Aplicações das Integrais

Este capítulo começa com integração de funções racionais, ou seja, funções da forma f(x)/g(x) e a resolução de um exemplo passo a passo. O primeiro exemplo mostra que se o grau de f(x) for maior que o grau de g(x), então a integral da função racional f(x)/g(x) se transforma numa integral de simples resolução, através da divisão de polinômios. Portanto a unidade mostra que é preciso apenas estudar integrais de funções racionais próprias, isto é, funções racionais em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Isto é desenvolvido através da decomposição de frações racionais em frações parciais. Na sequência é apresentado passo a passo como fazer tal decomposição em três casos distintos. E no último tópico são detalhadas algumas aplicações das integrais definidas: área de uma região plana; média ou valor médio de uma função; volume de um sólido; área de uma superfície de revolução.

Comparação de sistemas de programação

Este trabalho compara as soluções disponibilizadas pelos sistemas Derive 5.0, Maple 6 e Mathematica 4.0 para problemas que encontramos no ensino secundário e também nos primeiros anos da universidade. Procuramos destacar os aspectos distintos entre cada um dos programas ao mesmo tempo que fazemos referência aos pontos em que tudo se passa de forma semelhante. Esta dissertação aborda o cálculo numérico, o cálculo simbólico, a programação e os gráficos. Para cada um dos assuntos é estudada a forma como se podem resolver os problemas através dos três sistemas comparando-se estas soluções. Inicialmente, é feita uma abordagem que permite ao utilizador adquirir os conhecimentos básicos acerca dos diversos programas. Tratamos de seguida de algumas questões relacionadas com o cálculo numérico e com algumas funções nomeadamente da Teoria dos Números. Referimos listas e funções e são analisadas diversas formas de manipular listas e os seus elementos bem como algumas áreas da Análise Matemática das quais destacamos as equações, a derivação e a integração compreendendo cálculo numérico e cálculo simbólico. Examinamos um vasto conjunto de operações definidas sobre matrizes (representadas como listas de listas) e polinómios que abrangem as operações mais comuns de cada um dos campos. Analisamos também a programação recursiva, a programação imperativa, a programação funcional e a programação por regras de reescrita. A abordagem aqui adoptada foi a de fornecer ao utilizador as construções chave mais importantes que cada paradigma de programação utiliza bem como as informações básicas acerca do funcionamento de cada uma delas de modo a permitir a resolução dos problemas propostos. Por último os gráficos sobre os quais incidiu a nossa análise foram os de uma e de duas variáveis representados no referencial cartesiano, gráficos estes que são os mais utilizados quer ao nível do ensino superior quer ao nível do ensino secundário. A qualidade e a facilidade de obter rapidamente as representações dão outra dimensão ao estudo dos gráficos principalmente quando estamos a falar de gráficos a três dimensões. A ideia de animação gráfica é também aqui abordada sendo evidente os benefícios da utilização da mesma nos programas em que é possível efectuá-la. Concluímos que na programação o Mathematica destaca-se em relação aos demais o mesmo se passando no Maple no respeitante à representação gráfica. O Derive permite que durante o contacto inicial seja mais fácil trabalhar e aprender a linguagem própria.

Utilização de modelos de regressão aleatória para produção de leite no dia do controle, com diferentes estruturas de variâncias residuais

