Le funzioni olomorfe e il loro collegamento con le funzioni armoniche

Questo elaborato si propone di analizzare il collegamento tra olomorfia e armonicità. La prima parte della tesi tratta le funzioni olomorfe, mentre la seconda parte tratta le funzioni armoniche. Per quanto riguarda la seconda parte, inizialmente ci limiteremo a studiare le funzioni armoniche in R^2, sottolineando il legame tra queste e le funzioni olomorfe. Considereremo poi il caso generale, ovvero estenderemo la nozione di funzione armonica ad R^N e osserveremo che molte delle proprietà viste per le funzioni olomorfe valgono anche per le funzioni armoniche. In particolare, vedremo che le formule di media per le funzioni armoniche svolgono un ruolo analogo alla formula integrale di Cauchy per le funzioni olomorfe. Vedremo anche che il Teorema di Liouville per le funzioni armoniche è l’analogo del Teorema di Liouville per le funzioni intere (funzioni olomorfe su tutto C) e, infine, osserveremo che il Principio del massimo forte non è altro che il trasferimento alle funzioni armoniche del Principio del massimo modulo visto nella teoria delle funzioni olomorfe.

Algoritmi per la stima del rumore nella ricostruzione di immagini

In questa tesi viene analizzato un metodo di regolarizzazione nel quale il problema di regolarizzazione è formulato come un problema di ottimizzazione vincolata. In questa formulazione è fondamentale il termine noto del vincolo, parametro per il quale dipende la bontà della ricostruzione, che corrisponde ad una stima della norma del rumore sul dato. Il contributo della tesi è l'analisi di un algoritmo proposto per stimare il rumore in applicazioni di image deblurring utilizzando la decomposizione in valori singolari dell'operatore che descrive il blur. Sono stati fatti numerosi test per valutare sia i parametri dell'algoritmo di stima che l'efficacia della stima ottenuta quando è inserita nel termine noto del vincolo del problema di ottimizzazione per la ricostruzione dell'immagine.

Proprietà degli ammassi di galassie

In questa tesi di laurea triennale vengono esposte le conoscenze fondamentali che descrivono gli ammassi di galassie. I galaxy clusters sono strutture gravitazionalmente legate composte di galassie, gas denominato ICM (Intra Cluster Medium) e materia oscura. Queste 3 diverse componenti sono responsabili rispettivamente del 5%, 15% e 80% circa della massa totale dell’ammasso; per la maggior parte degli ammassi la massa totale è 10^{14-15} masse solari. Nella prima parte della tesi si illustrano brevemente queste 3 componenti e le si inquadrano nelle diverse classificazioni morfologiche degli ammassi. Nella seconda parte ho passato in rassegna alcune delle funzioni più importanti per descrivere un ammasso di galassie. Nella terza ed ultima parte sono esposti i principali meccanismi grazie ai quali conosciamo gli ammassi di galassie.

Action-based dynamical models of the Fornax dwarf spheroidal galaxy

Il lavoro presentato in questa Tesi si basa sul calcolo di modelli dinamici per Galassie Sferoidali Nane studiando il problema mediante l'utilizzo di funzioni di distribuzione. Si è trattato un tipo di funzioni di distribuzione, "Action-Based distribution functions", le quali sono funzioni delle sole variabili azione. Fornax è stata descritta con un'appropriata funzione di distribuzione e il problema della costruzione di modelli dinamici è stato affrontato assumendo sia un alone di materia oscura con distribuzione di densità costante nelle regioni interne sia un alone con cuspide. Per semplicità è stata assunta simmetria sferica e non è stato calcolato esplicitamente il potenziale gravitazionale della componente stellare (le stelle sono traccianti in un potenziale gravitazionale fissato). Tramite un diretto confronto con alcune osservabili, quali il profilo di densità stellare proiettata e il profilo di dispersione di velocità lungo la linea di vista, sono stati trovati alcuni modelli rappresentativi della dinamica di Fornax. Modelli calcolati tramite funzioni di distribuzione basati su azioni permettono di determinare in maniera autoconsistente profili di anisotropia. Tutti i modelli calcolati sono caratterizzati dal possedere un profilo di anisotropia con forte anisotropia tangenziale. Sono state poi comparate le stime di materia oscura di questi modelli con i più comuni e usati stimatori di massa in letteratura. E stato inoltre stimato il rapporto tra la massa totale del sistema (componente stellare e materia oscura) e la componente stellare di Fornax, entro 1600 pc ed entro i 3 kpc. Come esplorazione preliminare, in questo lavoro abbiamo anche presentato anche alcuni esempi di modelli sferici a due componenti in cui il campo gravitazionale è determinato dall'autogravità delle stelle e da un potenziale esterno che rappresenta l'alone di materia oscura.

