Análise da interação solo-estrutura em fundações de concreto armado pelo método dos elementos finitos

A análise da iteração solo-estrutura em fundações é um importante campo de pesquisa que ainda tem um grande progresso a ser feito. No presente trabalho foi desenvolvido um programa computacional para a análise da interação solo-estrutura de fundações de concreto armado. Este tema abrange duas áreas da engenharia civil: estruturas e geotecnia. O método dos elementos finitos foi usado no trabalho na seqüência para resolver o problema considerando estado plano de defonnação e comportamento elastoplásti.co dos materiais estudados (solo, concreto e aço). A linguagem de programação MATLAB foi usada em toda esta pesquisa como alternativa ao FORTRAN. O MATLAB foi escolhido uma vez que é uma linguagem de programação que permite facilmente construir uma interfàce de pré e pósprocessamento amigável. Os passos para a solução completa do problema foram os seguintes: Primeiramente um programa foi desenvolvido considerando o comportamento elastoplástico com critérios de plastificação e ruptura específicos para o concreto e solo. Soluções analíticas fechadas foram usadas para checar a precisão do programa. O segundo passo foi a introdução do reforço de aço no concreto por meio de um modelo para armaduras. Logo após, um modelo de fissuras para o concreto 1racionado foi in1roduzido no programa. Na seqüência o programa de pré e pós-processamento foi desenvolvido para gerar a malha de elementos finitos (pré-processamento), distribuição tensões e deformações, mapa de fissuras, etc (pósprocessamento). Finalmente, os parâme1ros constitutivos do solo, concreto e aço foram calibrados e várias situações reais de interação do solo-concreto de fundações de concreto armado foram simuladas. Nesta dissertação são encontrados resultados para as pressões de contato sapata-solo. Diferentes diagramas de tensões de interfàce foram obtidos em função rigidez relativa do elemento estrutural de concreto armado-solo. Na análise mnnérica, rigidez relativa desempenhou uma relevante função no comportamento mecânico do elemento estrutural de concreto armado (sapata) e da base de assentamento (solo), uma vez ruptura em ambos os casos esteve diretamente relacionada a esta grandeza. São encon1rados, em função da rigidez relativa, resultados indicativos dos modos de falha da fundação, excessiva plastificação do solo em fundações com rigidez relativa alta, e a plastificação armaduras, esmagamento do concreto, formação de fissuras, bielas e confinamento concreto para fundações de rigidez relativa baixa. Na análise numérica, obteve-se resultados importantes com relação ao projeto de fundações. Estes resultados foram cOnITontadoscom normas, destacando-se as discordâncias com relação às recomendações da nonna brasileira Projeto e Execução de Fundações" NBR-6122 (1996) para os diagramas de tensões interface sapata-solo usados no dimensionamento de fundações de concreto armado.

Determinação de parâmetros de criticalidade, fluxo e potência em placas planas pelo método LTSn

O objetivo deste trabalho consiste em aplicar o método LTSn em cálculos de parâmetros críticos como Keff, espessura e concentração atômica e obtenção do fiuxo escalar, da potência específica e do enriquecimento do combustível em placa plana homogenea e heterogênea, considerando modelo multigrupo e em diversas ordens de quadraturas. O método LTSn consiste na aplicação da transformada de Laplace em um conjunto de equações~de ordenadas discretas gerado pela aproximação SN, resultando em um sistema de equações algébricas simbólicas dependentes do parâmetro complexo s e reconstrução dos fluxos angulares pela técnica de expansão de Heaviside. A aplicação do método LTSn reduz a soluçào de um problema de autovalor, a solução de uma equação transcedental, possibilitando a obtenção de parâmetros críticos. Simulações numéricas são apresentadas.

