Meta-heuristic Solution Methods for Rich Vehicle Routing Problems

Le problème de tournées de véhicules (VRP), introduit par Dantzig and Ramser en 1959, est devenu l'un des problèmes les plus étudiés en recherche opérationnelle, et ce, en raison de son intérêt méthodologique et de ses retombées pratiques dans de nombreux domaines tels que le transport, la logistique, les télécommunications et la production. L'objectif général du VRP est d'optimiser l'utilisation des ressources de transport afin de répondre aux besoins des clients tout en respectant les contraintes découlant des exigences du contexte d’application. Les applications réelles du VRP doivent tenir compte d’une grande variété de contraintes et plus ces contraintes sont nombreuse, plus le problème est difficile à résoudre. Les VRPs qui tiennent compte de l’ensemble de ces contraintes rencontrées en pratique et qui se rapprochent des applications réelles forment la classe des problèmes ‘riches’ de tournées de véhicules. Résoudre ces problèmes de manière efficiente pose des défis considérables pour la communauté de chercheurs qui se penchent sur les VRPs. Cette thèse, composée de deux parties, explore certaines extensions du VRP vers ces problèmes. La première partie de cette thèse porte sur le VRP périodique avec des contraintes de fenêtres de temps (PVRPTW). Celui-ci est une extension du VRP classique avec fenêtres de temps (VRPTW) puisqu’il considère un horizon de planification de plusieurs jours pendant lesquels les clients n'ont généralement pas besoin d’être desservi à tous les jours, mais plutôt peuvent être visités selon un certain nombre de combinaisons possibles de jours de livraison. Cette généralisation étend l'éventail d'applications de ce problème à diverses activités de distributions commerciales, telle la collecte des déchets, le balayage des rues, la distribution de produits alimentaires, la livraison du courrier, etc. La principale contribution scientifique de la première partie de cette thèse est le développement d'une méta-heuristique hybride dans la quelle un ensemble de procédures de recherche locales et de méta-heuristiques basées sur les principes de voisinages coopèrent avec un algorithme génétique afin d’améliorer la qualité des solutions et de promouvoir la diversité de la population. Les résultats obtenus montrent que la méthode proposée est très performante et donne de nouvelles meilleures solutions pour certains grands exemplaires du problème. La deuxième partie de cette étude a pour but de présenter, modéliser et résoudre deux problèmes riches de tournées de véhicules, qui sont des extensions du VRPTW en ce sens qu'ils incluent des demandes dépendantes du temps de ramassage et de livraison avec des restrictions au niveau de la synchronization temporelle. Ces problèmes sont connus respectivement sous le nom de Time-dependent Multi-zone Multi-Trip Vehicle Routing Problem with Time Windows (TMZT-VRPTW) et de Multi-zone Mult-Trip Pickup and Delivery Problem with Time Windows and Synchronization (MZT-PDTWS). Ces deux problèmes proviennent de la planification des opérations de systèmes logistiques urbains à deux niveaux. La difficulté de ces problèmes réside dans la manipulation de deux ensembles entrelacés de décisions: la composante des tournées de véhicules qui vise à déterminer les séquences de clients visités par chaque véhicule, et la composante de planification qui vise à faciliter l'arrivée des véhicules selon des restrictions au niveau de la synchronisation temporelle. Auparavant, ces questions ont été abordées séparément. La combinaison de ces types de décisions dans une seule formulation mathématique et dans une même méthode de résolution devrait donc donner de meilleurs résultats que de considérer ces décisions séparément. Dans cette étude, nous proposons des solutions heuristiques qui tiennent compte de ces deux types de décisions simultanément, et ce, d'une manière complète et efficace. Les résultats de tests expérimentaux confirment la performance de la méthode proposée lorsqu’on la compare aux autres méthodes présentées dans la littérature. En effet, la méthode développée propose des solutions nécessitant moins de véhicules et engendrant de moindres frais de déplacement pour effectuer efficacement la même quantité de travail. Dans le contexte des systèmes logistiques urbains, nos résultats impliquent une réduction de la présence de véhicules dans les rues de la ville et, par conséquent, de leur impact négatif sur la congestion et sur l’environnement.

