Problèmes de premier passage et de commande optimale pour des chaînes de Markov à temps discret.

Nous considérons des processus de diffusion, définis par des équations différentielles stochastiques, et puis nous nous intéressons à des problèmes de premier passage pour les chaînes de Markov en temps discret correspon- dant à ces processus de diffusion. Comme il est connu dans la littérature, ces chaînes convergent en loi vers la solution des équations différentielles stochas- tiques considérées. Notre contribution consiste à trouver des formules expli- cites pour la probabilité de premier passage et la durée de la partie pour ces chaînes de Markov à temps discret. Nous montrons aussi que les résultats ob- tenus convergent selon la métrique euclidienne (i.e topologie euclidienne) vers les quantités correspondantes pour les processus de diffusion. En dernier lieu, nous étudions un problème de commande optimale pour des chaînes de Markov en temps discret. L’objectif est de trouver la valeur qui mi- nimise l’espérance mathématique d’une certaine fonction de coût. Contraire- ment au cas continu, il n’existe pas de formule explicite pour cette valeur op- timale dans le cas discret. Ainsi, nous avons étudié dans cette thèse quelques cas particuliers pour lesquels nous avons trouvé cette valeur optimale.

Analyse de groupe d’un modèle de la plasticité idéale planaire et sur les solutions en termes d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obtenir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une variable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs solutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est développée. Elle est applicable directement à des systèmes non-homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite.

Simulation de la nage anguilliforme

Ce document traite premièrement des diverses tentatives de modélisation et de simulation de la nage anguilliforme puis élabore une nouvelle technique, basée sur la méthode de la frontière immergée généralisée et la théorie des poutres de Reissner-Simo. Cette dernière, comme les équations des fluides polaires, est dérivée de la mécanique des milieux continus puis les équations obtenues sont discrétisées afin de les amener à une résolution numérique. Pour la première fois, la théorie des schémas de Runge-Kutta additifs est combinée à celle des schémas de Runge-Kutta-Munthe-Kaas pour engendrer une méthode d’ordre de convergence formel arbitraire. De plus, les opérations d’interpolation et d’étalement sont traitées d’un nouveau point de vue qui suggère l’usage des splines interpolatoires nodales en lieu et place des fonctions d’étalement traditionnelles. Enfin, de nombreuses vérifications numériques sont faites avant de considérer les simulations de la nage.

Modélisation mathématique de la propagation de la malaria.

Un modèle mathématique de la propagation de la malaria en temps discret est élaboré en vue de déterminer l'influence qu'un déplacement des populations des zones rurales vers les zones urbaines aurait sur la persistance ou la diminution de l'incidence de la malaria. Ce modèle, sous la forme d'un système de quatorze équations aux différences finies, est ensuite comparé à un modèle analogue mais en temps continu, qui prend la forme d'équations différentielles ordinaires. Une étude comparative avec la littérature récente permet de déterminer les forces et les faiblesses de notre modèle.

Sur un modèle d'érythropoïèse comportant un taux de mortalité dynamique

Ce mémoire concerne la modélisation mathématique de l’érythropoïèse, à savoir le processus de production des érythrocytes (ou globules rouges) et sa régulation par l’érythropoïétine, une hormone de contrôle. Nous proposons une extension d’un modèle d’érythropoïèse tenant compte du vieillissement des cellules matures. D’abord, nous considérons un modèle structuré en maturité avec condition limite mouvante, dont la dynamique est capturée par des équations d’advection. Biologiquement, la condition limite mouvante signifie que la durée de vie maximale varie afin qu’il y ait toujours un flux constant de cellules éliminées. Par la suite, des hypothèses sur la biologie sont introduites pour simplifier ce modèle et le ramener à un système de trois équations différentielles à retard pour la population totale, la concentration d’hormones ainsi que la durée de vie maximale. Un système alternatif composé de deux équations avec deux retards constants est obtenu en supposant que la durée de vie maximale soit fixe. Enfin, un nouveau modèle est introduit, lequel comporte un taux de mortalité augmentant exponentiellement en fonction du niveau de maturité des érythrocytes. Une analyse de stabilité linéaire permet de détecter des bifurcations de Hopf simple et double émergeant des variations du gain dans la boucle de feedback et de paramètres associés à la fonction de survie. Des simulations numériques suggèrent aussi une perte de stabilité causée par des interactions entre deux modes linéaires et l’existence d’un tore de dimension deux dans l’espace de phase autour de la solution stationnaire.