Proposta de uma sistemática de avaliação de investimentos utilizando o método ABC (activity-based costing)

As técnicas tradicionais de avaliação de rentabilidade apresentam características que resultam eficazes no que tange aos aspectos econômicos da análise de investimentos. No entanto, a validade das informações fornecidas por estes métodos depende dos dados incluídos na avaliação. Neste sentido, em função da complexidade e do inter-relacionamento existente nos processos produtivos de empresas, as alterações proporcionadas por um investimento podem ter impacto sobre áreas que não estão diretamente envolvidas com o projeto a ser implementado. Este fato dificulta a identificação e conseqüente inclusão da totalidade dos fatores que causam impacto na análise do projeto. Além disso, impactos relacionados a atividades indiretas não possuem uma metodologia que permita sua quantificação. Como forma de abordar o problema, este trabalho apresenta uma sistemática de avaliação de investimentos que, através de uma seqüência estruturada de passos e com a utilização das informações geradas por um sistema de custeio do tipo ABC (Activity-Based Costing), possibilita incluir na análise impactos indiretos gerados pelo projeto. A aplicação desta sistemática em um projeto de substituição de equipamento numa empresa do ramo industrial mostra que as informações geradas complementam aquelas obtidas quando da aplicação das técnicas tradicionais. Desta forma, foi possível avaliar o impacto econômico provocado por possíveis alterações nos setores não diretamente ligados ao projeto.

Análise de estruturas de concreto armado sujeitas à corrosão de armadura por cloretos através do método dos elementos finitos

A corrosão da annadura é um dos principais problemas para um grande número de es1ruturas de concreto annado por causa da redução substancial da área de aço, da perda de aderência, da fonnação de fissuras e lascamento do concreto. O modelo tridimensional proposto por este trabalho é baseado no processo de corrosão iniciado por ataque de cloretos e propagado a partir de micropilhas de corrosão, utilizando o método dos elementos finitos. A influência da temperatura, da umidade relativa do concreto, da ligação dos cloretos com compostos do concreto, da fonnação de fissuras provenientes do carregamento e da resistência ôhmica do concreto são levados em consideração. O modelo é dividido em 4 módulos que interagem entre si, sendo eles: análise estrutural, transferência de calor, difusão de cloretos e corrosão eletroquímica. O modelo computacional para a análise estrutural utiliza dois procedimentos. No primeiro busca-se a resposta da estrutura para um carregamento instantâneo, considerando-se o material com comportamento elasto-viscoplástico, associado com modelos de annadura incorporada e fissuras distribuídas.No segundo, detennina-se a resposta da estrutura ao longo do tempo com a teoria da solidificação proposta por Bazant e Prasannan (1989), utilizando as cadeias Kelvin, apresentando ótimos resultados com uma grande economia computacional. O processo de transferência de calor é baseado na fonnulação tridimensional da equação de Helmholtz, com condições de contorno de fluxos provenientes da radiação solar, convecção e radiação, apresentando bons resultados em relação a fonnulações analíticas. Para análise de vigas com a variação da temperatura média diária, constatou-se que as mesmas se encontram em equilíbrio ténnico com o ambiente A análise de difusão de cloretos implementada apresentou um comportamento idêntico ao da segunda lei de Fick para casos unidimensionais. Para análises de vigas carregadas se constatou que as fissuras provenientes de cargas de serviço não influenciam o processo de difusão e que o coeficiente de difusão referencial é o principal parâmetro na análise. O modelo de corrosão eletroquímica é baseado na fonnulação proposta por Liu (1996), obtendo-se como resultado a taxa de corrosão em função do tempo.

Método de análise conjunta com estimulação em duas etapas

Normalmente as pesquisas de questionam quais são os atributos mais importantes de um produto ou serviço. No entanto, os consumidores tendem a considerar todos os atributos importantes, atribuindo avaliações de preferência altas para todos os atributos apresentados. Estas pesquisas não avaliam, da maneira como o consumidor realiza na prática, a priorização dos diferentes atributos. Em pesquisas de Análise Conjunta, os respondentes estabelecem relações de compromisso entre atributos ao escolherem um produto ou serviço, real ou hipotético, composto normalmente por vários atributos. O planejamento de uma pesquisa de Análise Conjunta deve utilizar complementarmente os conceitos de Pesquisa de Marketing, Projeto de Experimentos e Análise de Regressão de modo a tomar mais amigável a tarefa do respondente. Esta dissertação apresenta uma revisão da literatura de Pesquisa de Marketing e de Análise Conjunta e propõe um método de planejamento de pesquisas de Análise Conjunta com Estimulação em Duas Etapas. A es1ruturado método foi baseada em cinco macro-etapas de uma Pesquisa de Marketing que foram subdivididas em etapas específicas de forma a acomodar etapas de um planejamento experimental. A Análise Conjunta com Estimulação em Duas Etapas busca incorporar a perspectiva do respondente ao propor uma estimulação em duas etapas para a coleta de dados. A estimulação proposta é flexível o suficiente para acomodar e propiciar o uso dos diferentes modelos de decisão adotados pelos respondentes. Este procedimento aproxima a tarefa dos respondentes à situação real de compra O método é ilustrado através de um estudo de caso sobre o mestrado profissionalizante oferecido pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. O uso do método permitiu determinar a influência dos atributos importantes, suas importâncias relativas, bem como a existência de interações entre eles. Os atributos influenciam significativamente a preferência dos alunos são o Título Obtido, o Enfoque do Curso, a Entidade, a Disciplina/Ênfase e o Horário. Esta aplicação da Análise Conjunta com Estimulação em Duas Etapas permitiu obter um modelo de preferência, que foi validado por uma amostra de controle, o que consolida o método proposto.