Il modello di Ising

L'elaborato fornisce una introduzione al modello di Ising, utilizzato nello studio delle transizioni di fase tra la fase ferromagnetica e quella paramagnetica dei materiali. Nella prima parte viene trattato il modello unidimensionale, di cui viene esposta la soluzione esatta attraverso l'utilizzo delle matrici di trasferimento, dimostrando quindi l'inesistenza di una transizione di fase a temperature finite non nulle. Vengono calcolate le funzioni termodinamiche e se ne dimostra l'indipendenza dalle condizioni al contorno nel limite termodinamico.Viene proposta infine una spiegazione qualitativa del comportamento microscopico, attraverso la lunghezza di correlazione. Nella seconda parte viene trattato il caso a due dimensioni. Inizialmente viene determinata la temperatura critica per reticoli quadrati, attraverso il riconoscimento della presenza di una relazione di dualita tra l'espansione per alte e per basse temperature della funzione di partizione. Successivamente si fornisce la soluzione esatta attraverso una versione modificata del procedimento, originariamente ideato da L.Onsager, di cui e proposta una traccia della dimostrazione. Viene infine brevemente discussa l'importanza che questo risultato ebbe storicamente nella fisica delle transizioni di fase.

Analisi di profili di moto permanente lungo l'asta del Fiume Secchia (località Veggia)

Il presente lavoro di tesi analizza un tratto del fiume Secchia, prossimo alla località di Veggia (Sassuolo), al fine di determinare la variazione del livello idrometrico in funzione di diverse portate associate a tempi di ritorno a breve e lungo termine. Vengono dapprima introdotti il concetto di rischio idraulico ed i relativi riferimenti normativi che lo disciplinano, unitamente ai piani di gestione e ai possibili interventi di protezione fluviale. Si introduce successivamente il codice di calcolo HEC-RAS, che viene impiegato nel presente studio per simulare l’andamento dei profili di moto permanente, nel caso in cui il fiume sia o meno interessato dalla presenza di un ponte. In entrambi i casi vengono poi discusse le variazioni dei livelli idrometrici per portate con tempi di ritorno di 20, 100 e 200 anni: si osserva che l’asta fluviale è a rischio nella zona a valle dello studio, mentre nella zona dove è ubicato il ponte l’aumentare dei livelli idrometrici non mette in crisi la struttura. A seguire vengono presentate le opere di mitigazione, destinate alla protezione dell’alveo e dell’ambiente circostante. Poi, si mostrano le opere di mitigazione, essi funzionano di diminuire i rischi dalla diversa classificazione di opere.

Realizzazione di un dispositivo elettromeccanico per la simulazione e per la ricerca di una soluzione stabile del sistema dinamico del pendolo inverso

Obiettivo della tesi è la realizzazione di un dispositivo in grado di riprodurre il sistema del pendolo inverso e di trovare soluzioni vicine alla posizione di equilibrio stabile. Verranno ricavate le equazioni del moto che descrivono il sistema attraverso la meccanica Lagrangiana. Una volta integrate numericamente le equazioni, si procederà con la ricerca di una funzione di controllo per mantenere in equilibrio il sistema: l'efficacia della soluzione verrà valutata graficamente, senza approfondire l'approccio proveniente dalla teoria del controllo che ne è alla base. Infine il sistema verrà realizzato praticamente ed utilizzeremo le stesse funzioni studiate in precedenza.

