Costruzione del moto browniano

Il moto browniano è un argomento estremamente importante nella teoria della probabilità ed è alla base di molti modelli matematici che studiano fenomeni aleatori, in ambiti come la biologia, l'economia e la fisica. In questa tesi si affronta il problema dell'esistenza del moto browniano con un approccio differente rispetto a quello più tradizionale che utilizza il Teorema di estensione di Kolmogorov e il Teorema di continuità di Kolmogorov-Chentsov. Verranno presentate due costruzioni diverse. Con la prima, detta di Lévy-Ciesielski, si otterrà il moto browniano come limite di una successione di processi stocastici continui definiti ricorsivamente. Con la seconda, il moto browniano verrà costruito tramite la convergenza in legge di passeggiate aleatorie interpolate e riscalate, mediante il cosiddetto principio di invarianza di Donsker. Grazie a quest'ultima costruzione si potrà in particolare definire la misura di Wiener.

L'equazione delle onde

La seguente tesi vuole esplicitare la soluzione dell'equazione delle onde, dimostrandone l'esistenza in ogni dimensione. Dopo aver introdotto dei concetti preliminari, lo studio comincerà dall'equazione delle onde nel caso unidimensionale omogeneo. Verrà trovata la soluzione del relativo problema di Cauchy, descritta dalla formula di d'Alembert. A partire da questo risultato, si potrà ricavare la soluzione del caso tridimensionale attraverso le medie sferiche, definita dalla formula di Kirchhoff. Il caso in due dimensioni verrà trattato come un problema immerso all'interno di quello in tre dimensioni, in modo da sfruttare le conclusioni già note. Si otterrà così la relativa formula di Poisson. Per ricavare la soluzione in dimensione n, si dovrà fare distinzione tra dimensione pari e dispari, e seguendo una procedura analoga a quelle per le dimensioni tre e due, si troverà la formula generale. In seguito verrà analizzata l'equazione delle onde nel caso non omogeneo, risolta grazie al principio di Duhamel. Nel capitolo finale, con il metodo dell'energia verrà dimostrata l'unicità della soluzione e verrà visto il teorema che dimostra come la soluzione abbia finita velocità di propagazione.

Energia gravitazionale in astrofisica

In questa trattazione, sarà data una definizione di energia potenziale partendo dal modello della gravità Newtoniana, e verranno illustrati - molto brevemente, e senza entrare troppo nei dettagli - alcuni fenomeni astrofisici nei quali l’interazione gravitazionale tra corpi (e dunque il concetto di energia gravitazionale) gioca un ruolo fondamentale. In particolare, verrà introdotto il concetto di buco nero, per poi accennare alla fisica dell’accrescimento caratteristica dei nuclei galattici attivi. In seguito, verrà esposto il teorema del Viriale in forma scalare, se ne accennerà il ruolo nella catastrofe gravotermica riguardante gli ammassi globulari, e quello nella nascita di nuove stelle tramite l’instabilità di Jeans. Infine, verrà trattata la curva di rotazione delle galassie a spirale, e si parlerà del ragionamento che ha portato all’intuizione della materia oscura, di cui l’Universo è pervaso.