Um método para detectar falhas incipientes em máquinas rotativas baseado em análise de vibração e lógica Fuzzy

Este trabalho apresenta um método para detectar falhas no funcionamento de máquinas rotativas baseado em alterações no padrão de vibração do sistema e no diagnóstico da condição de operação, por Lógica Fuzzy. As modificações ocorridas são analisadas e servem como parâmetros para predizer falhas incipientes bem como a evolução destas na condição de operação, possibilitando tarefas de manutenção preditiva. Utiliza-se uma estrutura mecânica denominada de Sistema Rotativo (Figura 1), apropriada para as simulações das falhas. Faz-se a aquisição de dados de vibração da máquina usando-se um acelerômetro em chip biaxial de baixa potência. As saídas são lidas diretamente por um contador microprocessador não requerendo um conversor A/D. Um sistema de desenvolvimento para processamento digital de sinais, baseado no microprocessador TMS320C25, o Psi25, é empregado na aquisição dos sinais de vibração (*.dat), do Sistema Rotativo. Os arquivos *.dat são processados através da ferramenta matemática computacional Matlab 5 e do programa SPTOOL. Estabelece-se o padrão de vibração, denominado assinatura espectral do Sistema Rotativo (Figura 2) Os dados são analisados pelo sistema especialista Fuzzy, devidamente calibrado para o processo em questão. São considerados, como parâmetros para a diferenciação e tomada de decisão no diagnóstico do estado de funcionamento pelo sistema especialista, a freqüência de rotação do eixo-volante e as amplitudes de vibração inerentes a cada situação de avaria. As falhas inseridas neste trabalho são desbalanceamentos no eixovolante (Figura 1), através da inserção de elementos desbalanceadores. A relação de massa entre o volante e o menor elemento desbalanceador é de 1:10000. Tomando-se como alusão o conhecimento de especialistas no que se refere a situações normais de funcionamento e conseqüências danosas, utilizam-se elementos de diferentes massas para inserir falhas e diagnosticar o estado de funcionamento pelo sistema fuzzy, que apresenta o diagnóstico de formas qualitativa: normal; falha incipiente; manutenção e perigo e quantitativa, sendo desta maneira possível a detecção e o acompanhamento da evolução da falha.

Comparativo e análise do sistema de custeio por absorção e o ABC : estudo de caso propondo método de integração em empresa do ramo metalúrgico

A presente dissertação apresenta um estudo de caso buscando o conhecimento teórico sobre o sistema de custeio por absorção e o sistema de custeio abc, identificando-se as principais diferenças entre eles, bem como a possível integração entre ambos, através da proposição de um método, utilizando-se para testá-lo os dados reais do mês de abril de 2001, da empresa Rikes, indústria do ramo metalúrgico. Nesta pesquisa verificou-se como a empresa calcula os custos dos produtos pelo sistema de custeio por absorção, estruturaram-se os custos pelo sistema de custeio abc, através da definição das atividades, possibilitando comparar-se os custos dos produtos pelos dois sistemas de custeio, como também demonstrar as vantagens na apresentação dos custos indiretos trazidas pela implementação do método abc.