Frattali autosimili e misura di Hausdorff

In questa tesi si vuole trattare il concetto di dimensione a partire dalla teoria della misura e lo si vuole applicare per definire e studiare gli insiemi frattali, in particolare, autosimili. Nel primo capitolo si tratta la dimensione di Hausdorff a partire dalla teoria della misura di Hausdorff, di cui si osservano alcune delle proprietà grazie a cui la prima si può definire. Nel secondo capitolo si danno altre definizioni di dimensione, come ad esempio quella di auto-similarità e la box-counting, per mostrare che tale concetto non è univoco. Si analizzano quindi le principali differenze tra le diverse dimensioni citate e si forniscono esempi di insiemi per cui esse coincidono e altri, invece, per cui esse differiscono. Nel terzo capitolo si introduce poi il vero e proprio concetto di insieme frattale. In particolare, definendo i sistemi di funzioni iterate e studiandone le principali proprietà, si definisce una particolare classe di insiemi frattali detti autosimili. In questo capitolo sono enunciati e dimostrati teoremi fondamentali che legano gli attrattori di sistemi di funzioni iterate a insiemi frattali autosimili e forniscono, per alcuni specifici casi, una formula per calcolarne la dimensione di Hausdorff. Si danno, inoltre, esempi di calcolo di tale dimensione per alcuni insiemi frattali autosimili molto noti. Nel quarto capitolo si dà infine un esempio di funzione che abbia grafico frattale, la Funzione di Weierstrass, per mostrare un caso pratico in cui è utilizzata la teoria studiata nei capitoli precedenti.

Un Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond sulle Serie Trigonometriche, e Applicazioni

L'argomento della Tesi è lo studio delle serie trigonometriche e di Fourier: in particolare, il problema dello sviluppo in serie trigonometrica di una data funzione 2π-periodica e l'unicità di tale sviluppo, che si deduce dal Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond. Nel Capitolo 1 sono stati richiamati alcune definizioni e risultati di base della teoria delle serie trigonometriche e di Fourier. Il Capitolo 2 è dedicato alla teoria della derivata seconda di Schwarz (una generalizzazione della derivata seconda classica) e delle cosidette funzioni 1/2-convesse: il culmine di questo capitolo è rappresentato dal Teorema di De la Vallée-Poussin, che viene applicato crucialmente nella prova del teorema centrale della tesi. Nel Capitolo 3 si torna alla teoria delle serie trigonometriche, applicando i risultati principali della teoria della derivata seconda di Schwarz e delle funzioni 1/2-convesse, visti nel capitolo precedente, per definire il concetto di funzione di Riemann e di somma nel senso di Riemann di una serie trigonometrica e vederne le principali proprietà. Conclude il Capitolo 3 la prova del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond, in cui vengono usate tutte le nozioni e i risultati del terzo capitolo e il Teorema di De la Vallée-Poussin. Infine, il Capitolo 4 è dedicato alle applicazione del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond. In una prima sezione del Capitolo 4 vi sono alcuni casi particolari del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond e in particolare viene dimostrata l'unicità dello sviluppo in serie trigonometrica per una funzione 2π-periodica e a valori finiti. Conclude la Tesi un'altra applicazione del Teorema di Lebesgue e Du Bois-Reymond: la prova dell'esistenza di funzioni continue e 2π-periodiche che non sono la somma puntuale di nessuna serie trigonometrica, con un notevole esempio di Lebesgue.

Il Teorema di Morse-Sard

Questa tesi riguarda il Teorema di Morse-Sard nella sua versione generale. Tale teorema afferma che l'immagine dei punti critici di una funzione di classe C^k da un aperto di R^m a R^n è un insieme di misura di Lebesgue nulla se k >= m-n+1 (se m >= n) o se k >= 1 (se mDi tale teorema diamo una dimostrazione, tratta dall’articolo di Moreira-Ruas (2009). Dimostriamo inoltre il Teorema di Varberg (1966) riguardante il caso delle funzioni differenziabili con m=n. Si fornisce poi un’applicazione del Teorema di Morse-Sard: la formula di Coarea per funzioni a valori reali.

Sugli autovalori dell'operatore di Koopman: perturbazione e aspetti computazionali