Méthodes rapides et efficaces pour la résolution numérique d'équations de type Hamilton-Jacobi avec application à la simulation de feux de forêt

Cette thèse est divisée en trois chapitres. Le premier explique comment utiliser la méthode «level-set» de manière rigoureuse pour faire la simulation de feux de forêt en utilisant comme modèle physique pour la propagation le modèle de l'ellipse de Richards. Le second présente un nouveau schéma semi-implicite avec une preuve de convergence pour la solution d'une équation de type Hamilton-Jacobi anisotrope. L'avantage principal de cette méthode est qu'elle permet de réutiliser des solutions à des problèmes «proches» pour accélérer le calcul. Une autre application de ce schéma est l'homogénéisation. Le troisième chapitre montre comment utiliser les méthodes numériques des deux premiers chapitres pour étudier l'influence de variations à petites échelles dans la vitesse du vent sur la propagation d'un feu de forêt à l'aide de la théorie de l'homogénéisation.

Caractère intrinsèque des matrices de Stokes

Il est connu qu’une équation différentielle linéaire, x^(k+1)Y' = A(x)Y, au voisinage d’un point singulier irrégulier non-résonant est uniquement déterminée (à isomorphisme analytique près) par : (1) sa forme normale formelle, (2) sa collection de matrices de Stokes. La définition des matrices de Stokes fait appel à un ordre sur les parties réelles des valeurs propres du système, ordre qui peut être perturbé par une rotation en x. Dans ce mémoire, nous avons établi le caractère intrinsèque de cette relation : nous avons donc établi comment la nouvelle collection de matrices de Stokes obtenue après une rotation en x qui change l’ordre des parties réelles des valeurs propres dépend de la collection initiale. Pour ce faire, nous donnons un chapitre de préliminaires généraux sur la forme normale des équations différentielles ordinaires puis un chapitre sur le phénomène de Stokes pour les équations différentielles linéaires. Le troisième chapitre contient nos résultats.

Field Equilibrium Finite Elements for Structural Analysis

Many finite elements used in structural analysis possess deficiencies like shear locking, incompressibility locking, poor stress predictions within the element domain, violent stress oscillation, poor convergence etc. An approach that can probably overcome many of these problems would be to consider elements in which the assumed displacement functions satisfy the equations of stress field equilibrium. In this method, the finite element will not only have nodal equilibrium of forces, but also have inner stress field equilibrium. The displacement interpolation functions inside each individual element are truncated polynomial solutions of differential equations. Such elements are likely to give better solutions than the existing elements.In this thesis, a new family of finite elements in which the assumed displacement function satisfies the differential equations of stress field equilibrium is proposed. A general procedure for constructing the displacement functions and use of these functions in the generation of elemental stiffness matrices has been developed. The approach to develop field equilibrium elements is quite general and various elements to analyse different types of structures can be formulated from corresponding stress field equilibrium equations. Using this procedure, a nine node quadrilateral element SFCNQ for plane stress analysis, a sixteen node solid element SFCSS for three dimensional stress analysis and a four node quadrilateral element SFCFP for plate bending problems have been formulated.For implementing these elements, computer programs based on modular concepts have been developed. Numerical investigations on the performance of these elements have been carried out through standard test problems for validation purpose. Comparisons involving theoretical closed form solutions as well as results obtained with existing finite elements have also been made. It is found that the new elements perform well in all the situations considered. Solutions in all the cases converge correctly to the exact values. In many cases, convergence is faster when compared with other existing finite elements. The behaviour of field consistent elements would definitely generate a great deal of interest amongst the users of the finite elements.

Studies on the dynamics and rheology of dilute suspensions of Brownian particles in simple shear flow under the action of an external force

We present a novel approach to computing the orientation moments and rheological properties of a dilute suspension of spheroids in a simple shear flow at arbitrary Peclct number based on a generalised Langevin equation method. This method differs from the diffusion equation method which is commonly used to model similar systems in that the actual equations of motion for the orientations of the individual particles are used in the computations, instead of a solution of the diffusion equation of the system. It also differs from the method of 'Brownian dynamics simulations' in that the equations used for the simulations are deterministic differential equations even in the presence of noise, and not stochastic differential equations as in Brownian dynamics simulations. One advantage of the present approach over the Fokker-Planck equation formalism is that it employs a common strategy that can be applied across a wide range of shear and diffusion parameters. Also, since deterministic differential equations are easier to simulate than stochastic differential equations, the Langevin equation method presented in this work is more efficient and less computationally intensive than Brownian dynamics simulations.We derive the Langevin equations governing the orientations of the particles in the suspension and evolve a procedure for obtaining the equation of motion for any orientation moment. A computational technique is described for simulating the orientation moments dynamically from a set of time-averaged Langevin equations, which can be used to obtain the moments when the governing equations are harder to solve analytically. The results obtained using this method are in good agreement with those available in the literature.The above computational method is also used to investigate the effect of rotational Brownian motion on the rheology of the suspension under the action of an external force field. The force field is assumed to be either constant or periodic. In the case of con- I stant external fields earlier results in the literature are reproduced, while for the case of periodic forcing certain parametric regimes corresponding to weak Brownian diffusion are identified where the rheological parameters evolve chaotically and settle onto a low dimensional attractor. The response of the system to variations in the magnitude and orientation of the force field and strength of diffusion is also analyzed through numerical experiments. It is also demonstrated that the aperiodic behaviour exhibited by the system could not have been picked up by the diffusion equation approach as presently used in the literature.The main contributions of this work include the preparation of the basic framework for applying the Langevin method to standard flow problems, quantification of rotary Brownian effects by using the new method, the paired-moment scheme for computing the moments and its use in solving an otherwise intractable problem especially in the limit of small Brownian motion where the problem becomes singular, and a demonstration of how systems governed by a Fokker-Planck equation can be explored for possible chaotic behaviour.