Experiences of participants in the field of food insecurity through the lens of Bourdieu's cultural capital : practical and theoretical explorations

Ce mémoire utilise des données qualitatives provenant d’entretiens semi-structurés pour examiner les ressources qu’utilisent les individus qui font face à l’insécurité alimentaire sous l’angle du capital culturel de Pierre Bourdieu. Les participants étaient choisis parmi les usagers des organismes alternatifs qui œuvrent en sécurité alimentaire à Montréal. Tous étaient en situation d’insécurité alimentaire. Des analyses inductives et déductives étaient exécutées. Seize indicateurs de la forme du capital culturel incorporée, et trois indicateurs de chacune des formes institutionnalisées et objectivées ont été trouvés à être reliés aux stratégies qu’utilisaient les répondants pour améliorer leur situation alimentaire. Cette recherche nous indique que le capital culturel individuel joue un rôle dans les stratégies utilisées, incluant la participation dans les organismes communautaires. De plus, un manque de capital approprié peut servir comme barrière à la participation dans certaines stratégies ce qui pourra avancer des réflexions sur la justesse et l’efficacité des stratégies actuelles.

Practical and Foundational Aspects of Secure Computation

Il y a des problemes qui semblent impossible a resoudre sans l'utilisation d'un tiers parti honnete. Comment est-ce que deux millionnaires peuvent savoir qui est le plus riche sans dire a l'autre la valeur de ses biens ? Que peut-on faire pour prevenir les collisions de satellites quand les trajectoires sont secretes ? Comment est-ce que les chercheurs peuvent apprendre les liens entre des medicaments et des maladies sans compromettre les droits prives du patient ? Comment est-ce qu'une organisation peut ecmpecher le gouvernement d'abuser de l'information dont il dispose en sachant que l'organisation doit n'avoir aucun acces a cette information ? Le Calcul multiparti, une branche de la cryptographie, etudie comment creer des protocoles pour realiser de telles taches sans l'utilisation d'un tiers parti honnete. Les protocoles doivent etre prives, corrects, efficaces et robustes. Un protocole est prive si un adversaire n'apprend rien de plus que ce que lui donnerait un tiers parti honnete. Un protocole est correct si un joueur honnete recoit ce que lui donnerait un tiers parti honnete. Un protocole devrait bien sur etre efficace. Etre robuste correspond au fait qu'un protocole marche meme si un petit ensemble des joueurs triche. On demontre que sous l'hypothese d'un canal de diusion simultane on peut echanger la robustesse pour la validite et le fait d'etre prive contre certains ensembles d'adversaires. Le calcul multiparti a quatre outils de base : le transfert inconscient, la mise en gage, le partage de secret et le brouillage de circuit. Les protocoles du calcul multiparti peuvent etre construits avec uniquements ces outils. On peut aussi construire les protocoles a partir d'hypoth eses calculatoires. Les protocoles construits a partir de ces outils sont souples et peuvent resister aux changements technologiques et a des ameliorations algorithmiques. Nous nous demandons si l'efficacite necessite des hypotheses de calcul. Nous demontrons que ce n'est pas le cas en construisant des protocoles efficaces a partir de ces outils de base. Cette these est constitue de quatre articles rediges en collaboration avec d'autres chercheurs. Ceci constitue la partie mature de ma recherche et sont mes contributions principales au cours de cette periode de temps. Dans le premier ouvrage presente dans cette these, nous etudions la capacite de mise en gage des canaux bruites. Nous demontrons tout d'abord une limite inferieure stricte qui implique que contrairement au transfert inconscient, il n'existe aucun protocole de taux constant pour les mises en gage de bit. Nous demontrons ensuite que, en limitant la facon dont les engagements peuvent etre ouverts, nous pouvons faire mieux et meme un taux constant dans certains cas. Ceci est fait en exploitant la notion de cover-free families . Dans le second article, nous demontrons que pour certains problemes, il existe un echange entre robustesse, la validite et le prive. Il s'effectue en utilisant le partage de secret veriable, une preuve a divulgation nulle, le concept de fantomes et une technique que nous appelons les balles et les bacs. Dans notre troisieme contribution, nous demontrons qu'un grand nombre de protocoles dans la litterature basee sur des hypotheses de calcul peuvent etre instancies a partir d'une primitive appelee Transfert Inconscient Veriable, via le concept de Transfert Inconscient Generalise. Le protocole utilise le partage de secret comme outils de base. Dans la derniere publication, nous counstruisons un protocole efficace avec un nombre constant de rondes pour le calcul a deux parties. L'efficacite du protocole derive du fait qu'on remplace le coeur d'un protocole standard par une primitive qui fonctionne plus ou moins bien mais qui est tres peu couteux. On protege le protocole contre les defauts en utilisant le concept de privacy amplication .