Foram utilizados quatorze modelos de regressão aleatória, para ajustar 86.598 dados de produção de leite no dia do controle de 2.155 primeiras lactações de vacas Caracu, truncadas aos 305 dias. Os modelos incluíram os efeitos fixos de grupo contemporâneo e a covariável idade da vaca ao parto. Uma regressão ortogonal de ordem cúbica foi usada para modelar a trajetória média da população. Os efeitos genéticos aditivos e de ambiente permanente foram modelados por meio de regressões aleatórias, usando polinômios ortogonais de Legendre, de ordens cúbicas. Diferentes estruturas de variâncias residuais foram testadas e consideradas por meio de classes contendo 1, 10, 15 e 43 variâncias residuais e de funções de variâncias (FV) usando polinômios ordinários e ortogonais, cujas ordens variaram de quadrática até sêxtupla. Os modelos foram comparados usando o teste da razão de verossimilhança, o Critério de Informação de Akaike e o Critério de Informação Bayesiano de Schwar. Os testes indicaram que, quanto maior a ordem da função de variâncias, melhor o ajuste. Dos polinômios ordinários, a função de sexta ordem foi superior. Os modelos com classes de variâncias residuais foram aparentemente superiores àqueles com funções de variância. O modelo com homogeneidade de variâncias foi inadequado. O modelo com 15 classes heterogêneas foi o que melhor ajustou às variâncias residuais, entretanto, os parâmetros genéticos estimados foram muito próximos para os modelos com 10, 15 ou 43 classes de variâncias ou com FV de sexta ordem.

Estimação de parâmetros genéticos para produção de leite de cabras da raça Alpina

Foram utilizados 9.374 registros semanais de produção de leite de 302 primeiras lactações de cabras da raça Alpina. A produção de leite no dia do controle foi analisada por meio de um modelo animal, unicarater, de regressão aleatória, em que as funções de covariâncias para os componentes genéticos aditivos e de ambiente permanente foram modeladas por meio das funções de Wilmink, Ali e Schaeffer e por polinômios ortogonais, em uma escala de Legendre de ordens cúbica e quíntica. Assumiu-se, ainda, variância residual homogênea durante toda a lactação e heterogênea com três e quatro classes de variância residual. Os modelos foram comparados pelo critério de informação de Akaike (AIC), pelo critério de informação Bayesiano de Schwar (BIC), pela função de verossimilhança (Ln L), pela visualização das estimativas de variâncias genéticas, de ambiente permanente, fenotípicas e residuais e pelas herdabilidades. O polinômio de Legendre de ordem quíntica, com quatro e três classes de variâncias residuais, e a função de Ali e Schaeffer, com quatro classes de variâncias residuais, foram indicados como os mais adequados pelo AIC, BIC e Ln L. Estes modelos diferiram na partição da variância fenotípica para as variâncias de ambiente permanente, genética e residual apenas no início e no final da lactação. Contudo, a função de Ali e Schaeffer resultou em estimativas negativas de correlação genética entre os controles mais distantes. O polinômio de Legendre de ordem quíntica, assumindo variância residual heterogênea, mostrou-se mais adequado para ajustar a produção de leite no dia do controle de cabras da raça Alpina.

Estimação de parâmetros genéticos para peso do nascimento aos 550 dias de idade para animais da raça Tabapuã utilizando-se modelos de regressão aleatória

Foram utilizados 21.762 registros de peso do nascimento aos 550 dias de idade de 4.221 animais para estimativa das funções de covariância empregando modelos de regressão aleatória. Os modelos incluíram, como aleatórios, os efeitos genéticos aditivo direto e materno, de ambiente permanente de animal e de ambiente permanente materno e, como fixos, os efeitos de grupo contemporâneo, a idade da vaca ao parto (linear e quadrático) e o polinômio ortogonal de Legendre da idade do animal (regressão cúbica), como covariáveis. As variâncias residuais foram modeladas por uma função de variâncias com ordens de 2 a 6. Análises com polinômios ortogonais de diversas ordens foram realizadas para os efeitos genético aditivo direto, genético aditivo materno, de ambiente permanente de animal e de ambiente permanente materno. Os modelos foram comparados pelos critérios de informação Bayesiano de Schwarz (BIC) e Akaike (AIC). O melhor modelo indicado por todos os critérios foi o que considerou o efeito genético aditivo direto ajustado por um polinômio cúbico, o efeito genético materno ajustado por um polinômio quadrático, o efeito de ambiente permanente de animal ajustado por polinômio quártico e o efeito de ambiente permanente materno ajustado por polinômio linear. As estimativas de herdabilidade para o efeito direto foram maiores no início e no final do período estudado, com valores de 0,28 ao nascimento, 0,21 aos 240 dias e 0,24 aos 550 dias de idade. As estimativas de herdabilidade materna foram maiores aos 160 dias de idade (0,10) que nas demais fases do crescimento. As correlações genéticas variaram de moderadas a altas, diminuindo conforme o aumento da distância entre as idades. Maior eficiência na seleção para peso pode ser obtida considerando os pesos pós-desmama, período em que as estimativas de variância genética e herdabilidade foram superiores.

Estimação de funções de covariância para características de crescimento da raça Tabapuã utilizando modelos de regressão aleatória

Foram utilizados 35.732 registros de peso do nascimento aos 660 dias de idade de 8.458 animais da raça Tabapuã para estimar funções de covariância utilizando modelos de regressão aleatória sobre polinômios de Legendre. Os modelos incluíram: como aleatórios, os efeitos genético aditivo direto, materno, de ambiente permanente de animal e materno; como fixos, os efeitos de grupo de contemporâneo; como covariáveis, a idade do animal à pesagem e a idade da vaca ao parto (linear e quadrática); e sobre a idade à pesagem, polinômio ortogonal de Legendre (regressão cúbica) foi considerado para modelar a curva média da população. O resíduo foi modelado considerando sete classes de variância e os modelos foram comparados pelos critérios de informação Bayesiano de Schwarz e Akaike. O melhor modelo apresentou ordens 4, 3, 6, 3 para os efeitos genético aditivo direto e materno, de ambiente permanente de animal e materno, respectivamente. As estimativas de covariância e herdabilidades, obtidas utilizando modelo bicaracter, e de regressão aleatória foram semelhantes. As estimativas de herdabilidade para o efeito genético aditivo direto, obtidas com o modelo de regressão aleatória, aumentaram do nascimento (0,15) aos 660 dias de idade (0,45). Maiores estimativas de herdabilidade materna foram obtidas para pesos medidos logo após o nascimento. As correlações genéticas variaram de moderadas a altas e diminuíram com o aumento da distância entre as pesagens. A seleção para maiores pesos em qualquer idade promove maior ganho de peso do nascimento aos 660 dias de idade.

Comparações entre os valores genéticos para características de crescimento de bovinos da raça Nelore preditos com modelos de dimensão finita ou infinita

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)

Comparação de modelos de regressão aleatória para estimação de parâmetros genéticos em caprinos leiteiros

Objetivou-se avaliar a melhor modelagem para as variâncias genética aditiva, de ambiente permanente e residual da produção de leite no dia do controle (PLDC) de caprinos. Utilizaram-se modelos de regressão aleatória sobre polinômios ortogonais de Legendre com diferentes ordens de ajuste e variância residual heterogênea. Consideraram-se como efeitos fixos os efeitos de grupo de contemporâneos, a idade da cabra ao parto (co-variável) e a regressão fixa da PLDC sobre polinômios de Legendre, para modelar a trajetória média da população; e, como efeitos aleatórios, os efeitos genético aditivo e de ambiente permanente. O modelo com quatro classes de variâncias residuais foi o que proporcionou melhor ajuste. Os valores do logaritmo da função de verossimilhança, de AIC e BIC apontaram para seleção de modelos com ordens mais altas (cinco para o efeito genético e sete para o efeito de ambiente permanente). Entretanto, os autovalores associados às matrizes de co-variâncias entre os coeficientes de regressão indicaram a possibilidade de redução da dimensionalidade. As altas ordens de ajuste proporcionaram estimativas de variâncias genéticas e correlações genéticas e de ambiente permanente que não condizem com o fenômeno biológico estudado. O modelo de quinta ordem para a variância genética aditiva e de sétima ordem para o ambiente permanente foi indicado. Entretanto, um modelo mais parcimonioso, de quarta ordem para o efeito genético aditivo e de sexta ordem para o efeito de ambiente permanente, foi suficiente para ajustar as variâncias nos dados.

Modelos de regressão aleatória na avaliação genética do crescimento de ovinos da raça Santa Inês

Utilizaram-se 17.767 registros de peso de 4.210 cordeiros da raça Santa Inês com o objetivo de comparar modelos de regressão aleatória com diferentes estruturas para modelar a variância residual em estudos genéticos da curva de crescimento. Os efeitos fixos incluídos na análise foram: grupo contemporâneo e idade da ovelha no parto. As regressões fixas e aleatórias foram ajustadas por meio de polinômios de Legendre de ordens 4 e 3, respectivamente. A variância residual foi ajustada por meio de classes heterogêneas e por funções de variância empregando polinômios ordinários e de Legendre de ordens 2 a 8. O modelo considerando homogeneidade de variâncias residuais mostrou-se inadequado. de acordo com os critérios utilizados, a variância residual contendo sete classes heterogêneas proporcionou melhor ajuste, embora um mais parcimonioso, com cinco classes, pudesse ser utilizado sem perdas na qualidade de ajuste da variância nos dados. O ajuste de funções de variância com qualquer ordem foi melhor que o obtido por meio de classes. O polinômio ordinário de ordem 6 proporcionou melhor ajuste entre as estruturas testadas. A modelagem do resíduo interferiu nas estimativas de variâncias e parâmetros genéticos. Além da alteração da classificação dos reprodutores, a magnitude dos valores genéticos preditos apresenta variações significativas, de acordo com o ajuste da variância residual empregado.

Estimação de componentes de co-variância para pesos corporais do nascimento aos 365 dias de idade de bovinos Guzerá empregando-se modelos de regressão aleatória

Um total de 19.770 pesos corporais de bovinos Guzerá, do nascimento aos 365 dias de idade, pertencentes ao banco de dados da Associação Brasileira dos Criadores de Zebu (ABCZ) foi analisado com os objetivos de comparar diferentes estruturas de variâncias residuais, considerando 1, 18, 28 e 53 classes residuais e funções de variância de ordens quadrática a quíntica; e estimar funções de co-variância de diferentes ordens para os efeitos genético aditivo direto, genético materno, de ambiente permanente de animal e de mãe e parâmetros genéticos para os pesos corporais usando modelos de regressão aleatória. Os efeitos aleatórios foram modelados por regressões polinomiais em escala de Legendre com ordens variando de linear a quártica. Os modelos foram comparados pelo teste de razão de verossimilhança e pelos critérios de Informação de Akaike e de Informação Bayesiano de Schwarz. O modelo com 18 classes heterogêneas foi o que melhor se ajustou às variâncias residuais, de acordo com os testes estatísticos, porém, o modelo com função de variância de quinta ordem também mostrou-se apropriado. Os valores de herdabilidade direta estimados foram maiores que os encontrados na literatura, variando de 0,04 a 0,53, mas seguiram a mesma tendência dos estimados pelas análises unicaracterísticas. A seleção para peso em qualquer idade melhoraria o peso em todas as idades no intervalo estudado.

Identificação não linear usando uma rede fuzzy wavelet neural network modificada

In last decades, neural networks have been established as a major tool for the identification of nonlinear systems. Among the various types of networks used in identification, one that can be highlighted is the wavelet neural network (WNN). This network combines the characteristics of wavelet multiresolution theory with learning ability and generalization of neural networks usually, providing more accurate models than those ones obtained by traditional networks. An extension of WNN networks is to combine the neuro-fuzzy ANFIS (Adaptive Network Based Fuzzy Inference System) structure with wavelets, leading to generate the Fuzzy Wavelet Neural Network - FWNN structure. This network is very similar to ANFIS networks, with the difference that traditional polynomials present in consequent of this network are replaced by WNN networks. This paper proposes the identification of nonlinear dynamical systems from a network FWNN modified. In the proposed structure, functions only wavelets are used in the consequent. Thus, it is possible to obtain a simplification of the structure, reducing the number of adjustable parameters of the network. To evaluate the performance of network FWNN with this modification, an analysis of network performance is made, verifying advantages, disadvantages and cost effectiveness when compared to other existing FWNN structures in literature. The evaluations are carried out via the identification of two simulated systems traditionally found in the literature and a real nonlinear system, consisting of a nonlinear multi section tank. Finally, the network is used to infer values of temperature and humidity inside of a neonatal incubator. The execution of such analyzes is based on various criteria, like: mean squared error, number of training epochs, number of adjustable parameters, the variation of the mean square error, among others. The results found show the generalization ability of the modified structure, despite the simplification performed