La previsione ed il controllo dei grandi sistemi dinamici costituiscono due delle principali sfide della scienza contemporanea. Prima degli anni '90 la parola previsione indicava un singolo esperimento numerico, mentre negli ultimi vent'anni ha denotato un insieme di simulazioni/esperimenti. Sostanzialmente non si cerca più di trovare la traiettoria più realistica e verosimile ma si studia l'insieme delle previsioni e l'evolversi della loro distribuzione nel tempo per avere un'idea di quale sia la previsione più probabile. Un sistema dinamico è descritto, in un particolare istante temporale, da una variabile di stato. Esistono poi delle funzioni di stato che hanno come argomento una variabile di stato e mentre il sistema dinamico è in movimento, e dunque mentre le variabili di stato del sistema cambiano nel tempo, anche le funzioni di stato si evolvono. Il lavoro di Bernard Koopman (19/01/1900 - 18/08/1981) si è incentrato sullo studio di tale evoluzione. Koopman formalizzò il problema cercando di trovare un operatore che prendesse una funzione di stato e la "spingesse" in avanti nel tempo. Tale operatore venne chiamato Operatore di Koopman. Il legame sostanziale tra l'operatore di Koopman e il sistema dinamico in questione sta nel fatto che tale operatore agisce sullo spazio delle funzioni di stato del sistema. Inoltre si è scoperto che i suoi autovalori e le sue autofunzioni descrivono completamente il sistema dinamico che vi sta dietro. Questo elaborato introduce l'operatore di Koopman in relazione a sistemi dinamici e mostra come ricavare lo spettro di tale operatore a partire da dati di simulazione. Infine vengono studiate le proprietà spettrali dell'operatore di Koopman nel caso mono-dimensionale degli indici Niño-3 e viene fatta un'analisi dettagliata dei risultati numerici ottenuti, trovando una conferma teorica mediante l'utilizzo dei dischi di Gershgorin.

L’efficacia dei programmi di teleriabilitazione nel trattamento post-chirurgico di spalla: una revisione sistematica della letteratura

Background: Attualmente, diversi approcci riabilitatavi vengono proposti per il miglioramento del dolore e della funzione a seguito di intervento chirurgico alla spalla. La teleriabilitazione si è rivelata una valida alternativa per l’erogazione dei servizi riabilitativi a distanza: grazie all’utilizzo delle tecnologie di telecomunicazione, è possibile fornire consulenza, valutazione, monitoraggio, intervento e educazione, superando le barriere geografiche, temporali, sociali ed economiche. Obiettivo: Lo scopo della revisione è valutare le prove di efficacia presenti in letteratura in merito all’utilizzo della teleriabilitazione per il miglioramento funzionale dei pazienti operati di spalla. Metodi: La revisione è stata redatta secondo la checklist del PRISMA statement. La ricerca è stata condotta da aprile a settembre 2022, consultando le banche dati Cochrane Library, PubMed e PEDro. La ricerca è stata limitata a studi primari sperimentali e quasi, con full-text reperibile in lingua italiana o inglese e senza limiti temporali, inerenti soggetti operati alla spalla trattati con diverse modalità di teleriabilitazione. Come elemento di confronto è stato incluso qualsiasi tipo di intervento riabilitativo convenzionale. La qualità metodologica è stata valutata con la PEDro scale. Risultati: sono stati inclusi 4 RCT e 1 CCT, che hanno indagato misure di outcome relative a: dolore, mobilità articolare, forza, abilità funzionale e qualità della vita. Dall’analisi qualitativa dei risultati degli studi si è osservato che in tutti i gruppi sperimentali si sono ottenuti miglioramenti significativi negli outcome d’interesse; in due studi è stata evidenziata una superiorità statisticamente significativa della teleriabilitazione. Conclusioni: Nonostante la revisione non sia giunta a risultati generalizzabili e di validità assoluta, la teleriabilitazione ha dimostrato di essere una modalità sicura ed efficace nel miglioramento clinico e funzionale dei soggetti operati alla spalla.

Insiemi convessi e funzioni convesse in R^n

In questa tesi abbiamo voluto studiare alcune delle proprietà e caratterizzazioni di questa classe di insiemi e di funzioni, nonchè alcune loro possibili applicazioni. Nel primo capitolo vengono analizzati gli insiemi convessi in R^n con le loro proprietà; se ne osserva la relazione con gli iperpiani e con l’inviluppo convesso dell’insieme stesso. Infine abbiamo studiato come la funzione distanza da un insieme caratterizzi gli insiemi convessi. Nel secondo capitolo abbiamo guardato invece le funzioni convesse, osservando alcuni esempi, per poi focalizzarci sulle proprietà generali e diverse possibili caratterizzazioni. In particolare abbiamo osservato come le cosiddette funzioni lisce si relazionano alla convessità. Nella sezione sulla dualità convessa abbiamo infine esaminato il caso di funzioni con codominio R esteso per studiare funzioni convesse semicontinue inferiormente, fino ad arrivare alla dualità. Nel terzo capitolo, vediamo una delle tante possibili applicazioni della teoria convessa, la teoria dei giochi. L’ultimo capitolo è molto breve e non vuole entrare nel merito di questa importante area della matematica, ma vuole solo far “vedere all’opera” alcune delle proprietà della teoria convessa precedentemente esposta.