Facteurs de risque d’insuffisance rénale chronique chez les greffés cardiaques : du phénotype aux tests pharmacogénomiques

L’insuffisance rénale chronique (IRC) est un problème majeur fréquemment rencontré chez les greffés cardiaques. Les inhibiteurs de la calcineurine, pierre angulaire de l’immunosuppression en transplantation d’organes solides, sont considérés comme une des principales causes de dysfonction rénale postgreffe. Plusieurs autres éléments tels que les caractéristiques démographiques, cliniques et génétiques du receveur contribuent également au phénomène, mais il demeure plutôt difficile de déterminer quels sont les patients les plus à risque de développer une IRC après la transplantation. Ainsi, la découverte de nouveaux marqueurs génétiques de dysfonction rénale pourrait un jour mener à l’individualisation de la thérapie immunosuppressive selon le profil génétique de chaque patient. Or, on ne connaît pas les opinions des greffés à l’égard des tests pharmacogénomiques et l’on ne sait pas si celles-ci diffèrent des opinions exprimées par les individus en bonne santé. Cette thèse de doctorat a donc pour objectifs : 1- De décrire l’évolution de la fonction rénale à très long terme après la transplantation et d’identifier les marqueurs démographiques et phénotypiques associés à l’IRC postgreffe cardiaque; 2- D’identifier les marqueurs génétiques associés à la néphrotoxicité induite par les inhibiteurs de la calcineurine; 3- D’évaluer et de comparer les attitudes des patients et des individus en bonne santé par rapport à l’intégration clinique potentielle des marqueurs pharmacogénomiques. Trois projets ont été réalisés pour répondre à ces questions. Le premier repose sur une analyse rétrospective de l’évolution de la fonction rénale chez les patients greffés au sein de notre établissement entre 1983 et 2008. Nous y avons découvert que le déclin de la fonction rénale se poursuit jusqu’à 20 ans après la transplantation cardiaque et que les facteurs de risque d’IRC incluent entre autres l’âge avancé, le sexe féminin, la dysfonction rénale prégreffe, l’hypertension, l’hyperglycémie et l’utilisation de la prednisone. Le deuxième projet est une étude pharmacogénomique s’intéressant aux déterminants génétiques de la néphrotoxicité induite par les inhibiteurs de la calcineurine. Elle nous a permis d’illustrer pour la première fois qu’un polymorphisme génétique lié à PRKCB (gène codant pour la protéine kinase C-β) est associé avec la fonction rénale des patients greffés cardiaques, alors que cela n’est probablement pas le cas pour les polymorphismes de TGFB1 (gène codant pour le transforming growth factor-β1). La troisième section de cette thèse rapporte les résultats d’un questionnaire dont le but était de comparer les attitudes envers les tests pharmacogénomiques parmi un groupe de personnes en bonne santé, de patients greffés cardiaques et de patients souffrant d’insuffisance cardiaque. Cette étude a démontré que, bien que l’enthousiasme pour la pharmacogénomique soit partagé par tous ces individus, les craintes liées à la confidentialité et aux répercussions potentielles sur l’emploi et les assurances sont plus prononcées chez les personnes en bonne santé. En résumé, les travaux issus de cette thèse ont révélé que l’identification précoce des patients greffés cardiaques les plus susceptibles de présenter une détérioration de la fonction rénale ainsi que l’adoption d’une approche thérapeutique individualisée reposant notamment sur les applications cliniques de la pharmacogénomique pourraient éventuellement permettre de freiner cette complication postgreffe.

The typic in Kant’s critique of practical reason : moral judgment and symbolic representation

