Análise teórico-experimental da extração de óleo de soja em instalação industrial do tipo Rotocell

O presente trabalho apresenta o desenvolvimento de um estudo da extração de óleo vegetal em instalações industriais do tipo Rotocell. O extrator tem forma cilíndrica e possui um eixo principal no qual estão fixos vagões que transportam os sólidos através do extrator, e, abaixo desses existem reservatórios responsáveis pelo recebimento da micela. Acima dos vagões há seções de distribuição de micela que é despejada sobre os sólidos dos vagões, que extrai o óleo. Possui também seções de carregamento e drenagem. Um modelo físico-matemático e um programa para simular a operação do extrator foram desenvolvidos considerando os seguintes fenômenos: difusão de óleo pela micela; transferência de óleo entre as fases bulk e poro; variação da massa específica e viscosidade da micela; os processos nas seções de drenagem e de carregamento. Na forma final, o modelo acoplado apresenta-se em termos de redes neurais artificiais, que possibilita operar com tempos discretos e contínuos, permitindo a simulação numérica deste extrator industrial, o treinamento favorável da rede, sua identificação, e o acompanhamento em tempo real. Foram determinadas características da matéria-prima através de um trabalho experimental em laboratório. Através dos resultados obteve-se a validação do modelo por meios teóricos e experimentais Os resultados teóricos foram comparados com os dados experimentais e com cálculos feitos através do método de estágios ideais. As simulações numéricas revelam propriedades do campo de extração para o regime transiente com distribuição uniforme e regime transiente industrial, onde verifica-se que o modelo descreve corretamente o comportamento real do campo de percolação do extrator. Também foram realizadas simulações numéricas com o objetivo de avaliar as principais características do extrator em função da sua geometria e características da matéria-prima, variando a altura e o número de vagões do extrator verificou-se que é possível simular o comportamento do extrator para diferentes formas e tipo de qualidades da matéria-prima. Foram feitas simulações utilizando um solvente alternativo(álcool) e mudando parâmetros do extrator, onde observou-se que o solvente exige alterações na dimensão do extrator.

Processamento de materiais carbonáceos por pulsos intensos de laser em alta pressão

Neste trabalho foi desenvolvida uma câmara de alta pressão com janela de safira para processamento de filmes finos com pulsos de laser de alta potência, num regime de resfriamento ultra-rápido e geometria confinada. As amostras estudadas consistiram de filmes finos de carbono amorfo depositados sobre substratos de cobre. Os processamentos foram realizados com um laser pulsado Nd:YAG com energia de até 500 mJ por pulso, com duração de 8 ns, focalizada numa região de cerca de 1,5mm2, gerando uma região de elevada temperatura na superfície da amostra durante um intervalo de tempo bastante curto, da ordem do tempo de duração do pulso do laser. Para evitar a evaporação do filme de carbono, aplicava-se através da câmara, uma pressão de 0,5 a 1,0 GPa, confinando a amostra e eliminando o efeito da ablação. Este sistema tornou possível produzir taxas de resfriamento extremamente elevadas, com supressão da formação de uma pluma durante a incidência do laser, sendo o calor dissipado rapidamente pelo contato com os substratos de cobre e safira, ambos com elevada condutividade térmica. As amostras processadas foram analisadas por micro-espectroscopia Raman e os resultados revelaram a formação de estruturas com cadeias lineares de carbono, “carbynes”, caracterizadas pela presença de um pico Raman intenso na região de 2150 cm-1. Outro conjunto de picos Raman foi observado em 996 cm-1, 1116 cm-1 e 1498 cm-1 quando o filme fino de carbono amorfo foi processado dentro da câmara, com uma seqüência de mais de três pulsos consecutivos de laser. Várias tentativas foram feitas para investigar a natureza da fase que origina estes picos. Apesar da similaridade com o espectro Raman correspondente ao poliacetileno (CnHn), não foi possível constatar evidências experimentais sobre a presença de hidrogênio nos filmes de carbono processados. Estes picos Raman não foram observados quando o filme de carbono era depositado sobre outros substratos metálicos, a não ser em cobre. O conjunto de resultados experimentais obtidos indica que estes picos estariam relacionados a pequenos aglomerados lineares de átomos de carbono, diluídos numa matriz de átomos de cobre, formados durante os pulsos subseqüentes de laser e retidos durante o resfriamento ultra-rápido da amostra. A comparação dos resultados experimentais com a simulação do espectro Raman para diferentes configurações, permite propor que estes aglomerados seriam pequenas cadeias lineares, com poucos átomos, estabilizadas frente à formação de grafenos pela presença de átomos de cobre em abundância. Foram também realizados processamentos de materiais carbonáceos por pulsos de laser em meios líquidos, através de câmaras especialmente construídas para este fim. Os resultados, em diversos materiais e configurações, mostraram apenas a formação de estruturas grafíticas, sem evidência de outras fases.

