A maximal operator, Carleson's embedding, and tent spaces for vector-valued functions

This thesis is concerned with the area of vector-valued Harmonic Analysis, where the central theme is to determine how results from classical Harmonic Analysis generalize to functions with values in an infinite dimensional Banach space. The work consists of three articles and an introduction. The first article studies the Rademacher maximal function that was originally defined by T. Hytönen, A. McIntosh and P. Portal in 2008 in order to prove a vector-valued version of Carleson's embedding theorem. The boundedness of the corresponding maximal operator on Lebesgue-(Bochner) -spaces defines the RMF-property of the range space. It is shown that the RMF-property is equivalent to a weak type inequality, which does not depend for instance on the integrability exponent, hence providing more flexibility for the RMF-property. The second article, which is written in collaboration with T. Hytönen, studies a vector-valued Carleson's embedding theorem with respect to filtrations. An earlier proof of the dyadic version assumed that the range space satisfies a certain geometric type condition, which this article shows to be also necessary. The third article deals with a vector-valued generalizations of tent spaces, originally defined by R. R. Coifman, Y. Meyer and E. M. Stein in the 80's, and concerns especially the ones related to square functions. A natural assumption on the range space is then the UMD-property. The main result is an atomic decomposition for tent spaces with integrability exponent one. In order to suit the stochastic integrals appearing in the vector-valued formulation, the proof is based on a geometric lemma for cones and differs essentially from the classical proof. Vector-valued tent spaces have also found applications in functional calculi for bisectorial operators. In the introduction these three themes come together when studying paraproduct operators for vector-valued functions. The Rademacher maximal function and Carleson's embedding theorem were applied already by Hytönen, McIntosh and Portal in order to prove boundedness for the dyadic paraproduct operator on Lebesgue-Bochner -spaces assuming that the range space satisfies both UMD- and RMF-properties. Whether UMD implies RMF is thus an interesting question. Tent spaces, on the other hand, provide a method to study continuous time paraproduct operators, although the RMF-property is not yet understood in the framework of tent spaces.

Inverse problem for the wave equation : partial data and novel boundary sources

An inverse problem for the wave equation is a mathematical formulation of the problem to convert measurements of sound waves to information about the wave speed governing the propagation of the waves. This doctoral thesis extends the theory on the inverse problems for the wave equation in cases with partial measurement data and also considers detection of discontinuous interfaces in the wave speed. A possible application of the theory is obstetric sonography in which ultrasound measurements are transformed into an image of the fetus in its mother's uterus. The wave speed inside the body can not be directly observed but sound waves can be produced outside the body and their echoes from the body can be recorded. The present work contains five research articles. In the first and the fifth articles we show that it is possible to determine the wave speed uniquely by using far apart sound sources and receivers. This extends a previously known result which requires the sound waves to be produced and recorded in the same place. Our result is motivated by a possible application to reflection seismology which seeks to create an image of the Earth s crust from recording of echoes stimulated for example by explosions. For this purpose, the receivers can not typically lie near the powerful sound sources. In the second article we present a sound source that allows us to recover many essential features of the wave speed from the echo produced by the source. Moreover, these features are known to determine the wave speed under certain geometric assumptions. Previously known results permitted the same features to be recovered only by sequential measurement of echoes produced by multiple different sources. The reduced number of measurements could increase the number possible applications of acoustic probing. In the third and fourth articles we develop an acoustic probing method to locate discontinuous interfaces in the wave speed. These interfaces typically correspond to interfaces between different materials and their locations are of interest in many applications. There are many previous approaches to this problem but none of them exploits sound sources varying freely in time. Our use of more variable sources could allow more robust implementation of the probing.