Comment pouvons-nous représenter un principe moral universel de manière à le rendre applicable à des cas concrets ? Ce problème revêt une forme aiguë dans la philosophie morale d’Emmanuel Kant (1724-1804), tout particulièrement dans sa théorie du jugement moral, car il soutient que l’on doit appliquer la loi morale « suprasensible » à des actions dans le monde sensible afin de déterminer celles-ci comme moralement bonnes ou mauvaises. Kant aborde ce problème dans un chapitre de la Critique de la raison pratique (1788) intitulé « De la typique de la faculté de juger pratique pure » (KpV 5: 67-71). La première partie de la thèse vise à fournir un commentaire compréhensif et détaillé de ce texte important, mais trop peu étudié. Étant donné que la loi morale, en tant qu’Idée suprasensible de la raison, ne peut pas être appliquée directement à des actions dans l’intuition sensible, Kant a recours à une forme particulière de représentation indirecte et symbolique. Sa solution inédite consiste à fournir la faculté de juger avec un « type [Typus] », ou analogue formel, de la loi morale. Ce type est la loi de la causalité naturelle : en tant que loi, il sert d’étalon formel pour tester l’universalisabilité des maximes ; et, en tant que loi de la nature, il peut aussi s’appliquer à toute action dans l’expérience sensible. Dès lors, le jugement moral s’effectue par le biais d’une expérience de pensée dans laquelle on se demande si l’on peut vouloir que sa maxime devienne une loi universelle d’une nature contrefactuelle dont on ferait soi-même partie. Cette expérience de pensée fonctionne comme une « épreuve [Probe] » de la forme des maximes et, par ce moyen, du statut moral des actions. Kant soutient que tout un chacun, même « l’entendement le plus commun », emploie cette procédure pour l’appréciation morale. De plus, la typique prémunit contre deux menaces à l’éthique rationaliste de Kant, à savoir l’empirisme (c’est-à-dire le conséquentialisme) et le mysticisme. La seconde partie de la thèse se penche sur l’indication de Kant que la typique « ne sert que comme un symbole ». Un bon nombre de commentateurs ont voulu assimiler la typique à la notion d’« hypotypose symbolique » présentée dans le § 59 de la Critique de la faculté de juger (1790). La typique serait un processus de symbolisation esthétique consistant à présenter, de façon indirecte, la représentation abstraite de la loi morale sous la forme d’un symbole concret et intuitif. Dans un premier chapitre, cette interprétation est présentée et soumise à un examen critique qui cherche à montrer qu’elle est erronée et peu judicieuse. Dans le second chapitre, nous poursuivons une voie d’interprétation jusqu’ici ignorée, montrant que la typique a de plus grandes continuités avec la notion d’« anthropomorphisme symbolique », une procédure strictement analogique introduite auparavant dans les Prolégomènes (1783). Nous en concluons, d’une part, que la typique fut un moment décisif dans l’évolution de la théorie kantienne de la représentation symbolique et que, d’autre part, elle marque la réalisation, chez Kant, d’une conception proprement critique de la nature et de la morale comme deux sphères distinctes, dont la médiation s’opère par le biais des concepts de loi et de conformité à la loi (Gesetzmässigkeit). En un mot, la typique s’avère l’instrument par excellence du « rationalisme de la faculté de juger ».

Tests pour la dépendance entre les sections dans un modèle de Poisson

Les simulations et figures ont été réalisées avec le logiciel R.

L’impact des principes éthiques sur le marché d’assurance en présence de tests génétiques

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Qualitätssicherung in der Physiotherapie: Evaluation von Performance-Tests

Hintergrund und Ziel: Ausgehend von einem Forschungsdefizit im Bereich von Performance-Tests, das von der Arbeitsgruppe um Bührlen et al. (2002) gekennzeichnet wurde, war es das Ziel der Arbeit einen Performance-Tests of lower limb activities (Polla) zu validieren. Methode: In einer Längsschnittstudie wurden die Ergebnisse einer sechswöchigen physiotherapeutischen Behandlung an einem 19-75jährigem orthopädisch-traumatologisch orientierten Patientenkollektiv (n=81) mit dem Polla und dem SF-36 Fragebogen erfasst. Ergebnisse: Die Ergebnisse machen eine gute Absicherung der Teststatistik deutlich. Bei ausgezeichneter Intrarater- (n=29) sowie guter Interrater-Reliabilität (n=32) weist die Konsistenzanalyse eine zufrieden stellende Zuverlässigkeit auf. Die Kriteriumsvalidität macht moderate Zusammenhänge zwischen dem Polla und den Dimensionen Schmerz, Körperliche Rollenfunktion und Körperliche Funktionsfähigkeit des SF-36 deutlich. Über die Standardized Response Mean zeigen die Instrumente eine große Änderungssensitivität, die nur für den Polla auch zum Follow-up (n=26) gilt. Schlussfolgerung: Der Polla ist ein kostenloses Testverfahren mit hoher praktischer Relevanz, wobei aus zeitökonomischen Gründen eine modifizierte Form des Polla mit nur zehn Items und einem gemessenen Test zu empfehlen ist.