Simulação numérica de esteiras em transição utilizando o método dos contornos virtuais

Simulações Numéricas são executadas em um código numérico de alta precisão resolvendo as equações de Navier-Stokes e da continuidade para regimes de escoamento incompressíveis num contexto da turbulência bidimensional. Este código utiliza um esquema compacto de diferenças finitas de sexta ordem na aproximação das derivadas espaciais. As derivadas temporais são calculadas usando o esquema de Runge-Kuta de terceeira ordem com baixo armazenamento. Tal código numérico fornece uma representação melhorada para uma grande faixa de escalas de comprimento e de tempo. As técnicas dos contornos imersos acopladas ao método dos contornos virtuais permitem modelar escoamentos não-estacionários sobre geometrrias complexas, usando simplesmente uma malha Cartesiana uniforme. Por meio de procedimentos de aproximação/interpolação, as técnicas dos contornos imersos (aproximação Gaussiana, interpolação bilinear e redistribuição Gaussiana), permitem a representação do corpo sólido no interior do campo de escoamento, com a superfície não coincidindo com a malha computacional. O método dos contornos virtuais, proposto originalmente por Peskin, consiste, basicamente, na imposição na superfície e/ou no interior do corpo, de um termo de força temporal acrescentando às equações do momento. A aplicação deste campo de força local leva o fluido ao repouso na superfície do corpo, permitindo obter as condições de contorno de não-deslizamento e de não penetração de fluido na parede. A análise das oscilações induzidas no escoamento-contorno pelo processo de desprendimento de vórtices na esteira do cilindro circular e de geometria retangulares na incidência, para números de Reybolds variando de 40 a 400, confirma a eficiência computacional e a aplicabilidade das técncias implementadas.

Reação de estado sólido em multicamadas de Fe-Zr

Filmes finos de Fe-Zr na geometria de multicamadas foram tratados termicamente variando-se a temperatura (350ºC e 500ºC) e o tempo de tratamento (10min a 72h). As fases formadas por Reação de Estado Sólido (RES) em multicamadas com três composições totais diferentes (Fe0.67Zr0.33, Fe0.50Zr0.50, Fe0.33Zr0.67) foram analisadas por espectroscopia de retroespalhamento de Rutherford, difratometria de raios-X e espectroscopia Mössbauer. Verificou-se que a primeira fase formada é sempre uma fase amorfa de composição aproximada 50%at Fe. A fração Mössbauer desta fase, em função do tempo de tratamento térmico a 350ºC, foi traçada para as três composições. Também foram identificadas as fases cristalinas Fe2Zr e FeZr3. A seqüência de fases formadas revelou depender da composição da multicamada como-depositada e também da temperatura de tratamento. O diagrama esquemático de Energia Livre de Gibbs foi proposto de forma a comportar os resultados experimentais. Um modelo de crescimento planar de fases reagidas na interface de pares de reação foi aplicado às condições do crescimento multifásico observadas no presente trabalho.

Particionamento de domínio e balanceamento de carga no modelo HIDRA

A paralelização de aplicaçõpes envolvendo a solução de problemas definidos sob o escopo da Dinâmica dos Fluidos Computacional normalmente é obtida via paralelismo de dados, onde o domínio da aplicação é dividido entre os diversos processadores, bem como a manutenção do balancecamento durante a execução é um problema complexo e diversas heurísticas têm sido desenvolvidas. Aplicações onde a simulação é dividida em diversas fases sobre partes diferentes do domínio acrescentam uma dificuldade maior ao particionamento, ao se buscar a distirbuição equlibrada das cargas em todas as fases. este trabalho descreve a implementação de mecanismos de particionamento e balanceamento de carga em problemas multi-fase sobre clusters de PCs. Inicialmente é apresentada a aplicação desenvolvida, um modelo de circulação e transporte de susbtâncias sobre corpos hídricos 2D e 3 D, que pode ser utilizado para modelar qualquer corpo hídrico a partir da descrição de sua geometria, batimetria e condições de contorno. Todo o desenvolvimento e testes do modelo foi feito utilizando como caso de estudo o domínio do Lago Guaíba, em Porto Alegre. Após, são descritas as principais heurísticas de particionamento de domínio de aplicações multi-fase em clusters, bem como mecanismos para balanceamento de carga para este tipo de aplicação. Ao final, é apresentada a solução proposta e desenvolvida, bem como os resultados obtidos com a mesma.