Facilitadores para a estruturação de um método de gestão empresarial com uso intensivo de tecnologias da informação : estudo de caso de uma empresa do segmento da construção civil no estado do Paraná

A permanente busca pelo aumento da competitividade, impulsionada pela concorrência acirrada devida à globalização dos mercados, leva as empresas a adotarem estratégias diferenciadoras para assegurarem o seu desenvolvimento. Uma das fontes mais profícuas de estratégias diferenciadoras provém de usos inovadores de tecnologias, com ênfase em Tecnologias da Informação (TI’s). O domínio e adoção destas tecnologias podem se configurar como competência essencial e mantenedora da competitividade da empresa, pela geração de diferenciais estratégicos de gestão. Há, então, a necessidade de um maior conhecimento e compreensão de uma nova dinâmica empresarial com o uso intensivo de TI’s, com os correspondentes impactos na gestão das organizações, decorrentes desta busca permanente da flexibilização, agilização e de redução de custos como diferenciais competitivos. Esta pesquisa identifica os facilitadores na implantação de um método de gestão empresarial baseado no uso intensivo de nova TI’s. É um estudo de caso de uma empresa que atua no segmento de construção civil, no estado do Paraná, que o implantou. A pesquisa é do tipo qualitativa, utilizando-se para a coleta de dados da técnica de entrevista em profundidade aplicada a todos os membros da empresa. As conclusões desta pesquisa indicam a existência de características, fatores e elementos, atuando como facilitadores estratégicos para a implementação da gestão baseada em TI's, e para a empresa poder usufruir de agilidade e segurança nas interações e comunicações. Por sua vez a independência e flexibilidade de locais físicos e de horários, para a operacionalização deste novo método de gestão, geram a necessidade de desenvolvimento de um novo perfil do trabalhador, com a possibilidade do profissional trabalhar de modo mais auto-suficiente e a qualquer tempo e em qualquer lugar, o que supõe facilitadores individuais, inerentes aos indivíduos. A implantação de métodos de gestão com o uso intensivo de TI’s, conduz a significativas alterações de rotinas, acarretando em vantagens e desvantagens para a empresa, que também foram explicitadas e descritas nesta pesquisa.

Um algoritmo numérico de integração de tempo para estruturas dinâmicas com dissipações : o método generalizado-α

O presente trabalho tem por objetivo estudar e aplicar um método de integração numérica de tempo para estrutras dinâmicas com dissipação de energia. Nessa dissertação tal método é analisado e posteriormente implementado em MATLAB, afim de resolver algumas aplicações em sistemas dinâmicos dotados de massas, molas e amortecedores que são apresentados no primeiro capítulo. Usando o método implementado em MATLAB, também é apresentada uma aplicação para vibrações transversais em cordas axialmente.

Modelo da ligação entre concreto e armadura na análise de estruturas de concreto pelo método dos elementos finitos

Este trabalho apresenta um modelo computacional para análise tridimensional de peças de concreto armado, utilizando o método dos elementos finitos. São utilizados modelos constitutivos elasto-viscoplásticos para representar o comportamento dos materiais, quando submetidos a cargas de curta ou longa duração. Se a estrutura está submetida a cargas de curta duração, o modelo desenvolvido fornece, quando alcançado o estado estável, a solução do problema elastoplástico. Em contrapartida, se a estrutura está submetida a cargas de longa duração, o modelo pode representar o comportamento viscoelástico com envelhecimento do concreto. Foi utilizado um modelo de camadas superpostas para assegurar uma representação adequada do comportamento real do concreto ao longo do tempo. Deste modo, admite-se que o concreto é constituído por um número conveniente de camadas, que apresentam a mesma deformação. Para a fissuração do concreto, utilizou-se um modelo de fissuras distribuídas, que leva em consideração a contribuição do concreto entre fissuras O objetivo deste estudo é a modelagem da armadura e do reforço nas peças de concreto armado, através de um modelo de aderência entre o concreto e o material adjacente. A armadura é introduzida no modelo como uma linha de material mais rígido dentro do elemento de concreto. E, a consideração da degradação da aderência é realizada através de um modelo onde os efeitos da aderência imperfeita são incluídos pela introdução de graus de liberdade para os deslocamentos relativos entre os materiais. Os resultados obtidos com este programa computacional são comparados com valores experimentais disponíveis na literatura, visando validar o modelo matemático e a metodologia numérica.

