Matemática no quotidiano : do cartão VISA ao Número de Identificação Bancária

(...) Existem diferentes tipos de sistemas de identificação com check digit. A escolha do algoritmo a implementar deve satisfazer dois princípios: por um lado, é importante escolher um sistema eficaz que detete o maior número possível de erros; por outro lado, a sua utilização no terreno deve ser de alguma forma acessível, particularmente para quem tem de lidar diariamente com os números produzidos por esse algoritmo. Hoje em dia a utilização de meios eletrónicos revela-se muito eficaz, quer para gerar o algarismo de controlo de novos números, como para validar números que já se encontrem em circulação. Mesmo assim, há uma série de requisitos importantes a ter em conta quando se pretende implementar um novo sistema de identificação. Desde logo, a escolha do alfabeto, ou seja, dos símbolos a utilizar. Normalmente, opta-se por recorrer apenas aos dez algarismos vulgarmente utilizados, do 0 ao 9. É o caso do exemplo que se segue. O método desenvolvido pela IBM, também conhecido por algoritmo de Luhn, aplica-se à generalidade dos cartões de crédito: VISA e VISA Electron (em que o primeiro algarismo da esquerda é um 4), MarterCard (5), American Express (3) e Discover (6), entre outros. Considere-se o número de um cartão VISA: 4188 3600 4538 6426. Como é habitual, o algarismo de controlo é o primeiro algarismo da direita, ou seja, o algarismo das unidades (6). Para verificar se este número é válido, procede-se da seguinte forma (...). Há um algoritmo mais eficaz, desenvolvido por Verhoeff em 1969, que utiliza os mesmos símbolos (os algarismos do 0 a 9). Este sistema deteta 100% dos erros singulares, 100% das transposições de algarismos adjacentes e algumas das transposições intercaladas. Paradoxalmente, é um método pouco utilizado, talvez por necessitar de uma maior bagagem matemática.(...) Na imagem, ilustra-se um exemplo de aplicação deste algoritmo para determinar o algarismo de controlo do número 201034571? (o ponto de interrogação representa o algarismo de controlo, por enquanto, desconhecido). (...) Se nos predispusermos a alargar o alfabeto de símbolos ou a considerar mais de um algarismo de controlo, podemos obter algoritmos ainda mais eficazes na deteção de erros. É o caso dos algoritmos estabelecidos pela norma ISO/IEC 7064. Por exemplo, o algoritmo MOD 11-2 é utilizado para identificar as receitas médicas em Portugal e utiliza um símbolo adicional (o X, que representa o número 10). Já o algoritmo MOD 97-10 requer a utilização de dois algarismos de controlo e é empregue na emissão do Número de Identificação Bancária (NIB). (...)

O algoritmo de Damm

(...) Recentemente, em 2004, H. Michael Damm provou na sua tese de doutoramento a existência de quase-grupos totalmente anti-simétricos para ordens diferentes de 2 e 6. A tabela da imagem define um quase-grupo totalmente anti-simétrico de ordem 10, adaptado de um exemplo apresentado por Damm na sua tese. Esta tabela é o que se designa por quadrado latino: em cada linha e em cada coluna, cada um dos símbolos utilizados devem figurar uma e uma só vez. Os quadrados latinos surgiram pelas mãos de um grande matemático, talvez o maior matemático de todos os tempos: Leonhard Euler (1707-1783). Este tipo de tabelas não é totalmente estranho ao leitor. Se olhar com atenção, encontrará apenas duas diferenças em relação aos tradicionais desafios de Sudoku: não existem as chamadas "regiões" e utiliza-se o 0, para além dos algarismos 1-9. A descoberta de Damm impulsionou o desenvolvimento de um novo algoritmo com o seu nome, que tem a vantagem de apenas utilizar os algarismos tradicionais, do 0 ao 9, e de detetar 100% dos erros singulares e 100% das transposições de algarismos adjacentes. Em relação ao algoritmo de Verhoeff, tem uma implementação mais simples e deteta 100% dos erros fonéticos (por exemplo, quando se escreve 15 em vez de 50, devido à pronúncia semelhante destes números em inglês: "fifteen" e "fifty"). Na imagem, ilustra-se um exemplo de aplicação deste algoritmo para determinar o algarismo de controlo do número 201436571? (o ponto de interrogação representa o algarismo de controlo, por enquanto, desconhecido). (...)