Sistema de navegação para robôs móveis autônomos

The main task and one of the major mobile robotics problems is its navigation process. Conceptualy, this process means drive the robot from an initial position and orientation to a goal position and orientation, along an admissible path respecting the temporal and velocity constraints. This task must be accomplished by some subtasks like robot localization in the workspace, admissible path planning, trajectory generation and motion control. Moreover, autonomous wheeled mobile robots have kinematics constraints, also called nonholonomic constraints, that impose the robot can not move everywhere freely in its workspace, reducing the number of feasible paths between two distinct positions. This work mainly approaches the path planning and trajectory generation problems applied to wheeled mobile robots acting on a robot soccer environment. The major dificulty in this process is to find a smooth function that respects the imposed robot kinematic constraints. This work proposes a path generation strategy based on parametric polynomials of third degree for the 'x' and 'y' axis. The 'theta' orientation is derived from the 'y' and 'x' relations in such a way that the generated path respects the kinematic constraint. To execute the trajectory, this work also shows a simple control strategy acting on the robot linear and angular velocities

Métodos numéricos para resolução de equações diferenciais ordinárias lineares baseados em interpolação por spline

In this work we have elaborated a spline-based method of solution of inicial value problems involving ordinary differential equations, with emphasis on linear equations. The method can be seen as an alternative for the traditional solvers such as Runge-Kutta, and avoids root calculations in the linear time invariant case. The method is then applied on a central problem of control theory, namely, the step response problem for linear EDOs with possibly varying coefficients, where root calculations do not apply. We have implemented an efficient algorithm which uses exclusively matrix-vector operations. The working interval (till the settling time) was determined through a calculation of the least stable mode using a modified power method. Several variants of the method have been compared by simulation. For general linear problems with fine grid, the proposed method compares favorably with the Euler method. In the time invariant case, where the alternative is root calculation, we have indications that the proposed method is competitive for equations of sifficiently high order.

Modelos de regressão aleatória com diferentes estruturas de variância residual para descrever o tamanho da leitegada

Objetivou-se comparar modelos de regressão aleatória com diferentes estruturas de variância residual, a fim de se buscar a melhor modelagem para a característica tamanho da leitegada ao nascer (TLN). Utilizaram-se 1.701 registros de TLN, que foram analisados por meio de modelo animal, unicaracterística, de regressão aleatória. As regressões fixa e aleatórias foram representadas por funções contínuas sobre a ordem de parto, ajustadas por polinômios ortogonais de Legendre de ordem 3. Para averiguar a melhor modelagem para a variância residual, considerou-se a heterogeneidade de variância por meio de 1 a 7 classes de variância residual. O modelo geral de análise incluiu grupo de contemporâneo como efeito fixo; os coeficientes de regressão fixa para modelar a trajetória média da população; os coeficientes de regressão aleatória do efeito genético aditivo-direto, do comum-de-leitegada e do de ambiente permanente de animal; e o efeito aleatório residual. O teste da razão de verossimilhança, o critério de informação de Akaike e o critério de informação bayesiano de Schwarz apontaram o modelo que considerou homogeneidade de variância como o que proporcionou melhor ajuste aos dados utilizados. As herdabilidades obtidas foram próximas a zero (0,002 a 0,006). O efeito de ambiente permanente foi crescente da 1ª (0,06) à 5ª (0,28) ordem, mas decrescente desse ponto até a 7ª ordem (0,18). O comum-de-leitegada apresentou valores baixos (0,01 a 0,02). A utilização de homogeneidade de variância residual foi mais adequada para modelar as variâncias associadas à característica tamanho da leitegada ao nascer nesse conjunto de dado.

Estimação de parâmetros genéticos para produção de leite de vacas da raça Holandesa via regressão aleatória

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)