Analisi numerica per l'evoluzione non lineare di perturbazioni di energia oscura

L'elaborato tratta lo studio dell’evoluzione delle perturbazioni di densità non lineari, confrontando modelli con costante cosmologica (wΛ = −1) e modelli alternativi in cui l’energia oscura sia caratterizzata da un’equazione di stato con w diverso da −1, considerando sia il caso con energia oscura costante, sia quello in cui ha fluttuazioni. La costante cosmologica presenta infatti due problemi teorici attualmente senza soluzione: il problema del suo valore e il problema della coincidenza. Per analizzare l’evoluzione delle perturbazioni di materia ed energia oscura, sia nel caso delle sovradensità che nel caso delle sottodensità primordiali, si implementano numericamente le equazioni differenziali non lineari ricavate a partire dalla teoria del collasso sferico. Per parametrizzare il problema, si fa riferimento ai valori critici del contrasto di densità δc e δv che rappresentano, rispettivamente, la soglia lineare per il collasso gravitazionale e la soglia per l’individuazione di un vuoto cosmico. I valori di δc e δv sono importanti poich´e legati agli osservabili cosmici tramite la funzione di massa e la void size function. Le soglie critiche indicate sono infatticontenute nelle funzioni citate e quindi, cambiando δc e δv al variare del modello cosmologico assunto, è possibile influenzare direttamente il numero e il tipo di oggetti cosmici formati, stimati con la funzione di massa e la void size function. Lo scopo principale è quindi quello di capire quanto l’assunzione di un modello, piuttosto che di un altro, incida sui valori di δc e δv. In questa maniera è quindi possibile stimare, con l’utilizzo della funzione di massa e della void size function, quali sono gli effetti sulla formazione delle strutture cosmiche dovuti alle variazioni delle soglie critiche δc e δv in funzione del modello cosmologico scelto. I risultati sono messi a confronto con il modello cosmologico standard (ΛCDM) per cui si assume Ω0,m = 0.3, Ω0,Λ = 0.7 e wΛ = −1.

Soluzione analitica di un modello semplificato per la circolazione sistemica

La circolazione sanguigna nell’organismo umano sfrutta un meccanismo ad hoc per trasportare gli scarti e tutte le sostanze necessarie al metabolismo cellulare. Il cuore rappresenta la pompa che dà al sangue la spinta per scorrere nei vasi e il ventricolo sinistro è la cavità cardiaca che contribuisce di più allo svolgimento di questo lavoro. Il modello pulsatile utilizzato in questo elaborato per la circolazione sistemica deriva dalla semplificazione di un modello a parametri concentrati precedentemente pubblicato. Nell’analogo elettrico di questo modello sono state incluse la resistenza al ritorno venoso, la resistenza al deflusso aortico e la resistenza arteriolare sistemica. Inoltre, la funzione di pompa del ventricolo è definita dalla complianza ventricolare tempo-variante e dal suo inverso, l’elastanza. Le valvole ventricolari sono simulate da due diodi e le capacità venose e arteriose tengono conto del comportamento elastico dei rispettivi compartimenti. Considerando il lavoro delle valvole, il ciclo cardiaco è stato suddiviso in sette intervalli temporali, per ciascuno dei quali è stato disegnato un analogo elettrico che descrive il comportamento degli elementi circuitali in quello specifico intervallo temporale. Attraverso l’applicazione delle leggi di Kirchoff agli analoghi elettrici sopra citati si scrivono le equazioni differenziali nelle funzioni incognite carica elettrica sulla complianza ventricolare e tensione arteriosa. Per ottenere le espressioni analitiche della soluzione delle equazioni differenziali si approssima l’elastanza con una funzione lineare a tratti e si utilizzano i teoremi per la risoluzione delle equazioni differenziali di ordine uno non omogenee. Le espressioni analitiche vengono implementate su Matlab, che consente di ottenere dei grafici della pressione venosa, arteriosa e ventricolare, dell’elastanza, del volume ventricolare e della portata aortica anche in risposta ad una diminuzione della resistenza arteriolare sistemica.