O quadrado mágico de Benjamin Franklin

Benjamin Franklin (1706-1790) foi jornalista, cientista, inventor, homem de estado e diplomata. (...) Benjamin Franklin era um entusiasta de quadrados mágicos. Chegou mesmo a criar os seus próprios quadrados. O mais conhecido é o quadrado 8 por 8 apresentado na imagem. Numa carta publicada em 1769, Franklin refere: "Na minha juventude, divertia-me a construir quadrados mágicos, de modo a que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais principais fosse sempre a mesma; com o passar do tempo, conseguia criar quadrados mágicos, de tamanho razoável, tão depressa quanto conseguia escrever os números nas suas linhas e colunas; mas, por não estar totalmente satisfeito com estes quadrados, que eram demasiado fáceis, impus a mim mesmo o desafio de construir outro tipo de quadrados mágicos, que apresentassem propriedades mais ricas e que constituíssem, assim, um maior estímulo à curiosidade." Em relação ao quadrado mágico da imagem, são utilizados todos os números naturais, do 1 ao 8x8=64, uma e uma só vez. Além disso, a soma dos números de cada linha e de cada coluna é sempre igual a 260, a constante mágica. Existem muitas outras formas de obter o valor 260 (...)

Análise por dados em painel do status de saúde no Nordeste Brasileiro

OBJETIVO: Analisar fatores determinantes do status de saúde em cada estado da Região Nordeste do Brasil. MÉTODOS: Estudo utilizando a metodologia de dados em painel, com informações agregadas para municípios. Os dados compreendem os anos de 1991 e 2000, e foram obtidos no Atlas do Desenvolvimento Humano do Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento, e Secretaria do Tesouro Nacional. Utilizou-se como indicador do status de saúde, a taxa de mortalidade infantil, e como determinantes as variáveis: gastos com saúde e saneamento per capita, números de médicos por mil habitantes, acesso à água tratada, taxa de fecundidade e de analfabetismo, percentual de mães adolescentes, renda per capita e índice de Gini. RESULTADOS: As taxas de mortalidade infantil na região Nordeste reduziram-se em 31,8% no período analisado, desempenho pouco superior ao apresentado para a média nacional. No entanto, em alguns estados, como Rio Grande do Norte, Bahia, Ceará e Alagoas, a redução foi mais significativa. Isso pode ser atribuído à melhora de alguns indicadores que são os principais determinantes da redução da taxa de mortalidade infantil: maior acesso à educação, redução da taxa de fecundidade, aumento da renda, e do acesso à água. CONCLUSÕES: Os estados que apresentaram maiores ganhos no acesso à água tratada, educação, renda e redução da taxa de fecundidade, foram também os que obtiveram maiores ganhos na redução da mortalidade de menores de um ano de idade.

Uso de sistemas de informação geográfica em campanhas de vacinação contra a raiva

OBJETIVO: Desenvolver método para planejamento e avaliação de campanhas de vacinação contra a raiva animal. MÉTODOS: O desenvolvimento da metodologia baseou-se em sistemas de informação geográfica para estimar a população e a densidade animal (canina e felina) por setores censitários e subprefeituras do município de São Paulo, em 2002. O número de postos de vacinação foi estimado para atingir uma dada cobertura vacinal. Foram utilizadas uma base de dados censitários para a população humana, e estimativas para razões cão:habitante e gato:habitante. RESULTADOS: Os números estimados foram de 1.490.500 cães e 226.954 gatos em São Paulo, uma densidade populacional de 1.138,14 animais domiciliados por km². Foram vacinados, na campanha de 2002, 926.462 animais, garantindo uma cobertura vacinal de 54%. O número total estimado de postos no município para atingir uma cobertura vacinal de 70%, vacinando em média 700 animais por posto foi de 1.729. Estas estimativas foram apresentadas em mapas de densidade animal, segundo setores censitários e subprefeituras. CONCLUSÕES: A metodologia desenvolvida pode ser aplicada de forma sistemática no planejamento e no acompanhamento das campanhas de vacinação contra a raiva, permitindo que sejam identificadas áreas de cobertura vacinal crítica.

