O quadrado mágico de Benjamin Franklin

Benjamin Franklin (1706-1790) foi jornalista, cientista, inventor, homem de estado e diplomata. (...) Benjamin Franklin era um entusiasta de quadrados mágicos. Chegou mesmo a criar os seus próprios quadrados. O mais conhecido é o quadrado 8 por 8 apresentado na imagem. Numa carta publicada em 1769, Franklin refere: "Na minha juventude, divertia-me a construir quadrados mágicos, de modo a que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais principais fosse sempre a mesma; com o passar do tempo, conseguia criar quadrados mágicos, de tamanho razoável, tão depressa quanto conseguia escrever os números nas suas linhas e colunas; mas, por não estar totalmente satisfeito com estes quadrados, que eram demasiado fáceis, impus a mim mesmo o desafio de construir outro tipo de quadrados mágicos, que apresentassem propriedades mais ricas e que constituíssem, assim, um maior estímulo à curiosidade." Em relação ao quadrado mágico da imagem, são utilizados todos os números naturais, do 1 ao 8x8=64, uma e uma só vez. Além disso, a soma dos números de cada linha e de cada coluna é sempre igual a 260, a constante mágica. Existem muitas outras formas de obter o valor 260 (...)

Análise por dados em painel do status de saúde no Nordeste Brasileiro

OBJETIVO: Analisar fatores determinantes do status de saúde em cada estado da Região Nordeste do Brasil. MÉTODOS: Estudo utilizando a metodologia de dados em painel, com informações agregadas para municípios. Os dados compreendem os anos de 1991 e 2000, e foram obtidos no Atlas do Desenvolvimento Humano do Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento, e Secretaria do Tesouro Nacional. Utilizou-se como indicador do status de saúde, a taxa de mortalidade infantil, e como determinantes as variáveis: gastos com saúde e saneamento per capita, números de médicos por mil habitantes, acesso à água tratada, taxa de fecundidade e de analfabetismo, percentual de mães adolescentes, renda per capita e índice de Gini. RESULTADOS: As taxas de mortalidade infantil na região Nordeste reduziram-se em 31,8% no período analisado, desempenho pouco superior ao apresentado para a média nacional. No entanto, em alguns estados, como Rio Grande do Norte, Bahia, Ceará e Alagoas, a redução foi mais significativa. Isso pode ser atribuído à melhora de alguns indicadores que são os principais determinantes da redução da taxa de mortalidade infantil: maior acesso à educação, redução da taxa de fecundidade, aumento da renda, e do acesso à água. CONCLUSÕES: Os estados que apresentaram maiores ganhos no acesso à água tratada, educação, renda e redução da taxa de fecundidade, foram também os que obtiveram maiores ganhos na redução da mortalidade de menores de um ano de idade.

Uso de sistemas de informação geográfica em campanhas de vacinação contra a raiva

OBJETIVO: Desenvolver método para planejamento e avaliação de campanhas de vacinação contra a raiva animal. MÉTODOS: O desenvolvimento da metodologia baseou-se em sistemas de informação geográfica para estimar a população e a densidade animal (canina e felina) por setores censitários e subprefeituras do município de São Paulo, em 2002. O número de postos de vacinação foi estimado para atingir uma dada cobertura vacinal. Foram utilizadas uma base de dados censitários para a população humana, e estimativas para razões cão:habitante e gato:habitante. RESULTADOS: Os números estimados foram de 1.490.500 cães e 226.954 gatos em São Paulo, uma densidade populacional de 1.138,14 animais domiciliados por km². Foram vacinados, na campanha de 2002, 926.462 animais, garantindo uma cobertura vacinal de 54%. O número total estimado de postos no município para atingir uma cobertura vacinal de 70%, vacinando em média 700 animais por posto foi de 1.729. Estas estimativas foram apresentadas em mapas de densidade animal, segundo setores censitários e subprefeituras. CONCLUSÕES: A metodologia desenvolvida pode ser aplicada de forma sistemática no planejamento e no acompanhamento das campanhas de vacinação contra a raiva, permitindo que sejam identificadas áreas de cobertura vacinal crítica.