Den finlandssvenska skolbokssamlingen

Skolbokssamlingen vid Tritonia består av ca 100 hm läroböcker som använts vid finlandssvenska skolor i Finland. Samlingen är indelad i den finlandssvenska skolbokssamlingen och den historiska skolbokssamlingen. Den finlandssvenska skolbokssamlingen består av läromedel främst för finlandssvensk grundläggande utbildning och gymnasium från 1960-talet till nutid. Samlingen är katalogiserad och tillgänglig för hemlån. Samlingen omfattar ca 4000 titlar och baseras på fortlöpande donation från Schildts & Söderströms förlag. Den består av teoriböcker, övningsböcker, lärarhandledningsböcker samt annat tillhörande material. Av varje titel finns 1-2 exemplar. Även Schildts förlags Ab:s läromedelsarkiv, böcker från Svenskfinlands läromedelscenter (av Skolstyrelsen godkända läromedel jämte utlåtanden), lättlästa läroböcker (LL) donerade av förlaget Lärum samt övrig anskaffning ingår. Katalogiseringen av samlingen har genomförts med projektmedel från Svenska kulturfonden. Den historiska skolbokssamlingen består av äldre läroböcker (från mitten av 1800-talet fram till år 1960) från bibliotek vid Finlands svenska folkskolor, Ekenäs seminarium och lärarseminariet i Nykarleby samt donationer av privatpersoner. Samlingen omfattar ca 50 hm och är ordnad enligt undervisningsämne med flest böcker inom modersmålet, matematik samt historia och samhällslära. Samlingen är till största del okatalogiserad.

Ungdomars fysiska aktivitet och dess betydelse för prestationen i skolan

This study where designed to investigate if there are any positive relationship between the extent of physical activity during adolescent's leisure time and the academic performance, and also if there are any negative relationship between the academic performance and the time spent in front of the television or computers. Another part of the study tried to find out if physical activity has a direct and immediate influence on the performance in school. 91 pupils (51 girls and 40 boys) in the 8:th year of the Swedish primary school, from three different schools participated in the study. All 91 pupils first responded to a questionnaire concerning there activities in leisure time. They where then tested in a mathematical test and the results where compared with the extent of physical activity and TV/computer time they had stated in the questionnaire. 53 of the pupils also participated in the part of the study where direct and immediate influences of physical activity where tested. They where tested in two different but similar mathematical tests. Before the first test all pupils had a walk for about 3 km. The second test where accomplished whiteout preceding walk.Pupils who spend one hour or less/week on physical activity had significant lower mean score on the mathematical test then the pupils who spend more than one hour/week on physical activities, (Mann-Whitney U-test: Z= -2,486, p= 0,0129). Boys who spent 10,5 hours or less/week in front of the TV/computer had significant higher mean score than the boys who spent more than 10,5 hours/week in front of the TV/computer. No significant differences in the results of the two different tests, one white and one whiteout preceding walk, were observed.

Diagnostisering av elever i geometri : En studie med utgångspunkt i van Hieles teori

Detta är en studie som har sin utgångspunkt i Pierre M. van Hieles teori om lärande i geometri, som presenterades 1986 i boken Structure and Insight. Van Hiele har i boken vidareutvecklat sin och Dina van Hiele-Geldofs ursprungliga lärandeteori från 1955. Vår studie har som syfte att se om van Hieles teori går att tillämpa i en individuell, skriftlig diagnos för att nivåbestämma elever i årskurs 1 på gymnasiet.

Attityder till betygsättning i ordning och uppförande : En studie bland lärare och elever i Ålands lyceum

Syftet med den här uppsatsen har varit att ta reda på hur lärare och elever i Ålands lyceum förhåller sig till ordnings- och uppförandekriterier i betygsättningen. Vi har sett på skillnader mellan kön och också mellan olika ämnen och vi har också jämfört vårt resultat med tidigare undersökningar som gjorts i Sverige. Vår undersökning har gjorts bland 104 elever i årskurs två på gymnasiet och åtta lärare i ämnena matematik, historia, svenska och idrott. Undersökningen bland eleverna gjordes genom enkäter och bland lärarna genom intervjuer.Resultatet visar att lärarna tycker att ordning och uppförande ska vägas in i ämnesbetyget, precis som det görs nu i Ålands lyceum. Det har visat sig att en majoritet av eleverna vill ha ett separat betyg eller omdöme i ordning och uppförande. Flickorna är klart positivare till ett separat betyg i ordning och uppförande. De tycker också att ordnings- och uppförandekriterier ska vägas in mera i betygen. Det som vi också kommit fram till är att lärarna följer läroplanen i stor utsträckning, vilket till stor del beror på att de fått göra den själva. Resultaten mellan vår undersökning och tidigare undersökningar gjorda i Sverige skiljer sig inte så mycket, trots att lärarna på Åland ska ta hänsyn till ordning och uppförande i betygsättningen, medan lärarna i Sverige inte ska det.