Estudo do reaproveitamento energético de ar quente numa Olaria

Como o sector cerâmico é um consumidor intensivo de energia, este trabalho teve como objectivo principal a elaboração de um plano de optimização do desempenho energético da olaria número três da Fábrica Cerâmica de Valadares. Para o efeito, efectuou-se o levantamento energético desta fracção autónoma. O valor total obtido para os ganhos térmicos foi de 8,7x107 kJ/dia, sendo 82% desta energia obtida na combustão do gás natural. Por outro lado, as perdas energéticas rondam os 8,2x107 kJ/dia, sendo o ar de exaustão e a envolvente os principais responsáveis, com um peso de 42 % e 38%, respectivamente. Tendo em conta estes valores, estudaram-se várias medidas de isolamento da cobertura, pavimento, paredes e saída de ar através de fendas do edifício. No caso do isolamento da cobertura sugeriu-se a substituição das telhas de fibrocimento e do isolamento actualmente existentes por painéis sandwich de cobertura. Esta acção permite uma poupança de 64.796€/ano, com um investimento de 57.029€ e o seu período de retorno de 0,9 anos. O Valor Actualizado Líquido (VAL) no 5º ano foi de 184.069€, com uma Taxa Interna de Rentabilidade (TIR) de 92%. Para isolar o pavimento, sugeriu-se a utilização de placas de poliuretano expandido (PU) de 20mm de espessura. Assim, consegue-se uma poupança de 7.442 €/ano, com um investimento de 21.708€, e um tempo de retorno 2,9 anos. No final do 5º ano de vida útil do projecto, o VAL é de 4.070€ e a TIR 7%. Relativamente ao isolamento das paredes e pilares, sugeriu-se a utilização de placas de PU (30mm), recobertas com chapa de ferro galvanizado. O tempo de retorno do investimento é de 1,5 anos, uma vez que, o investimento é de 13.670€ e a poupança anual será de 9.183€. Esta solução apresenta no último ano um VAL de 12.835€ e uma TIR de 22%. No isolamento das fendas do edifício, sugeriu-se a redução de 20% da sua área livre. Esta medida de optimização implica um investimento de 8.000€, revelando-se suficientemente eficaz, pois apresenta um tempo de retorno de 0,67 anos. O VAL e a TIR da solução no último ano de vida útil do projecto de investimento são de 36.835€ e 35%, respectivamente. Por fim, sugeriu-se ainda a instalação de um sistema de controlo que visa o aproveitamento de ar quente proveniente do forno, instalado no piso inferior à olaria, para pré-aquecer o ar alimentado aos geradores de calor. Esta medida implicaria um investimento de 4.000€, com um tempo de retorno de 2,4 anos e uma poupança anual é de 1.686€. O investimento é aconselhável, já que, no 5º ano, o VAL é de 1.956€ e a TIR é de 17%.