Model of single-electron decay from a strongly isolated quantum dot

Recent measurements of electron escape from a nonequilibrium charged quantum dot are interpreted within a two-dimensional (2D) separable model. The confining potential is derived from 3D self-consistent Poisson-Thomas-Fermi calculations. It is found that the sequence of decay lifetimes provides a sensitive test of the confining potential and its dependence on electron occupation

Some non- linear problems in theoretical physics

An immense variety of problems in theoretical physics are of the non-linear type. Non~linear partial differential equations (NPDE) have almost become the rule rather than an exception in diverse branches of physics such as fluid mechanics, field theory, particle physics, statistical physics and optics, and the construction of exact solutions of these equations constitutes one of the most vigorous activities in theoretical physics today. The thesis entitled ‘Some Non-linear Problems in Theoretical Physics’ addresses various aspects of this problem at the classical level. For obtaining exact solutions we have used mathematical tools like the bilinear operator method, base equation technique and similarity method with emphasis on its group theoretical aspects. The thesis deals with certain methods of finding exact solutions of a number of non-linear partial differential equations of importance to theoretical physics. Some of these new solutions are of relevance from the applications point of view in diverse branches such as elementary particle physics, field theory, solid state physics and non-linear optics and give some insight into the stable or unstable behavior of dynamical Systems The thesis consists of six chapters.

Studies on the universal parameters and onset of chaos in dissipative systems

It has become clear over the last few years that many deterministic dynamical systems described by simple but nonlinear equations with only a few variables can behave in an irregular or random fashion. This phenomenon, commonly called deterministic chaos, is essentially due to the fact that we cannot deal with infinitely precise numbers. In these systems trajectories emerging from nearby initial conditions diverge exponentially as time evolves)and therefore)any small error in the initial measurement spreads with time considerably, leading to unpredictable and chaotic behaviour The thesis work is mainly centered on the asymptotic behaviour of nonlinear and nonintegrable dissipative dynamical systems. It is found that completely deterministic nonlinear differential equations describing such systems can exhibit random or chaotic behaviour. Theoretical studies on this chaotic behaviour can enhance our understanding of various phenomena such as turbulence, nonlinear electronic circuits, erratic behaviour of heart and brain, fundamental molecular reactions involving DNA, meteorological phenomena, fluctuations in the cost of materials and so on. Chaos is studied mainly under two different approaches - the nature of the onset of chaos and the statistical description of the chaotic state.

Studies on some aspects of wave propagation through nonlinear media

Nonlinearity is a charming element of nature and Nonlinear Science has now become one of the most important tools for the fundamental understanding of the nature. Solitons— solutions of a class of nonlinear partial differential equations — which propagate without spreading and having particle— like properties represent one of the most striking aspects of nonlinear phenomena. The study of wave propagation through nonlinear media has wide applications in different branches of physics.Different mathematical techniques have been introduced to study nonlinear systems. The thesis deals with the study of some of the aspects of electromagnetic wave propagation through nonlinear media, viz, plasma and ferromagnets, using reductive perturbation method. The thesis contains 6 chapters

Error estimates for approximate approximations on compact intervals

The aim of this paper is the investigation of the error which results from the method of approximate approximations applied to functions defined on compact in- tervals, only. This method, which is based on an approximate partition of unity, was introduced by V. Mazya in 1991 and has mainly been used for functions defied on the whole space up to now. For the treatment of differential equations and boundary integral equations, however, an efficient approximation procedure on compact intervals is needed. In the present paper we apply the method of approximate approximations to functions which are defined on compact intervals. In contrast to the whole space case here a truncation error has to be controlled in addition. For the resulting total error pointwise estimates and L1-estimates are given, where all the constants are determined explicitly.