Minimização de funções de custos descontínuas

Nesta tese mostramos que uma função de custo contínua e uma tecnologia uniproduto, convexa, monôtona não-crescente e regular implicam que a função de custo mínimo é semicontínua superior em relação ao produto e que a demanda por insumos é fechada. Se a imagem da tecnologia for compacta então a função de custo mínimo é contínua e a demanda por insumos é hemicontínua superior e valor-compacto em relação ao produto. Se a tecnologia possuir a propriedade de ser localmente não-disjunta então a função de custo mínimo é contínua e a demanda por insumos é hemicontínua superior e valorcompacto em relação ao produto. Se a função de custo for monôtona não-decrescente, semicontínua inferior em relação aos contornos inferiores e a tecnologia for uniproduto, convexa, monótona não-crescente, regular, fechada com imagem compacta então a função de custo mínimo é semicontínua inferior em relação ao produto e a demanda ampliada por insumos é hemicontínua superior e valor-compacto em relação ao produto. Se a tecnologia possuir a propriedade de ser localmente não-disjunta então o mesmo resultado é válido. Introduzimos as noções de função monótona não-decrescente e semicontínua inferior em relação aos contornos num espaço topológico ordenado, de correspondência localmente não-disjunta e de demanda ampliada. Mostramos que funções com a propriedade anterior são semicontínuas inferiores e que correspondências convexas localmente não-disjuntas são hemicontínuas inferiores.

Racionalidade imperfeita e inércia inflacionária : uma nova estimação da Curva de Phillips para o Brasil

O presente trabalho estima uma nova relação entre emprego e inflação para o Brasil, tendo como pano de fundo hipóteses propostas pelo arcabouço neo-keynesiano. Quatro hipóteses são testadas e sustentadas ao longo de todo o trabalho: i) os agentes não possuem racionalidade perfeita; ii) a imperfeição no processo de formação das expectativas dos agentes pode ser um fator determinante no componente inercial da inflação brasileira; iii) a inflação possui um componente inercial autônomo, que não depende de choques verificados em mercados isolados; e, iv) relações não-lineares entre inflação e desemprego são capazes de fornecer melhores explicações para o comportamento da economia nos últimos 12 anos. Enquanto as duas primeiras hipóteses são verificadas através de um modelo com mudanças markovianas, as duas últimas são testadas a partir da estimação de uma Curva de Phillips convexa, estimadas pelo Filtro de Kalman. Entretanto, mesmo fazendo uso destas estimativas, as funções de resposta da política monetária apresentam as mesmas propriedades de estimativas tradicionais para o Brasil.

Critérios de projeto para escolas fundamentais bioclimáticas

Esta dissertação trata dos critérios para a elaboração de projetos para edificações escolares, em especial destinadas para a educação infantil e ensino fundamental, considerando a sua inserção no contexto ambiental, constituindo, assim, uma concepção arquitetônica bioclimática. Nessa perspectiva a implantação, a geometria, a organização espacial e os parâmetros construtivos do edifício contribuem na materialização de espaços adequados aos requisitos didático-pedagógicos e funcionais e, em especial, às exigências de conforto ambiental dos usuários, de maneira que a escola, na sua configuração física, se constitua em um elemento promotor do desenvolvimento intelectual, social e afetivo da criança. A partir da concepção global baseada nos princípios da bioclimatologia, o trabalho estabelece as necessidades para condicionamento ambiental determinadas pela caracterização climática de Passo Fundo – RS (clima subtropical úmido de altitude), explorando as estratégias solares passivas que utilizam a própria envoltória da edificação na seleção daqueles elementos ambientais externos favoráveis ao aquecimento, resfriamento, ventilação, proteção à radiação solar e iluminação, a fim de agregar aos critérios funcionais de projeto para escolas a maximização do uso desses fatores naturais e a racionalização do uso de energias não-renováveis, tendo como objetivo contribuir para um gradual desenvolvimento sustentável O trabalho aborda a legislação existente pertinente às edificações escolares, bem como apresenta exemplos de escolas solares passivas, com a aplicação de estratégias válidas para as condições locais, confrontadas com estudo de caso simplificado, a fim de que a implementação das sugestões apontadas demostre a sua viabilidade de aplicação.