A engenharia Civil e a produção industrial de energia eólica

Dissertação para obtenção do grau de Engenharia Civil na Área de Especialização de Edificações

Curiosidades numéricas : O nascimento do zero

Neste artigo, vamos viajar no tempo e assistir ao nascimento do zero. (...) As origens da Matemática remontam a alguns milhares de anos antes das primeiras civilizações e derivaram da necessidade de contar objetos. Em primeiro lugar, foi necessário distinguir um objeto de muitos objetos (caçar um pássaro ou muitos pássaros). Com o passar do tempo, a linguagem desenvolveu-se para distinguir entre um, dois e muitos. Em seguida, um, dois, três e muitos. (...) O passo seguinte consistiu em agrupar objetos de forma a facilitar a contagem. (...) A verdade é que os antigos gostavam de contar com as partes do seu corpo. Os favoritos eram o 5 (uma mão), o 10 (as duas mãos) e o 20 (ambas as mãos e os pés). O sistema numérico de base 10 acabou por vingar em muitas culturas e isso refletiu-se no vocabulário que ainda hoje utilizamos. Em português, as palavras “onze”, “doze” e “treze” derivam do latim (undecim, duodecim e tredecim), significando “dez e um”, “dez e dois” e “dez e três”. (...) Os sistemas antigos de numeração não contemplaram o zero. A verdade é que ninguém precisava de registar “zero ovelhas” nem contar “zero aves”. Em vez de dizer “tenho zero lanças”, bastava afirmar “não tenho lanças”. Como não era preciso um número para expressar a falta de alguma coisa, não ocorreu a necessidade de atribuir um símbolo à ausência de objetos. (...) O sistema de numeração grego, tal como o egípcio, ignorou por completo o zero. O zero nasceu noutra zona do globo: no Oriente, concretamente, no Crescente Fértil do atual Iraque. O sistema de numeração babilónico era, de certa forma, invulgar. Os babilónios tinham um sistema sexagesimal, de base 60, e usavam apenas duas marcas para representar os seus números: uma cunha simples para representar o 1 e uma cunha dupla para representar o 10. (...) os babilónios tiveram uma excelente ideia: inventaram um sistema de numeração posicional, em que os números são representados por sequências de símbolos, sendo que o valor de cada símbolo depende da posição que ocupa nessa sequência. (...) Para os babilónios, o zero era um simples marca-lugar; um símbolo para uma casa em branco no ábaco. O zero não ocupava um lugar na hierarquia dos números; não tinha ainda assumido a sua posição estratégica na reta numérica como o número que separa os números positivos dos negativos. (...)

Curiosidades numéricas : Das origens do zero aos desafios do novo milénio

(...) Tal como os babilónios, os maias do México e da América Central criaram um sistema de numeração posicional. A diferença é que o sistema era vigesimal, de base 20. Os maias também recorriam ao zero para a escrita dos números e utilizavam dois tipos de dígitos (...) O sistema de numeração indiano acabou por evoluir de um sistema do tipo grego para um sistema do tipo babilónico (...) Os indianos encararam com naturalidade a existência de números negativos, bem como da reta numérica em que o zero assumia finalmente o estatuto de número com a posição estratégica de separar os números positivos dos negativos. (...) A própria palavra “zero” tem raízes hindu-árabes. O nome indiano para zero era sunya, que significava “vazio”. Os árabes transformaram-no em sifr. Por sua vez, os ocidentais adotaram uma designação que soasse a latim – zephirus, que é a raiz da nossa palavra “zero”. (...) No Ocidente, o medo do infinito e o horror ao vazio perpetuaram-se durante séculos. Partindo do universo pitagórico, Aristóteles e Ptolemeu defendiam um cosmos finito em extensão, mas cheio de matéria. O universo estava contido numa “casca de noz” revestida pela esfera das estrelas fixas. (...) A falta do zero não só impediu o desenvolvimento da Matemática no Ocidente como, indiretamente, introduziu alguma confusão no nosso calendário. Todos nos lembramos das dúvidas que surgiram com a viragem recente de século e milénio: deveríamos festejar a mudança de século e milénio na passagem de ano de 1999 para 2000 ou de 2000 para 2001? A resposta correta é a segunda opção e a justificação é simples: o nosso calendário não contempla o zero. (...) Com o Renascimento, o universo de casca de noz partiu-se, o vazio e o infinito ultrapassaram por completo os preconceitos da fundação aristotélica da Igreja e abriram caminho para um desenvolvimento notável da ciência e, em particular, da Matemática. O zero assumiu um papel chave no desenvolvimento de várias áreas da Matemática, entre elas destaca-se o cálculo diferencial e integral. O edifício matemático, que outrora tinha sido alicerçado partindo da necessidade de contar ovelhas e demarcar propriedades, erguia-se agora bem alto: as regras da Natureza podiam ser descritas por equações e a Matemática era a chave para desvendar os segredos do Universo. (...) O zero não pode ser ignorado. De facto, o zero está na base de muitos dos segredos do Universo, a desvendar neste novo milénio.