Um método para obtenção de indicadores visando a tomada de decisão na etapa de concepção do processo construtivo : a percepção dos principais intervenientes

Esta tese tem o intuito de apresentar a pesquisa realizada como um dos quesitos para a obtenção do título de doutor em administração. Para isto, define-se os objetivos e a questão de pesquisa, demonstra-se uma fundamentação teórica sobre o assunto, descreve-se o método a ser utilizado para o seu desenvolvimento e apresenta-se os resultados obtidos e conclusões. A pesquisa proposta tem como objetivo selecionar indicadores para tomada de decisão, integrando a percepção dos principais intervenientes do processo, cujo contexto apresenta atrasos tecnológicos e de gestão. O contexto escolhido para a realização desta pesquisa foi a Indústria da Construção Civil, mais especificamente a etapa de concepção do processo construtivo de edificações habitacionais multifamiliares.Para a realização desta pesquisa, utilizou-se um conjunto de métodos encadeados: estudo de caso múltiplo, grupo focal e pesquisa survey. O estudo de caso múltiplo permitiu identificar situações e características peculiares ao contexto de aplicação no que diz respeito ao tema da pesquisa. A partir das discussões realizadas através do método grupo focal, obteve-se um conjunto de tópicos relevantes para os principais intervenientes (construtores, projetistas e usuários). Por fim, realizou-se uma survey com o intuito de confirmar e ordenar, em função do grau de relevância, estes tópicos por um grupo maior de intervenientes. Ainda nesta fase, identificou-se a relevância de um conjunto de indicadores, selecionados a partir das discussões do grupo focal. Como principais resultados desta tese podem ser destacados os tópicos prioritários para seleção de indicadores e um conjunto de indicadores relevantes, na percepção dos principais intervenientes do processo (construtores, projetistas e usuários). Outra contribuição significativa desta pesquisa foi a metodologia desenvolvida e relatada detalhadamente para a obtenção deste conjunto de indicadores. Desta forma, gerou-se um conhecimento em diferentes áreas: gestão da informação, metodológica e específica ao contexto de aplicação da pesquisa, neste caso, construção civil.

Método de intervenção no processo de programação de recursos de empresas construtoras de pequeno porte através do seu sistema de informação : proposta baseada em estudos de caso

O processo de programação de recursos é parte do planejamento e controle da produção e possui grande importância para o desempenho de empreendimentos de construção. Constitui-se numa atividade multifuncional, envolvendo a direção da empresa e seus departamentos de marketing, finanças, recursos humanos e suprimentos. Sua ineficácia tem sido identificada como responsável por muitos dos problemas relacionados à dilatação do prazo de execução do empreendimento, ao desperdício de recursos e à baixa produtividade da mão-de-obra. Considerando que o desempenho da programação de recursos está fortemente relacionado à quantidade e qualidade das informações que a suportam, o presente trabalho tem como objetivo a proposição de um método de intervenção direcionado ao sistema de informação deste processo. O método proposto divide-se em duas etapas: o diagnóstico inicial do sistema de informações e, posteriormente, o planejamento e implantação de ações de melhoria. O método foi aplicado em estudos de caso realizados em empresas de pequeno porte, nas quais foi implementada a programação formal de recursos, sendo constatada a mudança de atitude dos funcionários frente aos processos de planejamento da produção e programação de recursos.

Infecção por Giardia lamblia (Kunstler, 1882) em cães (Canis familiaris) determinada através do método de Faust e Cols. (1939) e da técnica de coloração da auramina, no município de Canoas, RS, Brasil.

Giardia lamblia é um protozoário que acomete mais comumente animais jovens e que convivem em grupos. Apesar da alta prevalência, nem todos animais apresentam a doença clínica. Mesmo assim, a giardíase tem importância epidemiológica por possuir um elevado potencial zoonótico. O presente estudo teve como objetivo determinar a freqüência de Giardia lamblia em cães no município de Canoas, RS, Brasil, através do Método de Faust e cols. (1939) e da Técnica de Coloração da Auramina. Os grupos experimentais foram divididos de acordo com a procedência e o sexo. Das 332 amostras analisadas com o Método de Faust e cols, a estimativa em ponto da freqüência obtida foi de 34,04%, podendo variar de 28,95 a 39,13%, dentro de um intervalo de confiança de 95%. Destas amostras, 40,96% foram positivas em animais de canil e 27,11% de rua. O Teste Exato de Fisher aplicado a esses dados revelou existir uma diferença significativa (p = 0,0107) entre as variáveis resultado e procedência. A variável sexo, neste método não apresentou diferença significativa em relação ao resultado (p = 0,8162) totalizando 33,11% de machos positivos e 34,08% de fêmeas infectadas com o parasita. Das 147 amostras realizadas com a Técnica de Coloração da Auramina, 23 foram positivas, totalizando 15,65%. A análise estatística através do Teste McNemar revelou existir diferença significativa entre as duas técnicas (p = 0,0004). O valor Kappa foi igual a 0,07, considerado como um grau de concordância fraco. Os resultados encontrados neste estudo nos permitem afirmar que o Método de Faust e cols. foi o mais adequado para o diagnóstico na infecção por Giardia lamblia, entre os métodos analisados.

