ConnectomeViewer - Multi-Modal Multi-Level Network Visualization and Analysis.

Introduction: The field of Connectomic research is growing rapidly, resulting from methodological advances in structural neuroimaging on many spatial scales. Especially progress in Diffusion MRI data acquisition and processing made available macroscopic structural connectivity maps in vivo through Connectome Mapping Pipelines (Hagmann et al, 2008) into so-called Connectomes (Hagmann 2005, Sporns et al, 2005). They exhibit both spatial and topological information that constrain functional imaging studies and are relevant in their interpretation. The need for a special-purpose software tool for both clinical researchers and neuroscientists to support investigations of such connectome data has grown. Methods: We developed the ConnectomeViewer, a powerful, extensible software tool for visualization and analysis in connectomic research. It uses the novel defined container-like Connectome File Format, specifying networks (GraphML), surfaces (Gifti), volumes (Nifti), track data (TrackVis) and metadata. Usage of Python as programming language allows it to by cross-platform and have access to a multitude of scientific libraries. Results: Using a flexible plugin architecture, it is possible to enhance functionality for specific purposes easily. Following features are already implemented: * Ready usage of libraries, e.g. for complex network analysis (NetworkX) and data plotting (Matplotlib). More brain connectivity measures will be implemented in a future release (Rubinov et al, 2009). * 3D View of networks with node positioning based on corresponding ROI surface patch. Other layouts possible. * Picking functionality to select nodes, select edges, get more node information (ConnectomeWiki), toggle surface representations * Interactive thresholding and modality selection of edge properties using filters * Arbitrary metadata can be stored for networks, thereby allowing e.g. group-based analysis or meta-analysis. * Python Shell for scripting. Application data is exposed and can be modified or used for further post-processing. * Visualization pipelines using filters and modules can be composed with Mayavi (Ramachandran et al, 2008). * Interface to TrackVis to visualize track data. Selected nodes are converted to ROIs for fiber filtering The Connectome Mapping Pipeline (Hagmann et al, 2008) processed 20 healthy subjects into an average Connectome dataset. The Figures show the ConnectomeViewer user interface using this dataset. Connections are shown that occur in all 20 subjects. The dataset is freely available from the homepage (connectomeviewer.org). Conclusions: The ConnectomeViewer is a cross-platform, open-source software tool that provides extensive visualization and analysis capabilities for connectomic research. It has a modular architecture, integrates relevant datatypes and is completely scriptable. Visit www.connectomics.org to get involved as user or developer.

Multifractal portrayal of the distribution of the Swiss population

The present research studies the spatial patterns of the distribution of the Swiss population (DSP). This description is carried out using a wide variety of global spatial structural analysis tools such as topological, statistical and fractal measures, which enable the estimation of the spatial degree of clustering of a point pattern. A particular attention is given to the analysis of the multifractality to characterize the spatial structure of the DSP at different scales. This will be achieved by measuring the generalized q-dimensions and the singularity spectrum. This research is based on high quality data of the Swiss Population Census of the Year 2000 at a hectometric resolution (grid 100 x 100 m) issued by the Swiss Federal Statistical Office (FSO).

Characterizing the connectome in schizophrenia with diffusion spectrum imaging.

Schizophrenia is a complex psychiatric disorder characterized by disabling symptoms and cognitive deficit. Recent neuroimaging findings suggest that large parts of the brain are affected by the disease, and that the capacity of functional integration between brain areas is decreased. In this study we questioned (i) which brain areas underlie the loss of network integration properties observed in the pathology, (ii) what is the topological role of the affected regions within the overall brain network and how this topological status might be altered in patients, and (iii) how white matter properties of tracts connecting affected regions may be disrupted. We acquired diffusion spectrum imaging (a technique sensitive to fiber crossing and slow diffusion compartment) data from 16 schizophrenia patients and 15 healthy controls, and investigated their weighted brain networks. The global connectivity analysis confirmed that patients present disrupted integration and segregation properties. The nodal analysis allowed identifying a distributed set of brain nodes affected in the pathology, including hubs and peripheral areas. To characterize the topological role of this affected core, we investigated the brain network shortest paths layout, and quantified the network damage after targeted attack toward the affected core. The centrality of the affected core was compromised in patients. Moreover the connectivity strength within the affected core, quantified with generalized fractional anisotropy and apparent diffusion coefficient, was altered in patients. Taken together, these findings suggest that the structural alterations and topological decentralization of the affected core might be major mechanisms underlying the schizophrenia dysconnectivity disorder. Hum Brain Mapp, 36:354-366, 2015. © 2014 Wiley Periodicals, Inc.