Entwicklung und Erprobung eines Tests zur "mathematischen Leistungsfähigkeit" deutscher und englischer Lernender in der Sekundarstufe I

Im Rahmen von empirischen Untersuchungen zum Lehren und Lernen von Mathematik haben wir einen Test entwickelt ("Potentialtest"), der die "mathematische Leistungsfähigkeit" von 13/14jährigen Jugendlichen in England und Deutschland für Vergleichszwecke messen soll. Im vorliegenden Beitrag beschreiben wir die Entstehung des Tests sowie Resultate der Durchführung des Tests bei 1036 englischen und deutschen Lernenden. Die Resultate werden unter Berücksichtigung von - aus unseren früheren Fallstudien bekannten - Charakteristika des Mathematikunterrichts in beiden Ländern interpretiert.

Estimators and Tests based on Likelihood-Depth with Application to Weibull Distribution, Gaussian and Gumbel Copula

In dieser Arbeit werden mithilfe der Likelihood-Tiefen, eingeführt von Mizera und Müller (2004), (ausreißer-)robuste Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter einer stetigen Dichtefunktion entwickelt. Die entwickelten Verfahren werden dann auf drei verschiedene Verteilungen angewandt. Für eindimensionale Parameter wird die Likelihood-Tiefe eines Parameters im Datensatz als das Minimum aus dem Anteil der Daten, für die die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, und dem Anteil der Daten, für die diese Ableitung nicht positiv ist, berechnet. Damit hat der Parameter die größte Tiefe, für den beide Anzahlen gleich groß sind. Dieser wird zunächst als Schätzer gewählt, da die Likelihood-Tiefe ein Maß dafür sein soll, wie gut ein Parameter zum Datensatz passt. Asymptotisch hat der Parameter die größte Tiefe, für den die Wahrscheinlichkeit, dass für eine Beobachtung die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, gleich einhalb ist. Wenn dies für den zu Grunde liegenden Parameter nicht der Fall ist, ist der Schätzer basierend auf der Likelihood-Tiefe verfälscht. In dieser Arbeit wird gezeigt, wie diese Verfälschung korrigiert werden kann sodass die korrigierten Schätzer konsistente Schätzungen bilden. Zur Entwicklung von Tests für den Parameter, wird die von Müller (2005) entwickelte Simplex Likelihood-Tiefe, die eine U-Statistik ist, benutzt. Es zeigt sich, dass für dieselben Verteilungen, für die die Likelihood-Tiefe verfälschte Schätzer liefert, die Simplex Likelihood-Tiefe eine unverfälschte U-Statistik ist. Damit ist insbesondere die asymptotische Verteilung bekannt und es lassen sich Tests für verschiedene Hypothesen formulieren. Die Verschiebung in der Tiefe führt aber für einige Hypothesen zu einer schlechten Güte des zugehörigen Tests. Es werden daher korrigierte Tests eingeführt und Voraussetzungen angegeben, unter denen diese dann konsistent sind. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil der Arbeit wird die allgemeine Theorie über die Schätzfunktionen und Tests dargestellt und zudem deren jeweiligen Konsistenz gezeigt. Im zweiten Teil wird die Theorie auf drei verschiedene Verteilungen angewandt: Die Weibull-Verteilung, die Gauß- und die Gumbel-Copula. Damit wird gezeigt, wie die Verfahren des ersten Teils genutzt werden können, um (robuste) konsistente Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter der Verteilung herzuleiten. Insgesamt zeigt sich, dass für die drei Verteilungen mithilfe der Likelihood-Tiefen robuste Schätzfunktionen und Tests gefunden werden können. In unverfälschten Daten sind vorhandene Standardmethoden zum Teil überlegen, jedoch zeigt sich der Vorteil der neuen Methoden in kontaminierten Daten und Daten mit Ausreißern.

Valor predictivo de los tests Boehm y Peabody en la detecci??n de futuras dificultades escolares en orden a una intervenci??n preventiva y compensadora