Curiosidades numéricas : O nascimento do zero

Neste artigo, vamos viajar no tempo e assistir ao nascimento do zero. (...) As origens da Matemática remontam a alguns milhares de anos antes das primeiras civilizações e derivaram da necessidade de contar objetos. Em primeiro lugar, foi necessário distinguir um objeto de muitos objetos (caçar um pássaro ou muitos pássaros). Com o passar do tempo, a linguagem desenvolveu-se para distinguir entre um, dois e muitos. Em seguida, um, dois, três e muitos. (...) O passo seguinte consistiu em agrupar objetos de forma a facilitar a contagem. (...) A verdade é que os antigos gostavam de contar com as partes do seu corpo. Os favoritos eram o 5 (uma mão), o 10 (as duas mãos) e o 20 (ambas as mãos e os pés). O sistema numérico de base 10 acabou por vingar em muitas culturas e isso refletiu-se no vocabulário que ainda hoje utilizamos. Em português, as palavras “onze”, “doze” e “treze” derivam do latim (undecim, duodecim e tredecim), significando “dez e um”, “dez e dois” e “dez e três”. (...) Os sistemas antigos de numeração não contemplaram o zero. A verdade é que ninguém precisava de registar “zero ovelhas” nem contar “zero aves”. Em vez de dizer “tenho zero lanças”, bastava afirmar “não tenho lanças”. Como não era preciso um número para expressar a falta de alguma coisa, não ocorreu a necessidade de atribuir um símbolo à ausência de objetos. (...) O sistema de numeração grego, tal como o egípcio, ignorou por completo o zero. O zero nasceu noutra zona do globo: no Oriente, concretamente, no Crescente Fértil do atual Iraque. O sistema de numeração babilónico era, de certa forma, invulgar. Os babilónios tinham um sistema sexagesimal, de base 60, e usavam apenas duas marcas para representar os seus números: uma cunha simples para representar o 1 e uma cunha dupla para representar o 10. (...) os babilónios tiveram uma excelente ideia: inventaram um sistema de numeração posicional, em que os números são representados por sequências de símbolos, sendo que o valor de cada símbolo depende da posição que ocupa nessa sequência. (...) Para os babilónios, o zero era um simples marca-lugar; um símbolo para uma casa em branco no ábaco. O zero não ocupava um lugar na hierarquia dos números; não tinha ainda assumido a sua posição estratégica na reta numérica como o número que separa os números positivos dos negativos. (...)

Curiosidades numéricas : Das origens do zero aos desafios do novo milénio

(...) Tal como os babilónios, os maias do México e da América Central criaram um sistema de numeração posicional. A diferença é que o sistema era vigesimal, de base 20. Os maias também recorriam ao zero para a escrita dos números e utilizavam dois tipos de dígitos (...) O sistema de numeração indiano acabou por evoluir de um sistema do tipo grego para um sistema do tipo babilónico (...) Os indianos encararam com naturalidade a existência de números negativos, bem como da reta numérica em que o zero assumia finalmente o estatuto de número com a posição estratégica de separar os números positivos dos negativos. (...) A própria palavra “zero” tem raízes hindu-árabes. O nome indiano para zero era sunya, que significava “vazio”. Os árabes transformaram-no em sifr. Por sua vez, os ocidentais adotaram uma designação que soasse a latim – zephirus, que é a raiz da nossa palavra “zero”. (...) No Ocidente, o medo do infinito e o horror ao vazio perpetuaram-se durante séculos. Partindo do universo pitagórico, Aristóteles e Ptolemeu defendiam um cosmos finito em extensão, mas cheio de matéria. O universo estava contido numa “casca de noz” revestida pela esfera das estrelas fixas. (...) A falta do zero não só impediu o desenvolvimento da Matemática no Ocidente como, indiretamente, introduziu alguma confusão no nosso calendário. Todos nos lembramos das dúvidas que surgiram com a viragem recente de século e milénio: deveríamos festejar a mudança de século e milénio na passagem de ano de 1999 para 2000 ou de 2000 para 2001? A resposta correta é a segunda opção e a justificação é simples: o nosso calendário não contempla o zero. (...) Com o Renascimento, o universo de casca de noz partiu-se, o vazio e o infinito ultrapassaram por completo os preconceitos da fundação aristotélica da Igreja e abriram caminho para um desenvolvimento notável da ciência e, em particular, da Matemática. O zero assumiu um papel chave no desenvolvimento de várias áreas da Matemática, entre elas destaca-se o cálculo diferencial e integral. O edifício matemático, que outrora tinha sido alicerçado partindo da necessidade de contar ovelhas e demarcar propriedades, erguia-se agora bem alto: as regras da Natureza podiam ser descritas por equações e a Matemática era a chave para desvendar os segredos do Universo. (...) O zero não pode ser ignorado. De facto, o zero está na base de muitos dos segredos do Universo, a desvendar neste novo milénio.