Information sharing and social network dynamics : a coevolutionary approach

The capacity to interact socially and share information underlies the success of many animal species, humans included. Researchers of many fields have emphasized the evo¬lutionary significance of how patterns of connections between individuals, or the social networks, and learning abilities affect the information obtained by animal societies. To date, studies have focused on the dynamics either of social networks, or of the spread of information. The present work aims to study them together. We make use of mathematical and computational models to study the dynamics of networks, where social learning and information sharing affect the structure of the population the individuals belong to. The number and strength of the relationships between individuals, in turn, impact the accessibility and the diffusion of the shared information. Moreover, we inves¬tigate how different strategies in the evaluation and choice of interacting partners impact the processes of knowledge acquisition and social structure rearrangement. First, we look at how different evaluations of social interactions affect the availability of the information and the network topology. We compare a first case, where individuals evaluate social exchanges by the amount of information that can be shared by the partner, with a second case, where they evaluate interactions by considering their partners' social status. We show that, even if both strategies take into account the knowledge endowments of the partners, they have very different effects on the system. In particular, we find that the first case generally enables individuals to accumulate higher amounts of information, thanks to the more efficient patterns of social connections they are able to build. Then, we study the effects that homophily, or the tendency to interact with similar partners, has on knowledge accumulation and social structure. We compare the case where individuals who know the same information are more likely to learn socially from each other, to the opposite case, where individuals who know different information are instead more likely to learn socially from each other. We find that it is not trivial to claim which strategy is better than the other. Depending on the possibility of forgetting information, the way new social partners can be chosen, and the population size, we delineate the conditions for which each strategy allows accumulating more information, or in a faster way For these conditions, we also discuss the topological characteristics of the resulting social structure, relating them to the information dynamics outcome. In conclusion, this work paves the road for modeling the joint dynamics of the spread of information among individuals and their social interactions. It also provides a formal framework to study jointly the effects of different strategies in the choice of partners on social structure, and how they favor the accumulation of knowledge in the population. - La capacité d'interagir socialement et de partager des informations est à la base de la réussite de nombreuses espèces animales, y compris les humains. Les chercheurs de nombreux domaines ont souligné l'importance évolutive de la façon dont les modes de connexions entre individus, ou réseaux sociaux et les capacités d'apprentissage affectent les informations obtenues par les sociétés animales. À ce jour, les études se sont concentrées sur la dynamique soit des réseaux sociaux, soit de la diffusion de l'information. Le présent travail a pour but de les étudier ensemble. Nous utilisons des modèles mathématiques et informatiques pour étudier la dynamique des réseaux, où l'apprentissage social et le partage d'information affectent la structure de la population à laquelle les individus appartiennent. Le nombre et la solidité des relations entre les individus ont à leurs tours un impact sur l'accessibilité et la diffusion de l'informa¬tion partagée. Par ailleurs, nous étudions comment les différentes stratégies d'évaluation et de choix des partenaires d'interaction ont une incidence sur les processus d'acquisition des connaissances ainsi que le réarrangement de la structure sociale. Tout d'abord, nous examinons comment des évaluations différentes des interactions sociales influent sur la disponibilité de l'information ainsi que sur la topologie du réseau. Nous comparons un premier cas, où les individus évaluent les échanges sociaux par la quantité d'information qui peut être partagée par le partenaire, avec un second cas, où ils évaluent les interactions en tenant compte du statut social de leurs partenaires. Nous montrons que, même si les deux stratégies prennent en compte le montant de connaissances des partenaires, elles ont des effets très différents sur le système. En particulier, nous constatons que le premier cas permet généralement aux individus d'accumuler de plus grandes quantités d'information, grâce à des modèles de connexions sociales plus efficaces qu'ils sont capables de construire. Ensuite, nous étudions les effets que l'homophilie, ou la tendance à interagir avec des partenaires similaires, a sur l'accumulation des connaissances et la structure sociale. Nous comparons le cas où des personnes qui connaissent les mêmes informations sont plus sus¬ceptibles d'apprendre socialement l'une de l'autre, au cas où les individus qui connaissent des informations différentes sont au contraire plus susceptibles d'apprendre socialement l'un de l'autre. Nous constatons qu'il n'est pas trivial de déterminer quelle stratégie est meilleure que l'autre. En fonction de la possibilité d'oublier l'information, la façon dont les nouveaux partenaires sociaux peuvent être choisis, et la taille de la population, nous déterminons les conditions pour lesquelles chaque stratégie permet d'accumuler plus d'in¬formations, ou d'une manière plus rapide. Pour ces conditions, nous discutons également les caractéristiques topologiques de la structure sociale qui en résulte, les reliant au résultat de la dynamique de l'information. En conclusion, ce travail ouvre la route pour la modélisation de la dynamique conjointe de la diffusion de l'information entre les individus et leurs interactions sociales. Il fournit également un cadre formel pour étudier conjointement les effets de différentes stratégies de choix des partenaires sur la structure sociale et comment elles favorisent l'accumulation de connaissances dans la population.

