Legami tra la misura di Lebesgue e la misura di Hausdorff n-dimensionale

Si vuole definire una misura sullo spazio R^n, cioè la misura di Hausdorff, che ci permetta di assegnare le nozioni di "lunghezza", "area", "volume" ad opportuni sottoinsiemi di R^n. La definizione della misura di Hausdorff sarà basata sulla richiesta che il ricoprimento segua la geometria locale dell'insieme da misurare. In termini matematici, questa richiesta si traduce nella scelta di ricoprimenti di diametro "piccolo". Si darà risalto al fatto che le due misure coincidano sui Boreliani di R^n e si estenderanno le relazioni tra le due misure su R^n ad un generico spazio di Banach. Nel primo capitolo, si danno delle nozioni basilari di teoria della misura, in particolare definizioni e proprietà che valgono per le misure di Hausdorff. Nel secondo capitolo, si definiscono le misure di Hausdorff, si dimostra che sono misure Borel-regolari, si vedono alcune proprietà di base legate a trasformazioni insiemistiche, si dà la definizione di dimensione di Hausdorff di un insieme e si mostrano esempi di insiemi "non regolari", cioè la cui dimensione non è un numero naturale. Nel terzo capitolo, si dimostra il Teorema di Ricoprimento di Vitali, fondato sul principio di massimalità di Hausdorff. Nel quarto capitolo, si dimostra che per ogni insieme Boreliano di R^n, la misura di Lebesgue e la misura di Hausdorff n-dimensionali coincidono. A tale scopo, si fa uso del Teorema del Ricoprimento di Vitali e della disuguaglianza isodiametrica, che verrà a sua volta dimostrata utilizzando la tecnica di simmetrizzazione di Steiner. Infine, nel quinto capitolo, si osserva che molte delle definizioni e proprietà viste per le misure di Hausdorff in R^n sono generalizzabili al contesto degli spazi metrici e si analizza il legame tra la misura di Hausdorff e la misura di Lebesgue nel caso di uno spazio di Banach n-dimensionale.

Formule di rappresentazione e disuguaglianze di Sobolev e Poincaré

La tesi si suddivide in tre capitoli. Nel primo capitolo viene presentata una prima dimostrazione della disuguaglianza di Sobolev. La prova del Capitolo 1 si basa in modo essenziale sul fatto che R^ n è prodotto cartesiano di R per se stesso n volte. Nel Capitolo 2 si introducono i cosiddetti potenziali di Riesz Iα, con 0 < α < n che sono una tra le più importanti classi di operatori di convoluzione. Vediamo come sia possibile legare la teoria di questi operatori di tipo integrale frazionario a formule di rappresentazione . Il teorema principale di questo capitolo è il teorema di Hardy-Littlewood-Sobolev: si forniscono stime in norma L^p per tali operatori. La prova di tale teorema che qui abbiamo fornito segue l’idea di dimostrazione di Hedberg ed è basata sull’uso della disuguaglianza di Holder e sulle stime per la funzione massimale di Hardy-Littlewood. Le stime per il nucleo di Riesz I_1 sono state utilizzate nel Capitolo 3 per dimostrare le disuguaglianze di Sobolev e Poincaré nel caso p ∈]1, n[. Il caso p = 1 viene trattato a parte in quanto, nel caso p = 1, il teorema di Hardy-Littlewood- Sobolev fornisce solo una stima di tipo debole per il nucleo di Riesz I_1. Questo tipo di approccio, mediante le formule di rappresentazione, ha il vantaggio che può essere adattato a contesti geometrici diversi da quello Euclideo e a misure diverse della misura di Lebesgue. Infine, sempre nel Capitolo 3 abbiamo dato un breve cenno del collegamento che si ha tra la disuguaglianza di Sobolev nel caso p=1 e il problema isoperimetrico in R^n.

A structural theorem for co-commutative Hopf algebras

Lo scopo di questa tesi è studiare alcune proprietà di base delle algebre di Hopf, strutture algebriche emerse intorno agli anni ’50 dalla topologica algebrica e dalla teoria dei gruppi algebrici, e mostrare un collegamento tra esse e le algebre di Lie. Il primo capitolo è un’introduzione basilare al concetto di prodotto tensoriale di spazi vettoriali, che verrà utilizzato nel secondo capitolo per definire le strutture di algebra, co-algebra e bi-algebra. Il terzo capitolo introduce le definizioni e alcune proprietà di base delle algebre di Hopf e di Lie, con particolare attenzione al legame tra le prime e l’algebra universale inviluppante di un’algebra di Lie. Questo legame sarà approfondito nel quarto capitolo, dedicato allo studio di una particolare classe di algebre di Hopf, quelle graduate e connesse, che terminerà con il teorema di Cartier-Quillen-Milnor-Moore, un teorema strutturale che fornisce condizioni sufficienti affinché un’algebra di Hopf sia isomorfa all’algebra universale inviluppante dei suoi elementi primitivi.

Processi di semi-Markov a tempo discreto

Studio della teoria dei processi di semi-Markov nella modellizzazione a tempo discreto. Introduzione delle catene di rinnovo di Markov, del nucleo di semi-Markov e delle catene di semi-Markov, risultati ad essi relativi. Analisi delle equazioni di rinnovo di Markov, caratterizzazione degli stati di una catena di semi-Markov, teorema di esistenza e unicità dell'equazione di rinnovo di Markov. Un esempio concreto.

Soluzioni Deboli di Equazioni Differenziali Stocastiche: il Problema della Martingala di Stroock e Varadhan

In questa tesi si definisce il problema della martingala, fondamentale in quanto la sua esistenza e unicità della soluzione coincidono con l'esistenza e unicità delle soluzioni deboli delle SDE. Nel Capitolo 1 vengono richiamate alcune nozioni di topologia negli spazi metrici, in particolare la nozione di tightness e il Teorema di Prokhorov. Nel Capitolo 2 vengono introdotte le equazioni differenziali stocastiche, con cenni a risultati di esistenza e unicità forte. Nel Capitolo 3 viene definito il problema della martingala, viene dimostrata la sua equivalenza con il problema delle soluzioni deboli; infine, vengono enunciati e dimostrati importanti risultati di esistenza e unicità.

Gruppi di Galois primitivi ed imprimitivi

L'obiettivo di questa tesi è la caratterizzazione dei gruppi di Galois di alcune classi di polinomi separabili e risolubili per radicali. Questa classificazione si baserà sulle proprietà di primitività e imprimitività di tali gruppi, proprietà che descrivono il carattere della loro azione permutativa sulle radici dei polinomi. Da tale analisi potremo inoltre dedurre importanti informazioni sui polinomi, i quali, a loro volta, saranno detti primitivi o imprimitivi. Dopo aver ricordato alcune definizioni e risultati fondamentali di Teoria di Galois e Teoria dei gruppi, studieremo alcuni gruppi di permutazioni, concentrandoci in particolare sul gruppo lineare affine e sul prodotto intrecciato di due gruppi di permutazioni: tali oggetti costituiscono, infatti, gli strumenti principali per la descrizione dei gruppi di Galois che affronteremo negli ultimi capitoli. Nel Capitolo 3, in particolare, ci concentreremo su polinomi imprimitivi di grado p², con p primo. Nel quarto, invece, dimostreremo un potente Teorema che fornisce una notevole caratterizzazione dei gruppi di Galois di tutti i polinomi primitivi e risolubili per radicali.

Principio del massimo per operatori lineari ellittici

All'interno della tesi viene analizzato il principio del massimo per l'operatore di Laplace e per operatori lineari ellittici differenziali. Attraverso l'utilizzo delle formule di media si dimostra il principio del massimo forte e debole per l'operatore di Laplace e si analizzano le sue applicazioni, quali la disuguaglianza di Harnack, il teorema di Liouville e il teorema fondamentale dell'algebra. Successivamente si vanno a dimostrare il principio del massimo debole e, tramite il lemma di Hopf, il principio del massimo forte, per operatori lineari ellittici differenziali. Infine si studia il caso dell'unicità delle soluzioni dei problemi di Dirichlet per operatori lineari ellittici differenziali, sfruttando il principio del massimo debole.

Formule di media per funzioni armoniche

Questa tesi tratta delle proprietà fondamentali delle funzioni armoniche. Nel primo Capitolo utilizziamo il teorema della divergenza per ottenere importanti identità integrali quali la formula di rappresentazione di Green e la formula dell'integrale di Poisson; tali identità ci permettono di mostrare nel secondo Capitolo che per le funzioni armoniche valgono le formule di media e, in particolare, queste rappresentano una proprietà caratterizzante per tali funzioni. Le formule di media rappresentano un ottimo punto di partenza per lo studio delle proprietà delle funzioni armoniche che osserviamo nel terzo Capitolo; da esse è possibile ottenere il principio del massimo e del minimo forte e la disuguaglianza di Harnack. Da queste due è possibile ottenere alcune importanti proprietà sulla convergenza di successioni di funzioni armoniche; in particolare osserviamo che una successione di funzioni armoniche convergente converge ad una funzione armonica.