Modelo de data mining para deteção de embolias pulmonares

Trabalho de Projeto para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Informática e de Computadores

Ensino da Matemática : as primeiras explorações da ordem das dezenas

O nosso sistema de numeração decimal é um sistema de natureza posicional: os números são representados por sequências de símbolos, sendo que o valor de cada símbolo depende da posição que ocupa nessa sequência. Por exemplo, quando escrevemos o numeral relativo ao número treze, “13”, estamos na realidade a utilizar uma numeração mista: “1” vale uma dezena e “3” vale três unidades. Treze, na sua escrita matemática atual, traduz a organização uma dezena mais três unidades; dez unidades de uma ordem numérica são alvo de uma composição para uma unidade da ordem numérica seguinte, o que traduz a essência de um sistema posicional de base 10. Por isso, o “10” desempenha um papel de extrema importância e a forma como as crianças desenvolvem as primeiras explorações do nosso sistema de numeração é determinante para as suas aprendizagens futuras. (...) Para estimular uma verdadeira compreensão da ordem das dezenas, as atividades típicas são: (a) Separa 10 e diz o número; (b) Pinta 10 e diz o número; (c) Utilização de dispositivos com algarismos móveis (presentes em todos os manuais do bem sucedido método de Singapura). Vejamos como podemos promover a compreensão da ordem das dezenas e ultrapassar com eficácia a “barreira” do 10. (...)

Frações (parte I)

A temática das frações é provavelmente o assunto mais delicado no que diz respeito ao ensino da matemática inicial. Por terem múltiplas aplicações, contextos e sentidos, as frações pedem um ensino altamente especializado e esmerado. Há que modelar de forma cuidadosa o conceito de fração, fasear e ordenar os nós conceptuais ao longo dos anos e dosear o caráter abstrato/concreto dos exemplos e atividades. Muito se testou, teorizou e escreveu sobre esta temática. Este trabalho consiste num resumo alargado sobre o ensino das frações, documentado em literatura especializada e ilustrado através de exemplos concretos retirados de manuais do Singapore Math, um dos mais cotados métodos de ensino do mundo.

Circunferências mágicas

(...) A ideia original das circunferências mágicas remonta pelo menos à segunda edição do livro “Magic Squares and Cubes”, de W. S. Andrews. A publicação data de 1917, há quase um século, e conta com contributos de diferentes autores. A secção dedicada às circunferências mágicas é da autoria de Harry A. Sayles. (...) O leitor provavelmente já encontrou um padrão: quando usamos números de 1 a n, a soma dos números dos pontos de intersecção de duas quaisquer circunferências deve ser n+1. No desafio apresentado na Fig. A usamos os números de 1 a 40, logo a soma dos números dos pontos de intersecção de duas quaisquer circunferências deve ser igual a 41! Além disso, 205=5x41 (cada circunferência tem dez números e 5 é metade de 10). A descoberta da solução do desafio da Fig. A é, agora, imediata. Esta é a grande vantagem da Matemática. Depois de descoberto um padrão, tudo se torna mais claro. O sentimento é o mesmo de um míope quando coloca os óculos na cara: passa a ver a realidade com outra nitidez. (...)