Symmetric periodic orbits near a heteroclinic loop in R3 formed by two singular points, a semistable periodic orbit and their invariant manifolds

In this paper we consider C1 vector fields X in R3 having a “generalized heteroclinic loop” L which is topologically homeomorphic to the union of a 2–dimensional sphere S2 and a diameter connecting the north with the south pole. The north pole is an attractor on S2 and a repeller on . The equator of the sphere is a periodic orbit unstable in the north hemisphere and stable in the south one. The full space is topologically homeomorphic to the closed ball having as boundary the sphere S2. We also assume that the flow of X is invariant under a topological straight line symmetry on the equator plane of the ball. For each n ∈ N, by means of a convenient Poincar´e map, we prove the existence of infinitely many symmetric periodic orbits of X near L that gives n turns around L in a period. We also exhibit a class of polynomial vector fields of degree 4 in R3 satisfying this dynamics.

On the connectivity of the escaping set for complex exponential Misiurewicz parameters

Let $ E_{\lambda}(z)=\lambda {\rm exp}(z), \lambda\in \mathbb{C}$, be the complex exponential family. For all functions in the family there is a unique asymptotic value at 0 (and no critical values). For a fixed $ \lambda$, the set of points in $ \mathbb{C}$ with orbit tending to infinity is called the escaping set. We prove that the escaping set of $ E_{\lambda}$ with $ \lambda$ Misiurewicz (that is, a parameter for which the orbit of the singular value is strictly preperiodic) is a connected set.

The minimum tree for a given zero-entropy period

We answer the following question: given any n∈ℕ, which is the minimum number of endpoints en of a tree admitting a zero-entropy map f with a periodic orbit of period n? We prove that en=s1s2…sk−∑i=2ksisi+1…sk, where n=s1s2…sk is the decomposition of n into a product of primes such that si≤si+1 for 1≤ie, then the topological entropy of f is positive

Higher-dimensional rotating charged black holes

Using the blackfold approach, we study new classes of higher-dimensional rotating black holes with electric charges and string dipoles, in theories of gravity coupled to a 2-form or 3-form field strength and to a dilaton with arbitrary coupling. The method allows to describe not only black holes with large angular momenta, but also other regimes that include charged black holes near extremality with slow rotation. We construct explicit examples of electric rotating black holes of dilatonic and non-dilatonic Einstein-Maxwell theory, with horizons of spherical and non-spherical topology. We also find new families of solutions with string dipoles, including a new class of prolate black rings. Whenever there are exact solutions that we can compare to, their properties in the appropriate regime are reproduced precisely by our solutions. The analysis of blackfolds with string charges requires the formulation of the dynamics of anisotropic fluids with conserved string-number currents, which is new, and is carried out in detail for perfect fluids. Finally, our results indicate new instabilities of near-extremal, slowly rotating charged black holes, and motivate conjectures about topological constraints on dipole hair.

A Playful Glance at Hierarchical Questions for Two-Way Alternating Automata

Two-way alternating automata were introduced by Vardi in order to study the satisfiability problem for the modal μ-calculus extended with backwards modalities. In this paper, we present a very simple proof by way of Wadge games of the strictness of the hierarchy of Motowski indices of two-way alternating automata over trees.

Improved SNR efficiency in gradient echo coronary MRA with high temporal resolution using parallel imaging.

Contemporary coronary magnetic resonance angiography techniques suffer from signal-to-noise ratio (SNR) constraints. We propose a method to enhance SNR in gradient echo coronary magnetic resonance angiography by using sensitivity encoding (SENSE). While the use of sensitivity encoding to improve SNR seems counterintuitive, it can be exploited by reducing the number of radiofrequency excitations during the acquisition window while lowering the signal readout bandwidth, therefore improving the radiofrequency receive to radiofrequency transmit duty cycle. Under certain conditions, this leads to improved SNR. The use of sensitivity encoding for improved SNR in three-dimensional coronary magnetic resonance angiography is investigated using numerical simulations and an in vitro and an in vivo study. A maximum 55% SNR enhancement for coronary magnetic resonance angiography was found both in vitro and in vivo, which is well consistent with the numerical simulations. This method is most suitable for spoiled gradient echo coronary magnetic resonance angiography in which a high temporal and spatial resolution is required.

Ultrastructural analysis of neuronal plasticity in the adult mouse

ABSTRACT Adult neuronal plasticity is a term that corresponds to a set of biological mechanisms allowing a neuronal circuit to respond and adapt to modifications of the received inputs. Mystacial whiskers of the mouse are the starting point of a major sensory pathway that provides the animal with information from its immediate environment. Through whisking, information is gathered that allows the animal to orientate itself and to recognize objects. This sensory system is crucial for nocturnal behaviour during which vision is not of much use. Sensory information of the whiskers are sent via brainstem and thalamus to the primary somatosensory area (S1) of the cerebral cortex in a strictly topological manner. Cell bodies in the layer N of S 1 are arranged in ring forming structures called barrels. As such, each barrel corresponds to the cortical representation in layer IV of a single whisker follicle. This histological feature allows to identify with uttermost precision the part of the cortex devoted to a given whisker and to study modifications induced by different experimental conditions. The condition used in the studies of my thesis is the passive stimulation of one whisker in the adult mouse for a period of 24 hours. It is performed by glueing a piece of metal on one whisker and placing the awake animal in a cage surrounded by an electromagnetic coil that generates magnetic field burst inducing whisker movement at a given frequency during 24 hours. I analysed the ultrastructure of the barrel corresponding the stimulated whisker using serial sections electron microscopy and computer-based three-dimensional reconstructions; analysis of neighbouring, unstimulated barrels as well as those from unstimulated mice served as control. The following elements were structurally analyzed: the spiny dendrites, the axons of excitatory as well as inhibitory cells, their connections via synapses and the astrocytic processes. The density of synapses and spines is upregulated in a barrel corresponding to a stimulated whisker. This upregulation is absent in the BDNF heterozygote mice, indicating that a certain level of activity-dependent released BDNF is required for synaptogenesis in the adult cerebral cortex. Synpaptogenesis is correlated with a modification of the astrocytes that place themselves in closer vicinity of the excitatory synapses on spines. Biochemical analysis revealed that the astrocytes upregulate the expression of transporters by which they internalise glutamate, the neurotransmitter responsible for the excitatory response of cortical neurons. In the final part of my thesis, I show that synaptogenesis in the stimulated barrel is due to the increase in the size of excitatory axonal boutons that become more frequently multisynaptic, whereas the inhibitory axons do not change their morphology but form more synapses with spines apposed to them. Taken together, my thesis demonstrates that all the cellular elements present in the neuronal tissue of the adult brain contribute to activity-dependent cortical plasticity and form part of a mechanism by which the animal responds to a modified sensory experience. Throughout life, the neuronal circuit keeps the faculty to adapt its function. These adaptations are partially transitory but some aspects remain and could be the structural basis of a memory trace in the cortical circuit. RESUME La plasticité neuronale chez l'adulte désigne un ensemble de mécanismes biologiques qui permettent aux circuits neuronaux de répondre et de s'adapter aux modifications des stimulations reçues. Les vibrisses des souris sont un système crucial fournissant des informations sensorielles au sujet de l'environnement de l'animal. L'information sensorielle collectée par les vibrisses est envoyée via le tronc cérébral et le thalamus à l'aire sensorielle primaire (S 1) du cortex cérébral en respectant strictement la somatotopie. Les corps cellulaires dans la couche IV de S 1 sont organisés en anneaux délimitant des structures nommées tonneaux. Chaque tonneau reçoit l'information d'une seule vibrisse et l'arrangement des tonneaux dans le cortex correspond à l'arrangement des vibrisses sur le museau de la souris. Cette particularité histologique permet de sélectionner avec certitude la partie du cortex dévolue à une vibrisse et de l'étudier dans diverses conditions. Le paradigme expérimental utilisé dans cette thèse est la stimulation passive d'une seule vibrisse durant 24 heures. Pour ce faire, un petit morceau de métal est collé sur une vibrisse et la souris est placée dans une cage entourée d'une bobine électromagnétique générant un champ qui fait vibrer le morceau de métal durant 24 heures. Nous analysons l'ultrastructure du cortex cérébral à l'aide de la microscopie électronique et des coupes sériées permettant la reconstruction tridimensionnelle à l'aide de logiciels informatiques. Nous observons les modifications des structures présentes : les dendrites épineuses, les axones des cellules excitatrices et inhibitrices, leurs connections par des synapses et les astrocytes. Le nombre de synapses et d'épines est augmenté dans un tonneau correspondant à une vibrisse stimulée 24 heures. Basé sur cela, nous montrons dans ces travaux que cette réponse n'est pas observée dans des souris hétérozygotes BDNF+/-. Cette neurotrophine sécrétée en fonction de l'activité neuronale est donc nécessaire pour la synaptogenèse. La synaptogenèse est accompagnée d'une modification des astrocytes qui se rapprochent des synapses excitatrices au niveau des épines dendritiques. Ils expriment également plus de transporteurs chargés d'internaliser le glutamate, le neurotransmetteur responsable de la réponse excitatrice des neurones. Nous montrons aussi que les axones excitateurs deviennent plus larges et forment plus de boutons multi-synaptiques à la suite de la stimulation tandis que les axones inhibiteurs ne changent pas de morphologie mais forment plus de synapses avec des épines apposées à leur membrane. Tous les éléments analysés dans le cerveau adulte ont maintenu la capacité de réagir aux modifications de l'activité neuronale et répondent aux modifications de l'activité permettant une constante adaptation à de nouveaux environnements durant la vie. Les circuits neuronaux gardent la capacité de créer de nouvelles synapses. Ces adaptations peuvent être des réponses transitoires aux stimuli mais peuvent aussi laisser une trace mnésique dans les circuits.

Systematic study of the temperature dependence of the saturation magnetization in Fe, Fe-Ni and Co-based amorphous alloys

Magnetization versus temperature in the temperature interval 2-200 K was measured for amorphous alloys of three different compositions: Fe 81.5B14.5Si4, Fe40Ni38 Mo4B18, and Co70Fe5Ni 2Mo3B5Si15. The measurements were performed by means of a SQUID (superconducting quantum interference device) magnetometer. The aim was to extract information about the different mechanisms contributing to thermal demagnetization. A powerful data analysis technique based on successive minimization procedures has demonstrated that Stoner excitations of the strong ferromagnetic type play a significant role in the Fe-Ni alloy studied. The Fe-rich and Co-rich alloys do not show a measurable contribution from single-particle excitations.

Reconstruction of networks from their betweenness centrality

In this paper we study the reconstruction of a network topology from the values of its betweenness centrality, a measure of the influence of each of its nodes in the dissemination of information over the network. We consider a simple metaheuristic, simulated annealing, as the combinatorial optimization method to generate the network from the values of the betweenness centrality. We compare the performance of this technique when reconstructing different categories of networks –random, regular, small-world, scale-free and clustered–. We show that the method allows an exact reconstruction of small networks and leads to good topological approximations in the case of networks with larger orders. The method can be used to generate a quasi-optimal topology fora communication network from a list with the values of the maximum allowable traffic for each node.

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The quality of environmental data analysis and propagation of errors are heavily affected by the representativity of the initial sampling design [CRE 93, DEU 97, KAN 04a, LEN 06, MUL07]. Geostatistical methods such as kriging are related to field samples, whose spatial distribution is crucial for the correct detection of the phenomena. Literature about the design of environmental monitoring networks (MN) is widespread and several interesting books have recently been published [GRU 06, LEN 06, MUL 07] in order to clarify the basic principles of spatial sampling design (monitoring networks optimization) based on Support Vector Machines was proposed. Nonetheless, modelers often receive real data coming from environmental monitoring networks that suffer from problems of non-homogenity (clustering). Clustering can be related to the preferential sampling or to the impossibility of reaching certain regions.

Integral cohomology of finite postnikov towers

Depuis le séminaire H. Cartan de 1954-55, il est bien connu que l'on peut trouver des éléments de torsion arbitrairement grande dans l'homologie entière des espaces d'Eilenberg-MacLane K(G,n) où G est un groupe abélien non trivial et n>1. L'objectif majeur de ce travail est d'étendre ce résultat à des H-espaces possédant plus d'un groupe d'homotopie non trivial. Dans le but de contrôler précisément le résultat de H. Cartan, on commence par étudier la dualité entre l'homologie et la cohomologie des espaces d'Eilenberg-MacLane 2-locaux de type fini. On parvient ainsi à raffiner quelques résultats qui découlent des calculs de H. Cartan. Le résultat principal de ce travail peut être formulé comme suit. Soit X un H-espace ne possédant que deux groupes d'homotopie non triviaux, tous deux finis et de 2-torsion. Alors X n'admet pas d'exposant pour son groupe gradué d'homologie entière réduite. On construit une large classe d'espaces pour laquelle ce résultat n'est qu'une conséquence d'une caractéristique topologique, à savoir l'existence d'un rétract faible X K(G,n) pour un certain groupe abélien G et n>1. On généralise également notre résultat principal à des espaces plus compliqués en utilisant la suite spectrale d'Eilenberg-Moore ainsi que des méthodes analytiques faisant apparaître les nombres de Betti et leur comportement asymptotique. Finalement, on conjecture que les espaces qui ne possédent qu'un nombre fini de groupes d'homotopie non triviaux n'admettent pas d'exposant homologique. Ce travail contient par ailleurs la présentation de la « machine d'Eilenberg-MacLane », un programme C++ conçu pour calculer explicitement les groupes d'homologie entière des espaces d'Eilenberg-MacLane. <br/><br/>By the work of H. Cartan, it is well known that one can find elements of arbitrarilly high torsion in the integral (co)homology groups of an Eilenberg-MacLane space K(G,n), where G is a non-trivial abelian group and n>1. The main goal of this work is to extend this result to H-spaces having more than one non-trivial homotopy groups. In order to have an accurate hold on H. Cartan's result, we start by studying the duality between homology and cohomology of 2-local Eilenberg-MacLane spaces of finite type. This leads us to some improvements of H. Cartan's methods in this particular case. Our main result can be stated as follows. Let X be an H-space with two non-vanishing finite 2-torsion homotopy groups. Then X does not admit any exponent for its reduced integral graded (co)homology group. We construct a wide class of examples for which this result is a simple consequence of a topological feature, namely the existence of a weak retract X K(G,n) for some abelian group G and n>1. We also generalize our main result to more complicated stable two stage Postnikov systems, using the Eilenberg-Moore spectral sequence and analytic methods involving Betti numbers and their asymptotic behaviour. Finally, we investigate some guesses on the non-existence of homology exponents for finite Postnikov towers. We conjecture that Postnikov pieces do not admit any (co)homology exponent. This work also includes the presentation of the "Eilenberg-MacLane machine", a C++ program designed to compute explicitely all integral homology groups of Eilenberg-MacLane spaces. <br/><br/>Il est toujours difficile pour un mathématicien de parler de son travail. La difficulté réside dans le fait que les objets qu'il étudie sont abstraits. On rencontre assez rarement un espace vectoriel, une catégorie abélienne ou une transformée de Laplace au coin de la rue ! Cependant, même si les objets mathématiques sont difficiles à cerner pour un non-mathématicien, les méthodes pour les étudier sont essentiellement les mêmes que celles utilisées dans les autres disciplines scientifiques. On décortique les objets complexes en composantes plus simples à étudier. On dresse la liste des propriétés des objets mathématiques, puis on les classe en formant des familles d'objets partageant un caractère commun. On cherche des façons différentes, mais équivalentes, de formuler un problème. Etc. Mon travail concerne le domaine mathématique de la topologie algébrique. Le but ultime de cette discipline est de parvenir à classifier tous les espaces topologiques en faisant usage de l'algèbre. Cette activité est comparable à celle d'un ornithologue (topologue) qui étudierait les oiseaux (les espaces topologiques) par exemple à l'aide de jumelles (l'algèbre). S'il voit un oiseau de petite taille, arboricole, chanteur et bâtisseur de nids, pourvu de pattes à quatre doigts, dont trois en avant et un, muni d'une forte griffe, en arrière, alors il en déduira à coup sûr que c'est un passereau. Il lui restera encore à déterminer si c'est un moineau, un merle ou un rossignol. Considérons ci-dessous quelques exemples d'espaces topologiques: a) un cube creux, b) une sphère et c) un tore creux (c.-à-d. une chambre à air). a) b) c) Si toute personne normalement constituée perçoit ici trois figures différentes, le topologue, lui, n'en voit que deux ! De son point de vue, le cube et la sphère ne sont pas différents puisque ils sont homéomorphes: on peut transformer l'un en l'autre de façon continue (il suffirait de souffler dans le cube pour obtenir la sphère). Par contre, la sphère et le tore ne sont pas homéomorphes: triturez la sphère de toutes les façons (sans la déchirer), jamais vous n'obtiendrez le tore. Il existe un infinité d'espaces topologiques et, contrairement à ce que l'on serait naïvement tenté de croire, déterminer si deux d'entre eux sont homéomorphes est très difficile en général. Pour essayer de résoudre ce problème, les topologues ont eu l'idée de faire intervenir l'algèbre dans leurs raisonnements. Ce fut la naissance de la théorie de l'homotopie. Il s'agit, suivant une recette bien particulière, d'associer à tout espace topologique une infinité de ce que les algébristes appellent des groupes. Les groupes ainsi obtenus sont appelés groupes d'homotopie de l'espace topologique. Les mathématiciens ont commencé par montrer que deux espaces topologiques qui sont homéomorphes (par exemple le cube et la sphère) ont les même groupes d'homotopie. On parle alors d'invariants (les groupes d'homotopie sont bien invariants relativement à des espaces topologiques qui sont homéomorphes). Par conséquent, deux espaces topologiques qui n'ont pas les mêmes groupes d'homotopie ne peuvent en aucun cas être homéomorphes. C'est là un excellent moyen de classer les espaces topologiques (pensez à l'ornithologue qui observe les pattes des oiseaux pour déterminer s'il a affaire à un passereau ou non). Mon travail porte sur les espaces topologiques qui n'ont qu'un nombre fini de groupes d'homotopie non nuls. De tels espaces sont appelés des tours de Postnikov finies. On y étudie leurs groupes de cohomologie entière, une autre famille d'invariants, à l'instar des groupes d'homotopie. On mesure d'une certaine manière la taille d'un groupe de cohomologie à l'aide de la notion d'exposant; ainsi, un groupe de cohomologie possédant un exposant est relativement petit. L'un des résultats principaux de ce travail porte sur une étude de la taille des groupes de cohomologie des tours de Postnikov finies. Il s'agit du théorème suivant: un H-espace topologique 1-connexe 2-local et de type fini qui ne possède qu'un ou deux groupes d'homotopie non nuls n'a pas d'exposant pour son groupe gradué de cohomologie entière réduite. S'il fallait interpréter qualitativement ce résultat, on pourrait dire que plus un espace est petit du point de vue de la cohomologie (c.-à-d. s'il possède un exposant cohomologique), plus il est intéressant du point de vue de l'homotopie (c.-à-d. il aura plus de deux groupes d'homotopie non nuls). Il ressort de mon travail que de tels espaces sont très intéressants dans le sens où ils peuvent avoir une infinité de groupes d'homotopie non nuls. Jean-Pierre Serre, médaillé Fields en 1954, a montré que toutes les sphères de dimension >1 ont une infinité de groupes d'homotopie non nuls. