivamente, que participaron en puestas en escena de un diseño de aprendizaje basado en la modelación lineal. Sus producciones muestran argumentos, herramientas y procedimientos que utilizan al modelar, su análisis presenta invariantes y particularidades que exhiben el rol del estudiante en cada escenario. El trabajo se enmarca en la socioepistemología como perspectiva teórica.

Análisis socioepistemológico de los obstáculos asociados a la división por cero

Frecuentemente, al iniciar el estudio de conceptos básicos del análisis matemático, nos encontramos con dificultades y errores relacionados con la división por cero. La necesidad de dar respuesta a esta problemática, da origen a este trabajo que retoma las respuestas dadas por un grupo de alumnos de la escuela media que constituyen las evidencias sobre las cuales se inicia el proceso de investigación que se encuentra en su primera etapa de realización y cuyos resultados parciales se exponen aquí. Se enmarca la tarea en la perspectiva socioepistemológica indagando en los orígenes y evolución de este conocimiento, analizando los alcances y efectos del discurso matemático escolar vigente en la educación media y contemplando las concepciones de los alumnos acerca del cero y la división construidas en ambientes escolarizados y no escolarizados.

Laboratorio virtual de matemáticas (ALME2005)

Concebimos que la modelación de fenómenos es una práctica que está ligada a la construcción de conocimientos matemáticos y en este sentido se han realizado investigaciones entorno a su incorporación al contexto escolar. Sin embargo, el incorporar la experimentación en el aula de matemáticas conlleva dificultades, una de ellas es la carencia de material de laboratorio. El laboratorio virtual es un proyecto que intenta suplir la ausencia de un laboratorio físicamente, sin embargo, esta sustitución desencadena diferentes relaciones entre los actores. En este trabajo se pretende mostrar como es que un laboratorio simulado, podría contribuir a la incorporación a sistemas escolares concretos de diseños de aprendizaje basados en las prácticas sociales de modelación. Se da evidencia de cómo se desarrollan acciones e interacciones colaborativas alrededor del laboratorio virtual.

Análisis gráfico de funciones

En este curso se pretende realizar análisis de funciones a partir de sus representaciones gráficas. Se parte del desarrollo de actividades de lectura, interpretación y construcción de gráficas de funciones sobre la base de un ambiente rico en significados visuales. Se desarrollarán actividades que requerirán procesos de conversión y tratamiento de diferentes sistemas semióticos de representación como el gráfico, verbal y analítico, pero predominantemente el gráfico. La validez de las argumentaciones que permitirán dar respuesta a los cuestionamientos incluidos en estas actividades, será de naturaleza eminentemente visual.

Situaciones didácticas en la comprensión del concepto de número racional en alumnos de nivel medio superior

Esta investigación se realizó con alumnos de Nivel Medio Superior (NMS) que habían cursado la asignatura de Matemáticas I y que tenían dificultades con la comprensión del concepto de número racional. El propósito fue poner en escena situaciones didácticas, para explorar sus efectos en la comprensión de este concepto. Para tener información precisa de cuál es el estado que guardaba este conocimiento en los alumnos, se hizo un diagnóstico, por lo que se diseñaron y validaron las situaciones que se utilizarían tanto en el diagnóstico como en la puesta en escena. En su diseño se consideraron los contenidos de aritmética de NMS, diferentes sistemas de representación y el modelo utilizado por Sierpinska sobre los actos de comprensión de conceptos matemáticos. Al comparar los resultados que se obtuvieron en el diagnóstico con los de la puesta en escena de las situaciones didácticas, se encontró que: el permitir que los alumnos conocieran diferentes formas de representar a los números racionales, el significado de cada una de ellas, así como convertir o traducir unas representaciones en otras a través de las situaciones didácticas, propició la construcción de este concepto y mejoraran su comprensión.

Concepciones alternativas que, referentes al comportamiento variacional de funciones, manifiestan profesores y estudiantes de bachillerato

En este artículo se reportan los resultados de una investigación que explora las concepciones alternativas de profesores y estudiantes de bachillerato acerca del comportamiento variacional de funciones. Para tal exploración se diseñó un cuestionario en el que se usan los sistemas de representación verbal, gráfico y analítico. En especial se exploraron concepciones relativas al comportamiento variacional de funciones [v. gr: Para qué x, f´(x)>0], comportamiento variacional y signo simultáneamente [v. gr: Para qué x se cumple que: f´(x)>0 y f(x)<0] y las relativas a los procesos de reversibilidad: [v. gr: Dada f´(x) esbozar f(x) y viceversa]. Los resultados indican que una cantidad significativa de encuestados, creen que f(x)<0 si su gráfica está en el semieje negativo de las x; consideran a f´(x) como asociada a un punto y no al comportamiento de f(x); la mayoría se muestra imposibilitado para transferir información variacional de la gráfica de f´(x) a f(x).