Prevalência de diabetes e hipertensão no Brasil baseada em inquérito de morbidade auto-referida, Brasil, 2006

OBJETIVO: Estimar a prevalência de diabetes e de hipertensão auto-referidas e seus números absolutos no Brasil. MÉTODOS: Foram analisados dados referentes aos 54.369 indivíduos com idade >18 anos entrevistados pelo sistema de Vigilância de Fatores de Risco e Proteção para Doenças Crônicas por Inquérito Telefônico (VIGITEL), realizado nas 27 capitais brasileiras em 2006, que responderam positivamente a questões sobre pressão alta e diabetes. Os percentuais de hipertensão e diabetes auto-referidas estimados na amostra foram projetados para a população brasileira segundo idade, sexo e estado nutricional, utilizando o método direto de padronização. RESULTADOS: A prevalência de diabetes foi de 5,3%, maior entre as mulheres (6,0% vs. 4,4%), variando de 2,9% em Palmas (TO) a 6,2% em São Paulo (SP). A prevalência de hipertensão foi de 21,6% (21,3;22,0), maior entre as mulheres (24,4% vs. 18,4%), variando de 15,1% em Palmas a 24,9% em Recife (PE). As prevalências aumentaram com categorias de idade e nutrição. Estimou-se haver no Brasil um total de 6.317.621 de adultos que referem ter diabetes e 25.690.145 de adultos que referem ter hipertensão. CONCLUSÕES: As prevalências de diabetes e hipertensão auto-referidas são elevadas no Brasil. O monitoramento destas e outras condições de saúde pode ser feito por estratégias como a do VIGITEL, preferencialmente se acompanhado de estudos de validação, visando a generalização de resultados.

A capacidade de subitizing em crianças de 4 anos

Dissertação apresentada à escola Superior de Educação de Lisboa para obtenção de grau de mestre em Educação Matemática na Educação Pré-Escolar e nos 1º e 2º Ciclos do Ensino Básico

A emergência do número fracionário no contexto da divisão de inteiros: um contributo para o conhecimento matemático de Futuros professores dos 1.º e 2.º ciclos do ensino básico

Este texto tem como propósito contribuir para a valorização, no seio da Educação Matemática, do desenvolvimento do conhecimento matemático dos futuros professores dos 1.º e 2.º ciclos, no contexto da formação inicial. Foco-me na emergência do número fracionário no contexto da divisão de números inteiros com a preocupação de aprofundar o sentido de número racional e a compreensão da divisão, conceitos estruturantes do programa de Matemática do Ensino Básico. O tópico programático “Números racionais”, além de ter fundamental importância no desenvolvimento matemático dos alunos do Ensino Básico, representa para muitos estudantes, futuros professores, uma grande dificuldade conceptual e didática. Justifica-se, portanto, que continue a ser-lhe dada muita atenção na formação inicial, além do desenvolvimento de estudos a ele inerentes. Com um exemplo de medida de uma grandeza, contextualizo a necessidade de criar o número fracionário e identifico o problema aritmético a ela associado. Assim, partindo de situações de partilha equitativa e de medida que envolvem variáveis discretas para enquadrar a operação divisão como modelo matemático, apresento a evolução do conceito de número ligada à superação da impossibilidade de, no universo dos números inteiros, determinar o quociente de um dividendo que não é múltiplo do divisor. O conceito de número fracionário aparece como instrumento da superação e ligado ao significado de fração enquanto quociente. Se este artigo contribuir para uma adequada articulação entre o desenvolvimento dos conhecimentos matemático e didático tão necessário ao ensino da Matemática satisfará o principal objetivo que me propus atingir.

A tarefa como instrumento de desenvolvimento da flexibilidade de cálculo

Este artigo insere-se no Projeto Pensamento numérico e cálculo flexível: Aspetos críticos e situa-se no âmbito de um dos seus objetivos: o design de tarefas, tendo em conta o conhecimento atual sobre números e operações. Começa por discutir teoricamente o constructo de flexibilidade de cálculo bem como os fundamentos subjacentes ao design de tarefas. Seguidamente, apresenta uma tarefa envolvendo a estrutura aditiva e discute dois níveis diferentes de desenvolvimento do pensamento numérico a que correspondem duas abordagens diferentes de exploração da tarefa pelos alunos. Visa-se articular o conhecime nto sobre a evolução dos conhecimentos numéricos dos alunos e a caracterização das suas trajetórias de aprendizagem, com o suporte profissional dos professores para práticas que favoreçam essa mesma evolução. Esta hierarquização de diferentes desempenhos dos alunos é suportada por resultados empíricos obtidos com a condução de entrevistas clínicas individuais a quatro alunos, dois do 1.º ano e dois do 2.º ano. Assim, o presente artigo apresenta o processo cíclico inerente ao design de uma tarefa em particular: (1) a tarefa pensada como adequada para desenvolver o cálculo mental flexível e adaptativo dos alunos; (2) análise do que as crianças reparam nos números e como usam o seu conhecime nto numérico e operatório para resolver a tarefa em causa ao longo das entrevistas clínicas; e (3) reformulação da tarefa.

