A maximal operator, Carleson's embedding, and tent spaces for vector-valued functions

This thesis is concerned with the area of vector-valued Harmonic Analysis, where the central theme is to determine how results from classical Harmonic Analysis generalize to functions with values in an infinite dimensional Banach space. The work consists of three articles and an introduction. The first article studies the Rademacher maximal function that was originally defined by T. Hytönen, A. McIntosh and P. Portal in 2008 in order to prove a vector-valued version of Carleson's embedding theorem. The boundedness of the corresponding maximal operator on Lebesgue-(Bochner) -spaces defines the RMF-property of the range space. It is shown that the RMF-property is equivalent to a weak type inequality, which does not depend for instance on the integrability exponent, hence providing more flexibility for the RMF-property. The second article, which is written in collaboration with T. Hytönen, studies a vector-valued Carleson's embedding theorem with respect to filtrations. An earlier proof of the dyadic version assumed that the range space satisfies a certain geometric type condition, which this article shows to be also necessary. The third article deals with a vector-valued generalizations of tent spaces, originally defined by R. R. Coifman, Y. Meyer and E. M. Stein in the 80's, and concerns especially the ones related to square functions. A natural assumption on the range space is then the UMD-property. The main result is an atomic decomposition for tent spaces with integrability exponent one. In order to suit the stochastic integrals appearing in the vector-valued formulation, the proof is based on a geometric lemma for cones and differs essentially from the classical proof. Vector-valued tent spaces have also found applications in functional calculi for bisectorial operators. In the introduction these three themes come together when studying paraproduct operators for vector-valued functions. The Rademacher maximal function and Carleson's embedding theorem were applied already by Hytönen, McIntosh and Portal in order to prove boundedness for the dyadic paraproduct operator on Lebesgue-Bochner -spaces assuming that the range space satisfies both UMD- and RMF-properties. Whether UMD implies RMF is thus an interesting question. Tent spaces, on the other hand, provide a method to study continuous time paraproduct operators, although the RMF-property is not yet understood in the framework of tent spaces.

Väitöskirja kuuluu matemaattisen analyysin tutkimusalaan ja käsittelee erityisesti vektoriarvoista harmonista analyysia. Tämän aihepiirin yleinen tutkimusongelma on tarkastella miten klassisen harmonisen analyysin tulokset voidaan yleistää funktioille, joiden maalijoukkona on jokin ääretönulotteinen vektoriavaruus ja millaisia ominaisuuksia tältä avaruudelta on tarpeen olettaa. Väitöskirja sisältää kolme artikkelia ja johdannon. Ensimmäisessä artikkelissa tutkitaan niin sanottua Rademacherin maksimaalifunktiota, jonka T. Hytönen, A. McIntosh ja P. Portal määrittelivät vuonna 2008 julkaistussa artikkelissaan tarkastellakseen Carlesonin upotuslauseena tunnetun tuloksen vektoriarvoista yleistystä. Rademacherin maksimaalifunktion käyttäytyminen määrittelee maalijoukkona olevalle vektoriavaruudelle niin sanotun RMF-ominaisuuden. Ensimmäisessä artikkelissani esitän tämän ominaisuuden yhtäpitävässä muodossa, joka on riippumaton useista alkuperäisen muotoilun parametreistä, lisäten näin RMF-ominaisuuden joustavuutta ja soveltuvuutta eri tilanteisiin. Toisessa artikkelissa, jonka laadin yhdessä T. Hytösen kanssa, palataan Carlesonin upotuslauseen vektoriarvoiseen versioon. Tuloksen aiemmassa todistuksessa oletettiin maalijoukkona olevalta vektoriavaruudelta eräs geometrinen ominaisuus, joka tässä artikkelissa osoitetaan olevan itseasiassa välttämätön. Kolmannessa artikkelissa tarkastellaan R. R. Coifmanin, Y. Meyerin ja E. M. Steinin 80-luvulla määrittelemien teltta-avaruuksien vektoriarvoisia yleistyksiä. Nämä avaruudet toimivat eräänlaisena katalogina harmonisen analyysin keskeisimmille työkaluille. Tässä artikkelissa esiintyvien vektoriarvoisten funktioiden teltta-avaruuksien tarkastelussa on luonnollista olettaa maalijoukkona olevalta vektoriavaruudelta UMD-ominaisuus. Artikkelin päätulos koskee eräänlaista funktioiden atomihajotelmaa, jonka todistamiseen vektoriarvoisessa tapauksessa käytettiin alkuperäisestä menetelmästä poikkeavaa geometristä aputulosta. Vektoriarvoisten funktioiden teltta-avaruuksia on myös onnistuttu hyödyntämään funktionaalilaskentana tunnetun sovellustenkin kannalta oleellisen menetelmän käytössä. Väitöskirjani johdannossa nämä kolme teemaa yhdistyvät tarkasteltaessa niin sanottujen paratulo-operaattorien toimintaa vektoriarvoisilla funktioilla. Rademacherin maksimaalifunktion ja Carlesonin upotuslauseen todettiin jo Hytösen, McIntoshin ja Portalin artikkelissa soveltuvan dyadisen paratulo-operaattorin tutkimiseen olettaen että maalijoukkona olevalla vektoriavaruudella on sekä UMD- että RMF-ominaisuus. Onkin mielenkiintoista kysyä, mikäli yleisemmin käytetystä UMD-ominaisuudesta seuraa tämä uudempi RMF-ominaisuus. Teltta-avaruudet antavat puolestaan keinon käsitellä jatkuva-aikaista versiota paratulo-operaattorista, joskaan RMF-ominaisuuden käyttäytymistä teltta-avaruuksien viitekehyksessä ei vielä tunneta.