Modelamento matemático do escoamento do aço num distribuidor de lingotamento contínuo

Além de armazenar e distribuir o aço líquido para os moldes, uma das funções do distribuidor de lingotamento contínuo é a flotação e separação das inclusões para uma melhor qualidade do produto final. A eficiência e otimização deste processo requer o conhecimento das características do escoamento do aço líquido dentro do distribuidor. Esta dissertação trata do modelamento matemático do escoamento do aço num distribuidor DELTA-T, sem e com modificadores de fluxo e inibidores de turbulência, em condições isotérmicas e não isotérmicas em diferentes situações de vazão e condições térmicas. O software CFX-4 foi utilizado para resolver as equações de movimento, continuidade e transferência de calor utilizando modelo k-ε de turbulência para uma geometria tri-dimensional. A validação de modelo matemático com o modelo físico foi feita através da comparação de planos de laser entre os vetores de velocidade. Para a trajetória do escoamento foi utilizado no modelo físico a técnica do corante. Para a obtenção das curvas DTR – distribuição de tempos de residência no modelo físico foi usada a técnica de injeção de pulso, enquanto que no modelo numérico esta mesma técnica foi aplicada para um escoamento multifásico homogêneo. O perfil de temperatura calculado do aço na superfície foi comparado com medidas experimentais realizadas na usina O objetivo deste trabalho é caracterizar o escoamento do aço através dos perfis de velocidade, energia cinética de turbulência, perfis de temperatura e curvas de distribuição de tempos de residência, avaliando os tempos mínimo e médio de residência e as porções de volumes característicos. Os resultados obtidos indicam que o uso de modificadores de fluxo e inibidores de turbulência são eficientes no controle da emulsificação. É observado que o escoamento apresenta diferenças quando tratado isotermicamente e não isotermicamente.

Simulação da propagação de poluentes no canal do Jacuí e no Rio dos Sinos

No trabalho proposto é apresentado um método analítico para a obtenção da solução da equação advectivo-difusiva que rege a propagação de poluentes em corpos hídricos. Este método utiliza transformações conformes para efetuar o mapeamento de um corpo hídrico com geometria arbitrária em um semi-plano, fornecendo uma solução em forma fechada expressa em termos da função corrente e do potencial velocidade.

Verificação de seções de concreto armado solicitadas por flexão composta à fadiga

Neste trabalho, apresenta-se um programa de computador criado para automatizar os procedimentos para a verificação à fadiga de seções de concreto armado, submetidas a solicitações normais, conforme as recomendações do Projeto de revisão da NBR 6118/2001 (Texto conclusivo). o programa calcula as tensões e as variações de tensões, necessárias para as verificações, no regime elástico (estádio 11),qualquer que seja a solicitação (reta ou desviada) e qualquer que seja a seção transversal da barra (suposta poligonal). Este programa tem grande utilidade prática na verificação de lajes, vigas e pilares de concreto armado. Devido à sua simplicidade e à quantidade de conhecimentos básicos, de cálculo diferencial e integral, cálculo numérico, geometria das massas, resistência dos materiais e concreto armado, envolvidos no seu desenvolvimento, pode ser usado também para fins didáticos.

Desenvolvimento de um programa de simulação computacional de sistemas de aquecimento solar para água

Esta Tese apresenta uma análise do comportamento térmico de um sistema de aquecimento solar operando por termossifão. Neste tipo de sistema o fluido no coletor solar é circulado por convecção natural, que acontece devido à diferença de massa específica da água ao longo circuito. Nestes sistemas a vazão mássica varia ao longo do dia e do ano, dependendo, dentre outros fatores, da irradiância solar absorvida, do perfil de temperaturas da água no sistema, da geometria, do volume e do perfil de demanda de água quente. Para uma avaliação detalhada do comportamento térmico de aquecedores solares operando por termossifão foram realizados ensaios experimentais e cálculos teóricos. Os resultados dos experimentos concordaram com aqueles apresentados na literatura e sua análise fundamentou o desenvolvimento do aplicativo TermoSim, um programa de simulação computacional do comportamento térmico de sistemas de aquecimento de água com energia solar. O tratamento matemático adotado no TermoSim compreende a modelagem dos coletores solares de acordo com a teoria de Hottel-Bliss-Whillier. O reservatório térmico é modelado com estratificação térmica, convecção e condução entre as camadas. A vazão mássica é obtida a partir do balanço da quantidade de movimento no circuito. Os modelos matemáticos empregados na construção do aplicativo TermoSim foram validados através do confronto dos resultados simulados com medidas experimentais. Foi demonstrado que a utilização destes modelos é adequada e permite reproduzir com precisão o comportamento térmico dos coletores solares e do reservatório térmico. Além do programa TermoSim, foi também desenvolvido o programa TermoDim, que é uma ferramenta para o dimensionamento de sistemas de aquecimento solar, que requer apenas o conhecimento dos parâmetros geométricos do sistema, dados meteorológicos em média mensal e informação a respeito do volume de demanda. O TermoDim é apropriado para estimar o desempenho de aquecedores solares operando por termossifão com tanques verticais e horizontais. O método de dimensionamento do TermoDim é baseado na correlação para a eficiência média mensal obtida neste trabalho a partir de um grande número de simulações.