Acurácia do relacionamento probabilístico na avaliação da alta complexidade em cardiologia

OBJETIVO: Avaliar a viabilidade de estratégia de relacionamento probabilístico de bases de dados na identificação de óbitos de pacientes submetidos a procedimentos de alta complexidade em cardiologia. MÉTODOS: O custo de processamento foi estimado com base em 1.672 registros de pacientes submetidos à cirurgia de revascularização do miocárdio, relacionados com todos os registros de óbito no Brasil em 2005. A acurácia do relacionamento baseou-se em linkage probabilístico entre 99 registros de autorização de internação hospitalar de pacientes submetidos a cirurgias cardíacas em instituto de referência em cardiologia, com status vital conhecido, e todos os registros de óbito do estado do Rio de Janeiro em 2005. O linkage foi realizado em quatro etapas: padronização das bases, blocagem, pareamento e classificação dos pares. Utilizou-se a blocagem em cinco passos, com chaves de blocagem com combinação de variáveis como soundex do primeiro e último nome, sexo e ano de nascimento. As variáveis utilizadas no pareamento foram "nome completo", com a utilização da distância de Levenshtein, e "data de nascimento". RESULTADOS: O segundo e o quinto passos de blocagem tiveram os maiores números de pares formados e os maiores tempos de processamento para o pareamento. O quarto passo demandou menor custo de processamento. No estudo de acurácia, após os cinco passos de blocagem, a sensibilidade do linkage foi de 90,6% e a especificidade foi de 100%. CONCLUSÕES: A estratégia de relacionamento probabilístico utilizada apresenta boa acurácia e poderá ser utilizada em estudos sobre a efetividade dos procedimentos de alta complexidade e alto custo em cardiologia.

Desenvolvimento de módulos para planeamento e controlo de execução de missões de veículos aéreos não tripulados

Com a evolução da tecnologia, os UAVs (unmanned aerial vehicles) são cada vez mais utilizados, não só em missões de risco para o ser Humano, mas também noutro tipo de missões, como é o caso de missões de inspeção, vigilância, busca e salvamento. Isto devese ao baixo custo das plataformas assim como à sua enorme fiabilidade e facilidade de operação. Esta dissertação surge da necessidade de aumentar a autonomia dos UAVs do projeto PITVANT (Projeto de Investigação e Tecnologia em Veículos Aéreos Não Tripulados), projeto de investigação colaborativa entre a AFA (Academia da Força Aérea) e a FEUP (Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto), relativamente ao planeamento de trajetórias entre dois pontos no espaço, evitando os obstáculos que intersetem o caminho. Para executar o planeamento da trajetória mais curta entre dois pontos, foi implementado o algoritmo de pesquisa A*, por ser um algoritmo de pesquisa de soluções ótimas. A área de pesquisa é decomposta em células regulares e o centro das células são os nós de pesquisa do A*. O tamanho de cada célula é dependente da dinâmica de cada aeronave. Para que as aeronaves não colidam com os obstáculos, foi desenvolvido um método numérico baseado em relações trigonométricas para criar uma margem de segurança em torno de cada obstáculo. Estas margens de segurança são configuráveis, sendo o seu valor por defeito igual ao raio mínimo de curvatura da aeronave à velocidade de cruzeiro. De forma a avaliar a sua escalabilidade, o algoritmo foi avaliado com diferentes números de obstáculos. As métricas utilizadas para avaliação do algoritmo foram o tempo de computação do mesmo e o comprimento do trajeto obtido. Foi ainda comparado o desempenho do algoritmo desenvolvido com um algoritmo já implementado, do tipo fast marching.