Ernst Schroeder and Zermelo’s Anticipation of Russell’s Paradox

Ernst Zermelo presented an argument showing that there is no set of all sets that are members of themselves in a letter to Edmund Husserl on April 16th of 1902, and so just barely anticipated the same contradiction in Betrand Russell’s letter to Frege from June 16th of that year. This paper traces the origins of Zermelo’s paradox in Husserl’s criticisms of a peculiar argument in Ernst Schroeder’s 1890 Algebra der Logik. Frege had also criticized that argument in his 1985 “A Critical Elucidation of Some Points in E. Schroeder Vorlesungen über die Algebra der Logik”, but did not see the paradox that Zermelo found. Alonzo Church, in “Schroeder’s Anticipation of the Simple Theory of Types” from 1939, cricized Frege’s treatment of Schroeder’s views, but did not identify the connection with Russell’s paradox.

A non reductionist logicism with explicit definitions

This paper introduces and examines the logicist construction of Peano Arithmetic that can be performed into Leśniewski’s logical calculus of names called Ontology. Against neo-Fregeans, it is argued that a logicist program cannot be based on implicit definitions of the mathematical concepts. Using only explicit definitions, the construction to be presented here constitutes a real reduction of arithmetic to Leśniewski’s logic with the addition of an axiom of infinity. I argue however that such a program is not reductionist, for it only provides what I will call a picture of arithmetic, that is to say a specific interpretation of arithmetic in which purely logical entities play the role of natural numbers. The reduction does not show that arithmetic is simply a part of logic. The process is not of ontological significance, for numbers are not shown to be logical entities. This neo-logicist program nevertheless shows the existence of a purely analytical route to the knowledge of arithmetical laws.

Ontologie et théorie des ensembles

L’ontologie de Leśniewski est un calcul général des noms. Elle fut créée par Leśniewski pour apporter une solution naturelle au paradoxe de Russell en théorie naïve des ensembles. L’ontologie a été perçue par ses défenseurs et par ses adversaires comme une théorie incompatible avec la théorie des ensembles. Dans le présent texte, nous montrons que l’ontologie de Leśniewski permet, au contraire, de définir une théorie des ensembles qui coïncide avec la théorie de Zermelo- Fraenkel.

De Kronecker à Gödel via Hilbert. Les fondements arithmétiques et une crise sans fondement

La crise des fondements n’a pas affecté les fondements arithmétiques du constructivisme de Kronecker, Bien plutôt, c’est le finitisme kroneckerien de la théorie de l’arithmétique générale ou polynomiale qui a permis à Hilbert de surmonter la crise des fondements ensemblistes et qui a poussé Gödel, inspiré par Hilbert, à proposer une extension du point de vue finitiste pour obtenir une preuve constructive de la consistance de l’arithmétique dans son interprétation fonctionnelle « Dialectica ».

La méthode axiomatique durant la crise des fondements

Ce texte examine la méthode axiomatique durant la période de l’histoire des mathématiques correspondant à la crise des fondements. Il a pour objectif de montrer que la méthode axiomatique changea, mais aussi de comprendre la nature de ces changements. À cette fin, les conceptions de Frege, Hilbert et Noether sont analysées.

Embracing the Crisis in the Foundations of Mathematics

The crisis in the foundations of mathematics is a conceptual crisis. I suggest that we embrace the crisis and adopt a pluralist position towards foundations. There are many foundations in mathematics. However, ‘many foundations’ (for one building) is an oxymoron. Therefore, we shift vocabulary to say that mathematics, as one discipline, is composed of many different theories. This entails that there are no absolute mathematical truths, only truths within a theory. There is no unified, consistent ontology, only ontology within a theory.

La logique ordinale de Turing

Dans Systems of logic based on ordinals (1939), Turing explore les possibilités de minimiser les effets du théorème d’incomplétude pour l’arithmétique par le biais d’une logique ordinale. Nous rendons ici compte de cette recherche méconnue menée par Turing sur les fondements des mathématiques en replaçant ses apports dans le contexte actuel de la théorie de la calculabilité.

L’écocentrisme et ses appels normatifs à la nature : sont-ils nécessairement fallacieux ?

Cet article examine les appels normatifs à la nature tels qu’ils interviennent dans l’écocentrisme. Il expose d’abord la ressemblance entre ces appels à la nature tels qu’ils se présentent dans l’écocentrisme et dans les éthiques naturalistes plus traditionnelles. Il se penche ensuite sur deux objections auxquelles cette ressemblance rend apparemment l’écocentrisme vulnérable : l’objection du sophisme naturaliste et l’objection des maux naturels. L’article fait valoir que l’objection du sophisme naturaliste, lorsque soulevée contre l’écocentrisme et les éthiques naturalistes en général, confond une question d’éthique normative avec une question métaéthique. Ensuite, l’article expose diverses variantes de l’objection des maux naturels et montre que l’écocentrisme parvient à les éviter, d’une part, en distinguant deux manières d’accorder de la valeur à la nature, et d’autre part, en insistant sur les bienfaits qu’apporte la nature écologique à l’être humain. L’article conclut donc que ces deux objections échouent à présenter des problèmes sérieux pour l’écocentrisme.

L’argumentation fallacieuse de Spencer : une étude du sophisme naturaliste selon Hume, Moore et Frankena

En raison du changement considérable que les thèses soutenues par Spencer ont subi au long de sa vie, le sophisme naturaliste est souvent associé à l’ensemble de son corpus. En analysant les différentes formes d’argumentation fallacieuse dénotées par ce sophisme ainsi que les raisons pour lesquelles ces méthodes argumentatives sont sophistiques, nous argumenterons que seule la doctrine soutenue par Spencer dans ses écrits de jeunesse commet le sophisme naturaliste de Hume. Cependant, la thèse plus tardivement développée par Spencer, quoiqu’erronée sur plusieurs points, ne peut être accusée d’être fallacieuse.

La Revue trimestrielle canadienne.

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