Registros de representación semiótica en el concepto “resolución numérica de ecuaciones polinómicas”. Análisis a priori

Analizamos los registros de representación semiótica y las correspondientes funciones semióticas implícitos en la solución de dos problemas propuestos para la Educación Polimodal, que consideramos pueden ser utilizados en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la noción resolución numérica de ecuaciones polinómicas, contemplada en los C.B.C. del mencionado nivel. Las representaciones juegan un rol fundamental en los procesos de construcción de conceptos, por lo que son importantes en la enseñanza, aprendizaje y comunicación del conocimiento matemático (Hitt, 1996). Con este análisis a priori, pretendemos ver cuáles de los registros de representación son de mayor peso para incorporar o darle sentido al concepto: Funciones polinómicas. Raíces de las correspondientes ecuaciones. Tratamos de responder a las preguntas: ¿Cuáles son los distintos registros de representación puestos en juego en la solución de cada problema?. ¿Cómo se suceden?. ¿Cómo aparecen y cuál es la necesidad de su conversión?. ¿Cómo se coordinan en la actividad conceptual? ¿En qué medida la presentación del tema desde una situación problemática es beneficiosa para incorporar y dar sentido a la determinación de las raíces de una ecuación polinómica?.

Representaciones estudiantiles de variación. Un estudio desde mediaciones pedagógicas

El propósito de esta investigación en curso es indagar sobre las representaciones que tienen estudiantes del nivel medio superior (secundaria y primer nivel universitario) acerca de nociones matemáticas variacionales, prestando especial atención a su forma de aprenderlas y buscando propiciar espacios de reflexión respecto de ellas, con el objeto de aportar información que sirva de base para la elaboración de diseños didácticos tendientes a mediar -en procesos de profundidad creciente- aprendizajes de nociones matemáticas variacionales, por ejemplo, la razón de cambio de una magnitud. Como técnica exploratoria consideramos el uso de bitácoras personales de reflexión de los estudiantes, para luego, en una segunda etapa, derivar en la construcción y aplicación de un cuestionario y la realización de entrevistas para triangular fuentes de información. En este artículo se reportan evidencias de la primera etapa, provenientes de las bitácoras personales, en el contexto de un curso de cálculo inicial.

Visualizando lo que varía

Los obstáculos para operar con la visualización por parte de los estudiantes, a la hora de estudiar lo que varía, muestran la importancia de promover el desarrollo de una “inteligencia visual”. En especial la construcción de gráficas, dado que es una importante herramienta que permite a los estudiantes realizar una actividad matemática escolar y por tanto desarrollar un pensamiento matemático. Herramienta didáctica que ha ido, desde el surgimiento de la tecnología digital, cobrando mayor importancia en la investigación tanto matemática como en didáctica de las matemáticas. A modo de ilustración en el comportamiento tendencial (Cordero, 2001) de las funciones, un estudiante aprende a “identificar” coeficientes en la función, a “reconocer” patrones de comportamientos gráficos, a “buscar” tendencias en los comportamientos y a "relacionar” funciones.

Funciones embotelladas

Esta es una propuesta didáctica que consta de una serie de actividades relacionadas con la representación gráfica de ciertas funciones y su vinculación con una representación en un contexto físico o icónico (dibujo de un recipiente). Las actividades son de dos tipos: Dadas las formas de los recipientes, bosquejar las gráficas correspondientes, teniendo en cuenta que la variable independiente es la altura del líquido y la variable dependiente es el área de la superficie del líquido (o bien el volumen del líquido dentro del recipiente); dadas las gráficas del área de la superficie del líquido versus altura, bosquejar los posibles recipientes correspondientes. Ambas actividades son diseñadas para propiciar el cambio de un sistema de representación a otro (Janvier, 1987; Duval, 1992, 1999; Hitt, 1992).

La visualización en el tratamiento de expresiones numéricas con exponentes y radicales mediante el álgebra de funciones

A partir de un estudio en proceso con profesores del nivel medio sobre errores en el uso de expresiones numéricas que contienen exponentes y radicales se propone una forma de enseñanza basada en recursos de visualización usados en la graficación de funciones. Además de reconocer la visualización como la habilidad de los sujetos para formar y manipular imágenes mentales se acepta como la habilidad para trazar diagramas apropiados para representar un concepto matemático o un problema. Son reconocidos el valor y la importancia de las imágenes visuales, en los diagramas y de otras herramientas visuales en los procesos heurísticos, para el descubrimiento, en la enseñanza de la matemática. Se propone una forma integral de abordar el aprendizaje de exponentes y radicales que consideran recursos visuales, numéricos y algebraicos para obtener sus propiedades. La graficación de funciones que comprenden formas de expresiones con exponentes y radicales, realizada por puntos, por intervalos y en forma global, favorece el análisis de la forma en que cambian las variables e ilustra el dominio de definición de las expresiones algebraicas. Del análisis de las representaciones gráficas se obtienen las propiedades de expresiones numéricas que incluyen exponentes y radicales definidas tanto en los números reales como en los complejos. Utilizando el álgebra de estas curvas se obtienen otras propiedades numéricas. Se hace uso de la calculadora graficadora y la computadora para obtener las gráficas de las funciones y para verificar las propiedades numéricas que se establecen.