Kärleksfull matematikundervisning - vägen till framgång? : - En kvalitativ intervju- och literaturstudie...

Utgångspunkten i vår undersökning var att grundskolans matematikundervisning sedan länge är präglad av enskild räkning i läroboken och graden av modernisering är låg. Detta grundar vi dels på egen erfarenhet och dels på forskning vi läst tidigare. När elever får problem med matematiken i skolan läggs skulden på eleverna istället för på skolan och lärarens undervisning. Syftet med vårt arbete var att få en bild av vad skolan och den enskilde läraren kan göra för att förändra/förbättra förutsättningarna i matematik för grundskolans elever. Undersökningens frågeställningar var: Vilka faktorer kan ligga bakom elevers utveckling efter ett icke godkänt nationellt prov i matematik i skolår 5? Vad kan skolan och den enskilde läraren göra för att förändra/förbättra förutsättningarna i matematik för grundskolans elever?Vi valde att söka svar på våra frågor dels genom att göra en litteraturstudie och dels genom attintervjua fyra elever som inte blivit godkända på nationella ämnesprovet i matematik i skolår 5. Vi har också intervjuat deras lärare (fem stycken) i skolår 4-6 och skolår 7-9.Utifrån våra resultat kunde vi dra slutsatsen att matematikundervisning inte enbart handlar om bra didaktiska metoder utan snarare om kärlek till och engagemang för eleverna. Våra elever verkar trivas med den kunskapssyn som Lpo 941 vilar på där skolan ska se till varje unik individ och utforma undervisningen därefter. Grundskolans matematikundervisning präglas fortfarande av enskild räkning i läroboken, visade både våra intervjuer och vår litteraturstudie. Detta trots att en enorm mängd forskning talar emot detta ensidiga arbetssätt och istället förespråkar en varieradundervisning. Våra resultat visade också att det extra stöd elever får är undervisning i liten grupp där undervisningen till stor del sker på samma ensidiga sätt. För att lyckas med matematikenmenar elever att lärarens engagemang och tilltro till deras förmåga är den viktigaste faktorn.Andra faktorer som påverkar elevernas resultat är den egna motivationen och lusten att lära.Resultaten visar också att betygen har betydelse för elevernas motivation. Det finnas alltså mycket man kan göra för att förbättra situationen i skolan. De två främsta faktorerna som krävs ärengagerade lärare och en varierad undervisning.

Problemlösning i matematiken : Vad har 21 lärare för syn på problemlösning inom matematiken?

Syftet med studien var att undersöka hur ett antal grundskolelärare beskriver sin egen undervisning i matematik och hur de arbetar med problemlösning i matematik. Forskningsfrågan som jag formulerade för att nå mitt syfte var: Vad har lärarna för erfarenheter och inställning till matematik och vilket tillvägagångssätt använder de för att nå eleverna med problemlösning? För att få svar på min forskningsfråga valde jag en hermeneutisk metod då jag arbetade med enkäter och intervjuer. Datainsamlingsmetoden var dels 21 enkätsvar och dels 5 intervjuer med verksamma matematiklärare. I studien skildras hur mina informanter beskriver sin undervisning i matematik och hur de arbetar med problemlösning. Läromedlet styr ofta undervisningen men alla arbetar bredvid läromedlet på olika sätt, bland annat genom problemlösning. Kommunikation mellan lärare och elever samt mellan elever och elever är något som genomsyrar hela denna studie. Ett resultat av studien är att elever via matematiska problem lär sig för livet. I vardagen löser både elever och vuxna människor vardagliga problem och matematiska problem ger eleven metoder för att finna lösning på ett problem även om det inte har med matematik att göra. Många av informanterna hänvisade också till läroplanen och kursplanen där det faktiskt står att elever skall lösa problem för att fungera som individer i det samhälle vi lever i. Mina informanters syn på problemlösning stämmer väl överens med vad som står i gällande styrdokument. Enligt informanterna är det är väldigt flexibelt hur man kan undervisa i problemlösning även om tillvägagångssätten ofta liknar varandra. Allt från att arbeta enskilt till klassvis förekom och infallsvinklarna för att finna problemlösning var många. Läromedel, internetsidor och arbetsmaterial från många olika håll användes för att arbeta med problemlösning.

