Posicionamento aproximado do estado final para sistemas térmicos descritos pela equação do calor.

Neste trabalho, será considerado um problema de controle ótimo quadrático para a equação do calor em domínios retangulares com condição de fronteira do tipo Dirichlet é nos quais, a função de controle (dependente apenas no tempo) constitui um termo de fonte. Uma caracterização da solução ótima é obtida na forma de uma equação linear em um espaço de funções reais definidas no intervalo de tempo considerado. Em seguida, utiliza-se uma sequência de projeções em subespaços de dimensão finita para obter aproximações para o controle ótimo, o cada uma das quais pode ser gerada por um sistema linear de dimensão finita. A sequência de soluções aproximadas assim obtidas converge para a solução ótima do problema original. Finalmente, são apresentados resultados numéricos para domínios espaciais de dimensão 1.

Localização eletrônica de sistemas aperiódicos em uma dimensão

Desde a descoberta do estado quasicristalino por Daniel Shechtman et al. em 1984 e da fabricação por Roberto Merlin et al. de uma superrede artificial de GaAs/ AlAs em 1985 com características da sequência de Fibonacci, um grande número de trabalhos teóricos e experimentais tem relatado uma variedade de propriedades interessantes no comportamento de sistemas aperiódicos. Do ponto de vista teórico, é bem sabido que a cadeia de Fibonacci em uma dimensão se constitui em um protótipo de sucesso para a descrição do estado quasicristalino de um sólido. Dependendo da regra de inflação, diferentes tipos de estruturas aperiódicas podem ser obtidas. Esta diversidade originou as chamadas regras metálicas e devido à possibilidade de tratamento analítico rigoroso este modelo tem sido amplamente estudado. Neste trabalho, propriedades de localização em uma dimensão são analisadas considerando-se um conjunto de regras metálicas e o modelo de ligações fortes de banda única. Considerando-se o Hamiltoniano de ligações fortes com um orbital por sítio obtemos um conjunto de transformações relativas aos parâmetros de dizimação, o que nos permitiu calcular as densidades de estados (DOS) para todas as configurações estudadas. O estudo detalhado da densidade de estados integrada (IDOS) para estes casos, mostra o surgimento de plateaux na curva do número de ocupação explicitando o aparecimento da chamada escada do diabo" e também o caráter fractal destas estruturas. Estudando o comportamento da variação da energia em função da variação da energia de hopping, construímos padrões do tipo borboletas de Hofstadter, que simulam o efeito de um campo magnético atuando sobre o sistema. A natureza eletrônica dos auto estados é analisada a partir do expoente de Lyapunov (γ), que está relacionado com a evolução da função de onda eletrônica ao longo da cadeia unidimensional. O expoente de Lyapunov está relacionado com o inverso do comprimento de localização (ξ= 1 /γ), sendo nulo para os estados estendidos e positivo para estados localizados. Isto define claramente as posições dos principais gaps de energia do sistema. Desta forma, foi possível analisar o comportamento autossimilar de cadeias com diferentes regras de formação. Analisando-se o espectro de energia em função do número de geração de cadeias que seguem as regras de ouro e prata foi feito, obtemos conjuntos do tipo-Cantor, que nos permitiu estudar o perfil do calor específico de uma cadeia e Fibonacci unidimensional para diversas gerações

Modelo de Ginzburg-Landau a partir da teoria de campos a temperatura finita

Neste trabalho, utilizamos o formalismo de teorias quânticas de campos a temperatura finita, tal como desenvolvidas por Matsubara, aplicado a uma hamiltoniana de N campos escalares com autointeração quártica a N grande. Obtém-se uma expressão, na primeira aproximação quântica, para o coeficiente do termo quadrático da hamiltoniana ("massa quadrada"), renormalizado, como função da temperatura. A partir dela, estudamos o processo de quebra espontânea de simetria. Por outro lado, a mesma hamiltoniana é conhecida como modelo de Ginzburg-Landau na literatura de matéria condensada, e que permite o estudo de transições de fase em materiais ferromagnéticos. A temperatura é introduzida através do termo quadrático na hamiltoniana, de forma linear: é proporcional à diferença entre a variável de temperatura e a temperatura crítica. Tal modelo, porém, possui validade apenas na regi~ao de temperaturas próximas à criticalidade. Como resultado de nossos cálculos na teoria de campos a temperatura finita, observamos que, numa faixa de valores em torno da temperatura crítica, a massa quadrática pode ser aproximada por uma relação linear em relação à variável de temperatura. Isso evidencia a compatibilidade da abordagem de Ginzburg-Landau, na vizinhança da criticalidade, com respeito ao formalismo de campos a temperatura finita. Discutimos também os efeitos causados pela presença de um potencial químico no sistema.