Modelagem de situações de punção em lajes de concreto armado através do método dos elementos finitos

O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de um programa computacional, elaborado através do método dos elementos finitos, para análise tridimensional de situações de punção em lajes de concreto armado com e sem armadura de cisalhamento. São utilizados modelos constitutivos elasto-viscoplásticos para representar o comportamento do concreto. Para a simulação do concreto submetido a um carregamento de longa duração, empregou-se o modelo de camadas superpostas. Este modelo admite que o concreto é constituído por um número conveniente de camadas com a mesma deformação, porém características materiais diferentes. A tensão total é obtida pela soma das contribuições de cada camada. A armadura é introduzida no modelo como uma linha de material mais rígido no interior do elemento de concreto. Considera-se aderência perfeita entre o concreto e o aço. Assim, os deslocamentos ao longo das barras de aço são determinados a partir dos deslocamentos nodais dos elementos de concreto. Desta forma, a matriz de rigidez da armadura tem a mesma dimensão da matriz de rigidez do elemento de concreto, as quais são somadas para a obtenção da matriz de rigidez total Para representar o comportamento após à fissuração do concreto, é utilizado o modelo de fissuras distribuídas, onde apenas as propriedades dos materiais são modificadas e a malha de elementos finitos não necessita de atualização. Sugerem-se duas formulações para a consideração da contribuição do concreto entre fissuras e da redução na capacidade de transferência de corte devido ao aumento da abertura da fissura. Este último é incluído através de uma simplificação, que consiste em atribuir ao módulo de elasticidade transversal, correspondente ao plano fissurado, um valor reduzido. Para comprovar a validade do programa computacional desenvolvido, comparam-se os resultados numéricos com valores experimentais de ensaios realizados por Coelho (1999), Trautwein (2001) e Fusco (1988). Obtiveram-se boas aproximações para lajes com e sem armadura de cisalhamento. Desta forma, o programa computacional desenvolvido pode ser empregado para generalizar resultados experimentais em lajes cogumelo com variação na resistência do concreto, na bitola das barras de armadura, no espaçamento entre as barras e no número de camadas de armadura de cisalhamento.

Estudo e solução da equação de transporte de nêutrons bidimensionais pelo método LTSn para elevadas ordens de quadraturas angulares : LTSn2D - Diag e LTSn2D - DiagExp

O principal objetivo dessa tese consiste em determinar uma solução numéricada equação bidimensional do transporte de nêutrons para elevadas ordens de quadratura angular. Diagonalizando a matriz de transporte LTSN bidimensional , construímos dois algoritmos que se diferenciam pela forma de representar os termos de fuga transversal, que surgem nas equações LTSN integradas transversalmente. Esses termos no método LTSN2D − Diag são expressos como combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos respectivos autovalores. No método LTSN2D − DiagExp os termos de fuga transversal são representados por uma função exponencial com constante de decaimento heuristicamente identificada com parâmetros materiais característicos do meio. A análise epectral desenvolvida permite realizar a diagonalização. Um estudo sobre o condicionamento é feito e também associamos um número de condicionamento ao termo de fuga transversal. Definimos os erros no fluxo aproximado e na fórmula da quadratura, e estabelecemos uma relação entre eles. A convergência ocorre com condições de fronteira e quadratura angular adequadas. Apresentamos os resultados numéricos gerados pelos novos métodos LTSN2D − Diag e LTSN2D − DiagExp para elevadas ordens de quadratura angular para um problema ilustrativo e comparamos com resultados disponíveis na literatura.