Otimização de pré-formas e matrizes em problemas bidimensionais de forjamento

Este trabalho apresenta uma sistemática para realizar a otimização numérica de pré-formas e de matrizes em problemas de forjamento axissimétricos e em estado plano de deformações. Para este fim, desenvolveu-se um código computacional composto basicamente de três módulos: módulo de pré-processamento, módulo de análise e módulo de otimização. Cada um destes foi elaborado acrescentando rotinas em programas comerciais ou acadêmicos disponíveis no GMAp e no CEMACOM. Um programa gerenciador foi desenvolvido para controlar os módulos citados no processo de otimização. A abordagem proposta apresenta uma nova função objetivo a minimizar, a qual está baseada em uma operação booleana XOR (exclusive or) sobre os dois polígonos planos que representam a geometria desejada para o componente e a obtida na simulação, respectivamente. Esta abordagem visa eliminar possíveis problemas geométricos associados com as funções objetivo comumente utilizadas em pesquisas correlatas. O trabalho emprega análise de sensibilidade numérica, via método das diferenças finitas. As dificuldades associadas a esta técnica são estudadas e dois pontos são identificados como limitadores da abordagem para problemas de conformação mecânica (grandes deformações elastoplásticas com contato friccional): baixa eficiência e contaminação dos gradientes na presença de remalhamentos. Um novo procedimento de diferenças finitas é desenvolvido, o qual elimina as dificuldades citadas, possibilitando a sua aplicação em problemas quaisquer, com características competitivas com as da abordagem analítica Malhas não estruturadas são tratadas mediante suavizações Laplacianas, mantendo as suas topologias. No caso de otimização de pré-formas, o contorno do componente a otimizar é parametrizado por B-Splines cujos pontos de controle são adotados como variáveis de projeto. Por outro lado, no caso de otimização de matrizes, a parametrização é realizada em termos de segmentos de reta e arcos de circunferências. As variáveis de projeto adotadas são, então, as coordenadas das extremidades das retas, os raios e centros dos arcos, etc. A sistemática é fechada pela aplicação dos algoritmos de programação matemática de Krister Svanberg (Método das Assíntotas Móveis Globalmente Convergente) e de Klaus Schittkowski (Programação Quadrática Sequencial – NLPQLP). Resultados numéricos são apresentados mostrando a evolução das implementações adotadas e o ganho de eficiência obtido.

Otimização topológica de estruturas bidimensionais contínuas submetidas a restrições de flexibilidade e tensão

Neste trabalho é resolvido o problema da minimização do volume de estruturas bidimensionais contínuas submetidas a restrições sobre a flexibilidade (trabalho das forças externas) e sobre as tensões, utilizando a técnica chamada otimização topológica, que visa encontrar a melhor distribuição de material dentro de um domínio de projeto pré-estabelecido. As equações de equilíbrio são resolvidas através do método dos elementos finitos, discretizando a geometria e aproximando o campo de deslocamentos. Dessa forma, essas equações diferenciais são transformadas em um sistema de equações lineares, obtendo como resposta os deslocamentos nodais de cada elemento. A distribuição de material é discretizada como uma densidade fictícia constante por elemento finito. Esta densidade define um material isotrópico poroso de uma seqüência pré-estabelecida (SIMP). A otimização é feita através da Programação Linear Seqüencial. Para tal, a função objetivo e as restrições são sucessivamente linearizadas por expansão em Série de Taylor. A análise de sensibilidade para a restrição de flexibilidade é resolvida utilizando o cálculo da sensibilidade analítico adaptado para elementos finitos de elasticidade plana. Quando as restrições consideradas são as tensões, o problema torna-se mais complexo. Diferente da flexibilidade, que é uma restrição global, cada elemento finito deve ter sua tensão controlada. A tensão de Von Mises é o critério de falha considerado, cuja sensibilidade foi calculada de acordo com a metodologia empregada por Duysinx e Bendsøe [Duysinx e Bendsøe, 1998] Problemas como a instabilidade de tabuleiro e dependência da malha sempre aparecem na otimização topológica de estruturas contínuas. A fim de minimizar seus efeitos, um filtro de vizinhança foi implementado, restringindo a variação da densidade entre elementos adjacentes. Restrições sobre as tensões causam um problema adicional, conhecido como singularidade das tensões, fazendo com que os algoritmos não convirjam para o mínimo global. Para contornar essa situação, é empregada uma técnica matemática de perturbação visando modificar o espaço onde se encontra a solução, de forma que o mínimo global possa ser encontrado. Esse método desenvolvido por Cheng e Guo [Cheng e Guo, 1997] é conhecido por relaxação-ε e foi implementado nesse trabalho.