Modelo de data mining para deteção de embolias pulmonares

Trabalho de Projeto para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Informática e de Computadores

Optimização energética da olaria de uma cerâmica

Na indústria cerâmica o consumo de energia é elevado, fazendo com que este custo represente uma parte significativa dos custos totais de produção das peças. De forma a diminuir esta dependência, a energia deve ser gerida de forma contínua e eficazmente. O presente trabalho consistiu na análise da situação energética e na elaboração de propostas de optimização da etapa de conformação que ocorre na Olaria número quatro da Fábrica Cerâmica de Valadares, S.A. Determinou-se o rendimento efectivo da Olaria, tendo-se obtido um valor de 24,7%. As perdas térmicas ocorrem na Olaria, a nível da envolvente, da ventilação, da exaustão de gases e da inércia térmica, representando, respectivamente, 18122 MJ, 50222 MJ, 39228 MJ e 4338 MJ por semana de trabalho. Numa última fase sugeriram-se algumas medidas de optimização energética. A primeira medida visa uma melhoria na manutenção dos geradores, um aumento na gama de temperaturas de funcionamento dos geradores e uma minimização dos tempos de abertura dos portões. Na segunda medida propõe-se a diminuição da percentagem de excesso de ar para 10%, equivalendo a uma poupança de 8839 €/ano. Na terceira medida avaliou-se a possibilidade da aplicação de um permutador de calor de modo a aproveitar os gases de combustão. Esta permitiria uma poupança de 119 €/ano, no entanto, devido ao elevado tempo de retorno do investimento (12,6 anos) considerou-se que esta medida não era viável. A quarta proposta relaciona-se com a optimização da ventilação da Olaria por aumento do ciclo de renovação de ar para 5 h, promovendo uma poupança de 8583 € anuais. Como última sugestão de optimização, aconselhou-se a diminuição do volume da olaria em 6935 m3. Com esta proposta é possível obter uma poupança de 4993 €/ano. Esta medida envolve um investimento de 12000 €, sendo o tempo de retorno do investimento de 2,4 anos. Das cinco propostas estudadas concluiu-se que quatro são viáveis permitindo uma melhoria do funcionamento da Olaria e uma poupança significativa na factura energética.