Att utveckla och utvecklas i förskolan : Kunskapande i praktisk handling med reflektionen som grund

Studien belyser ett aktionsforskningsinriktat utvecklingsarbete som iscensattes och genomfördes på tre avdelningar i en svensk förskola under september, oktober och november 2010. Matematik, lek samt samtalsklimatet var de områden som de tio medverkande pedagogerna valde att utveckla. Fallstudien har koppling till specialpedagogik med emfas på att skapa ett förebyggande arbete genom att kontinuerligt dokumentera, följa upp och utveckla förskolans verksamhet för att ge bästa möjliga förutsättningar för utveckling och lärande utifrån barns olika förutsättningar och behov. Det övergripande syftet har varit att i samverkan mellan forskare och pedagoger beskriva ett aktionsforskningsinriktat utvecklingsarbete i en förskolas verksamhet samt att analysera och tolka det beskrivna utvecklingsarbetet. Syftet har också varit att belysa de deltagande pedagogernas uppfattningar av vilka förändringar som ägde rum i verksamheten samt hur och varför förändringarna ägde rum. I utvecklingsarbetet har sociokulturell teoribildning och praktik växelverkat genom att systematiska observationer och dokumentationer har reflekterats i en serie om fyra handledningssamtal med respektive arbetslag. Triangulering har använts som metod där forskarens deltagande observationer, transkriptioner av samtalen samt intervjuer med pedagogerna har fått komplettera varandra. Studien har haft en fenomenografisk ansats vilket här innebar att söka efter variationen av pedagogernas uppfattningar. Studien vilar på socialkonstruktionistisk kunskapssyn och sociokulturell lärandeteoris idé om att lärande kan ske genom interaktion med betydelsefulla andra och att vi utifrån behov och den kontext vi ingår i utvecklar våra verktyg genom aktivitet och handlingar. En fenomenografisk analysmetod har använts där pedagogernas utsagor i respektive arbetslag inordnats i beskrivningskategorier som sedan analyserats i ett horisontalt system. Relationen mellan samtliga arbetslags beskrivningskategorier analyserades i ett hierarkiskt system. Resultatet tolkades och formulerades i en slutsats där utvecklingsarbetet beskrivs som en hierarkisk process i tre steg: Organisering – reflektion – praktisk handling. Att organisera för tid och upplägg av handledningssamtal och dokumentationsverktyg uppfattades av pedagogerna som en grundläggande förutsättning för utvecklingsarbetet. De reflektioner som blev möjliga genom de kontinuerliga handledningssamtalen och utifrån dokumentationerna uppfattades av pedagogerna leda till ett kunskapande om den egna praktiken och om sig själva som pedagoger. De nya kunskaperna ledde i sin tur till de nya aktioner som prövades. Aktionerna beskrevs av pedagogerna dels som gripbara förändringar i miljön och dels som icke gripbara förändringar vilket innebar att pedagogerna ökade sin närvaro, delaktighet och medvetenhet i samspelet med barnen. Studien kan bidra till att andra förskolor inspireras i arbetet med att utveckla sin verksamhet och söka stöd för att se på den egna praktiken samt att låta mötet mellan teori och praktik stimulera till utveckling och förändring.