Analisi del metodo SIAD per il PageRank

In questo lavoro di tesi si analizzerà un metodo per risolvere il problema del PageRank alternativo rispetto al tradizionale metodo delle potenze. Verso la fine degli anni '90, con l’avvento del World Wide Web, fu necessario sviluppare degli algoritmi di classificazione in grado di ordinare i siti web in base alla loro rilevanza. Davanti a questa sfida i due matematici A.N.Langville e C.D.Meyer svilupparono il metodo SIAD, "special iterative aggregation/disaggregation method". Lo scopo di questa tesi è in primo luogo di ricostruire il metodo SIAD e analizzarne le proprietà. Seguendo le analisi in un articolo di I.C.Ipsen e S.Kirkland, si ricostruirà nel dettaglio il metodo SIAD, così da esplicitare la convergenza asintotica del metodo in relazione al complemento stocastico scelto. In secondo luogo si analizzerà il metodo SIAD applicato ad una matrice di Google che rispetta ipotesi determinate, le matrici di Google sono solitamente utilizzate per rappresentare il problema del PageRank. Successivamente, si dimostrerà un importante teorema che prova come per ogni matrice di Google si possa individuare un complemento stocastico per cui il metodo SIAD converge più velocemente del metodo delle potenze. Infine, nell’ultimo capitolo si implementerà con il inguaggio di programmazione Matlab il metodo SIAD per una matrice generica e per una matrice di Google. In particolare, si sfrutterà la struttura della matrice di Google per ridurre sensibilmente il costo computazionale del metodo quando applicato applicato ad una tale matrice.

Funzioni a variazione limitata di una variabile

Nel primo capitolo sono presentate alcune generalità: le principali proprietà delle funzioni a variazione limitata di una variabile partendo dalla definizione classica introdotta da Jordan e sono ricordati alcuni risultati già studiati durante questi anni di studio. Nel secondo capitolo dimostriamo un importante risultato sulla differenziabilità quasi ovunque delle funzioni a variazione limitata. Questo risultato è ottenuto come conseguenza di un teorema di ricoprimento di Vitali, che abbiamo dimostreremato come risultato più generale in R^n. Abbiamo visto inoltre la definizione di funzione assolutamente continua e caratterizzato questa classe di funzioni, collegandole proprio alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale (la validità del teorema fondamentale per funzioni è in effetti una caratterizzazione di questa classe di funzioni). Nel terzo capitolo infine, dopo aver fornito la definizione moderna di funzione a variazione limitata (funzione BV), si sono confrontate le due definizioni provandone la loro equivalenza.

Costruzione del moto browniano

Il moto browniano è un argomento estremamente importante nella teoria della probabilità ed è alla base di molti modelli matematici che studiano fenomeni aleatori, in ambiti come la biologia, l'economia e la fisica. In questa tesi si affronta il problema dell'esistenza del moto browniano con un approccio differente rispetto a quello più tradizionale che utilizza il Teorema di estensione di Kolmogorov e il Teorema di continuità di Kolmogorov-Chentsov. Verranno presentate due costruzioni diverse. Con la prima, detta di Lévy-Ciesielski, si otterrà il moto browniano come limite di una successione di processi stocastici continui definiti ricorsivamente. Con la seconda, il moto browniano verrà costruito tramite la convergenza in legge di passeggiate aleatorie interpolate e riscalate, mediante il cosiddetto principio di invarianza di Donsker. Grazie a quest'ultima costruzione si potrà in particolare definire la misura di Wiener.

L'equazione delle onde

La seguente tesi vuole esplicitare la soluzione dell'equazione delle onde, dimostrandone l'esistenza in ogni dimensione. Dopo aver introdotto dei concetti preliminari, lo studio comincerà dall'equazione delle onde nel caso unidimensionale omogeneo. Verrà trovata la soluzione del relativo problema di Cauchy, descritta dalla formula di d'Alembert. A partire da questo risultato, si potrà ricavare la soluzione del caso tridimensionale attraverso le medie sferiche, definita dalla formula di Kirchhoff. Il caso in due dimensioni verrà trattato come un problema immerso all'interno di quello in tre dimensioni, in modo da sfruttare le conclusioni già note. Si otterrà così la relativa formula di Poisson. Per ricavare la soluzione in dimensione n, si dovrà fare distinzione tra dimensione pari e dispari, e seguendo una procedura analoga a quelle per le dimensioni tre e due, si troverà la formula generale. In seguito verrà analizzata l'equazione delle onde nel caso non omogeneo, risolta grazie al principio di Duhamel. Nel capitolo finale, con il metodo dell'energia verrà dimostrata l'unicità della soluzione e verrà visto il teorema che dimostra come la soluzione abbia finita velocità di propagazione.

Energia gravitazionale in astrofisica

In questa trattazione, sarà data una definizione di energia potenziale partendo dal modello della gravità Newtoniana, e verranno illustrati - molto brevemente, e senza entrare troppo nei dettagli - alcuni fenomeni astrofisici nei quali l’interazione gravitazionale tra corpi (e dunque il concetto di energia gravitazionale) gioca un ruolo fondamentale. In particolare, verrà introdotto il concetto di buco nero, per poi accennare alla fisica dell’accrescimento caratteristica dei nuclei galattici attivi. In seguito, verrà esposto il teorema del Viriale in forma scalare, se ne accennerà il ruolo nella catastrofe gravotermica riguardante gli ammassi globulari, e quello nella nascita di nuove stelle tramite l’instabilità di Jeans. Infine, verrà trattata la curva di rotazione delle galassie a spirale, e si parlerà del ragionamento che ha portato all’intuizione della materia oscura, di cui l’Universo è pervaso.