Estudo da valorização de um resíduo de ácidos gordos livres

Com o desenvolvimento económico a gestão de recursos é um desafio que a sociedade moderna enfrenta. Um desenvolvimento sustentável, que procure satisfazer as necessidades da geração actual e futuras, é fundamental. É pois necessário encontrar novas fontes de energia e reduzir/valorizar resíduos. O objectivo deste trabalho prende-se com a valorização de um resíduo de ácidos gordos livres como fonte alternativa de energia. Estes ácidos gordos são obtidos na purificação primária da glicerina proveniente da produção de biodiesel por via alcalina, cedida pela empresa SOCIPOLE SA. Inicialmente separaram-se os ácidos gordos livres e ésteres presentes na glicerina, e caracterizou-se o produto obtido. Efectuaram-se dois ensaios, obtendo-se 42,9% e 53,8% em massa de ácidos gordos livres e 41,7% e 34,0% de ésteres no 1º e 2º ensaio respectivamente. Além dos ésteres e ácidos gordos livres, no 1º produto existem 15,4% de matéria não esterificável e no 2º 12,2%. Na primeira parte do trabalho, estudou-se a possibilidade de utilização directa deste produto como combustível. Determinou-se o PCI, obtendo-se 29,8 e 29,4 MJ/kg para o 1º e 2º ensaio respectivamente. Estes valores são superiores aos que se encontram no despacho 17313/2008 de 26 de Junho de 2008, para biogasolina e biodiesel (27,2 MJ/kg), significando que os ácidos gordos livres separados têm forte potencial para serem usados como combustível. Efectuou-se também um estudo de corrosão de aço do corpo e tubos de uma caldeira através de ensaios de polarização, usando um Potenciostato/Galvanostato, e por variação da massa de amostras mergulhadas nos ácidos gordos livres a 105ºC e à temperatura ambiente. Nas condições estudadas, os ácidos gordos não promoveram corrosão nas amostras. Por fim, fez-se a combustão de uma amostra dos ácidos gordos livres num bico de Meeker e verificou-se a formação de depósitos equivalentes a 1,93% da massa inicial. Na segunda parte estudou-se a possibilidade de produzir biodiesel por esterificação, dos ácidos gordos livres. Fez-se um estudo prévio para verificar qual a melhor razão molar de amostra/metanol a utilizar, optando-se por 1:6. Após cinco etapas de esterificação, obteve-se um produto final com 85,6% de ésteres. Não foram então atingidos os 96,5% exigidos pela norma europeia EN 14214, devido à presença de matéria não esterificável na matéria-prima, que não foi possível separar totalmente do produto durante o processo (esterificação, lavagem e secagem). Pela análise de todos os parâmetros, o produto obtido não pode ser considerado biodiesel, não sendo possível ser comercializado como tal. A análise dos resultados aponta para a opção da valorização do resíduo de ácidos gordos na queima directa em geradores e caldeiras que deverá no entanto, ser precedida de um estudo mais detalhado que inclua a análise da constituição da matéria não esterificável, para garantir uma combustão segura.

NZEB e os novos revestimentos

Dissertação de natureza científica para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil na Área de Especialização de Edificações

Ensino da Matemática : as primeiras explorações da ordem das dezenas

O nosso sistema de numeração decimal é um sistema de natureza posicional: os números são representados por sequências de símbolos, sendo que o valor de cada símbolo depende da posição que ocupa nessa sequência. Por exemplo, quando escrevemos o numeral relativo ao número treze, “13”, estamos na realidade a utilizar uma numeração mista: “1” vale uma dezena e “3” vale três unidades. Treze, na sua escrita matemática atual, traduz a organização uma dezena mais três unidades; dez unidades de uma ordem numérica são alvo de uma composição para uma unidade da ordem numérica seguinte, o que traduz a essência de um sistema posicional de base 10. Por isso, o “10” desempenha um papel de extrema importância e a forma como as crianças desenvolvem as primeiras explorações do nosso sistema de numeração é determinante para as suas aprendizagens futuras. (...) Para estimular uma verdadeira compreensão da ordem das dezenas, as atividades típicas são: (a) Separa 10 e diz o número; (b) Pinta 10 e diz o número; (c) Utilização de dispositivos com algarismos móveis (presentes em todos os manuais do bem sucedido método de Singapura). Vejamos como podemos promover a compreensão da ordem das dezenas e ultrapassar com eficácia a “barreira” do 10. (...)

Frações (parte I)

A temática das frações é provavelmente o assunto mais delicado no que diz respeito ao ensino da matemática inicial. Por terem múltiplas aplicações, contextos e sentidos, as frações pedem um ensino altamente especializado e esmerado. Há que modelar de forma cuidadosa o conceito de fração, fasear e ordenar os nós conceptuais ao longo dos anos e dosear o caráter abstrato/concreto dos exemplos e atividades. Muito se testou, teorizou e escreveu sobre esta temática. Este trabalho consiste num resumo alargado sobre o ensino das frações, documentado em literatura especializada e ilustrado através de exemplos concretos retirados de manuais do Singapore Math, um dos mais cotados métodos de ensino do mundo.