Se analiza la medida en que las pruebas psicopedag??gicas Boehm y Peabody predicen las dificultades en el ??mbito lectoescritor que pueden presentarse en el alumnado de Primaria. Para ello se ha desarrollado un estudio de tipo correlacional en el que se han reunido datos de alumnos desde su ingreso en la Educaci??n Infantil hasta su escolarizaci??n en el segundo ciclo de Educaci??n Primaria. La informaci??n obtenida tiene por tanto, un car??cter diacr??nico. El informe est?? constituido por una breve alusi??n te??rica al problema que se trata para situarse en el lugar preciso donde se centra la investigaci??n, descripci??n de la metodolog??a de investigaci??n, resultados y conclusiones, la discusi??n de los resultados y las propuestas. Se recogen tambi??n la bibliograf??a usada y el estudio de an??lisis de los casos utilizados. Las conclusiones afirman que existe una correlaci??n estad??sticamente significativa entre los tests Peabody y Boehm. Las correlaciones m??s altas son las que implican, de una parte a los tests Peabody y Boehm y, de otra, a las notas escolares de segundo ciclo de Educaci??n Primaria en Matem??ticas y Lengua. Las notas escolares obtenidas por los alumnos del primer ciclo de Educaci??n Primaria en Lengua y Matem??ticas no tienen una correlaci??n estad??sticamente significativa con los tests Boehm y Peabody. En el primer ciclo de Educaci??n Primaria, s??lo el test Peaboy permite predecir las notas escolares en Lengua y Matem??ticas. Estimar y determinar el rendimiento de los alumnos en las citadas asignaturas tomando como punto de partida s??lo los datos aportados por el test Peabody resulta desaconsejable dado el escaso poder predictivo de dicho test. El test Boehm, por su parte, tiene a??n menos poder predictivo sobre las notas escolares y, en el presente estudio, aparece como un mal predictor.

Explorations of the Practical Issues of Learning Prediction-Control Tasks Using Temporal Difference Learning Methods

There has been recent interest in using temporal difference learning methods to attack problems of prediction and control. While these algorithms have been brought to bear on many problems, they remain poorly understood. It is the purpose of this thesis to further explore these algorithms, presenting a framework for viewing them and raising a number of practical issues and exploring those issues in the context of several case studies. This includes applying the TD(lambda) algorithm to: 1) learning to play tic-tac-toe from the outcome of self-play and of play against a perfectly-playing opponent and 2) learning simple one-dimensional segmentation tasks.

Grain size analyses in tin-lead glazes based on 2d-sections

A problem in the archaeometric classification of Catalan Renaissance pottery is the fact, that the clay supply of the pottery workshops was centrally organized by guilds, and therefore usually all potters of a single production centre produced chemically similar ceramics. However, analysing the glazes of the ware usually a large number of inclusions in the glaze is found, which reveal technological differences between single workshops. These inclusions have been used by the potters in order to opacify the transparent glaze and to achieve a white background for further decoration. In order to distinguish different technological preparation procedures of the single workshops, at a Scanning Electron Microscope the chemical composition of those inclusions as well as their size in the two-dimensional cut is recorded. Based on the latter, a frequency distribution of the apparent diameters is estimated for each sample and type of inclusion. Following an approach by S.D. Wicksell (1925), it is principally possible to transform the distributions of the apparent 2D-diameters back to those of the true three-dimensional bodies. The applicability of this approach and its practical problems are examined using different ways of kernel density estimation and Monte-Carlo tests of the methodology. Finally, it is tested in how far the obtained frequency distributions can be used to classify the pottery

Quantifying rock fabrics: a test of autocorrelation of the spatial distribution of cristals

A novel test of spatial independence of the distribution of crystals or phases in rocks based on compositional statistics is introduced. It improves and generalizes the common joins-count statistics known from map analysis in geographic information systems. Assigning phases independently to objects in RD is modelled by a single-trial multinomial random function Z(x), where the probabilities of phases add to one and are explicitly modelled as compositions in the K-part simplex SK. Thus, apparent inconsistencies of the tests based on the conventional joins{count statistics and their possibly contradictory interpretations are avoided. In practical applications we assume that the probabilities of phases do not depend on the location but are identical everywhere in the domain of de nition. Thus, the model involves the sum of r independent identical multinomial distributed 1-trial random variables which is an r-trial multinomial distributed random variable. The probabilities of the distribution of the r counts can be considered as a composition in the Q-part simplex SQ. They span the so called Hardy-Weinberg manifold H that is proved to be a K-1-affine subspace of SQ. This is a generalisation of the well-known Hardy-Weinberg law of genetics. If the assignment of phases accounts for some kind of spatial dependence, then the r-trial probabilities do not remain on H. This suggests the use of the Aitchison distance between observed probabilities to H to test dependence. Moreover, when there is a spatial uctuation of the multinomial probabilities, the observed r-trial probabilities move on H. This shift can be used as to check for these uctuations. A practical procedure and an algorithm to perform the test have been developed. Some cases applied to simulated and real data are presented. Key words: Spatial distribution of crystals in rocks, spatial distribution of phases, joins-count statistics, multinomial distribution, Hardy-Weinberg law, Hardy-Weinberg manifold, Aitchison geometry