Tópicos em programação dinâmica

Muitos problemas de Dinâmica em Economia se encaixam dentro de uma estrutura de modelos de decisão seqüencial, sendo resolvidos recursivamente. Programação Dinâmica uma técnica de otimização condicionada que se encarrega de solucionar problemas desse tipo. Esse trabalho tem como objetivo apresentar uma resenha dos principais resultados teóricos em Programação Dinâmica. Os métodos da Programação Dinâmica são válidos tanto para problemas determinísticos como para os que incorporam variável incerteza. esperada objetividade de uma dissertação de Mestrado, no entanto, nos impediu de extender análise, deixando assim de considerar explicitamente neste trabalho modelos estocásticos, que teria enriquecido bastante parte destinada aplicações Teor ia Econômica. No capítulo desenvolvemos instrumental matemático, introduzindo uma série de conceitos resultados sobre os quais se constrói análise nos capítulos subsequentes. Ilustramos tais conceitos com exemplos que seguem um certo encadeamento. Nas seções 1.1 1.2 apresentamos as idéias propriedades de espaços métricos espaços vetoriais. Na seção 1.3, prosseguimos com tópicos em análise funcional, introduzindo noção de norma de um vetor de espaços de Banach. seção 1.4 entra com idéia de contração, Teor ema do Ponto Fixo de Banach e o teor ema de Blackwell. O Teorema de Hahn-Banach, tanto na sua forma de extensão quanto na sua forma geométrica, preocupação na seção 1.5. Em particular, forma geométrica desse teorema seus corolários são importantes para análise conduzida no terceiro capítulo. Por fim, na seção 6, apresentamos Teorema do Máximo. Ao final deste capítulo, como também dos demais, procuramos sempre citar as fontes consultadas bem como extensões ou tratamentos alternativos ao contido no texto. No capítulo II apresentamos os resultados métodos da Programação Dinâmica em si seção 2.1 cuida da base da teoria, com Princípio da Otimal idade de Eellman e a derivação de um algoritmo de Programação Dinâmica. Na seção 2.2 mostramos que esse algoritmo converge para função valor ótima de um problema de horizonte infinito, sendo que esta última satisfaz chamada Equação de Bellman. seção seguinte se preocupa em fornecer caracterizaçBes para função valor mencionada acima, mostrando-se propriedades acerca de sua monotonicidade concavidade. seção 2.4 trata da questão da diferenciabi idade da função valor, que permite se obter alguns resultados de estática Cou dinâmica} comparativa partir da Equação de Bellman. Finalmente, na seção 2.5 apresentamos uma primeira aplicação Teoria Econômica, através de um modelo de crescimento econômico ótimo. No capítulo III introduzimos uma outra técnica de otimização Programação Convexa- mostramos dificuldade em se tentar estabelecer alguma relação de dominância entre Programação Dinâmica Programação Convexa. Na seção 3.2 "apresentamos os Teoremas de Separação, dos quais nos utilizamos na seção seguinte para demonstrar existência de Multiplicadores de Lagrange no problema geral da Programação Convexa. No final desta seção dizemos porque não podemos inferir que em espaços de dimensão infinita Programação Convexa não pode ser aplicada, ao contrário da Programação Dinâmica, que evidenciaria uma dominancia dessa última técnica nesses espaços. Finalmente, capítulo IV destinado uma aplicação imediata das técnicas desenvolvidas principalmente no segundo capítulo. Com auxílio dessas técnicas resolve-se um problema de maximização intertemporal, faz-se uma comparação dos resultados obtidos através de uma solução cooperativa de uma solução não-cooperativa.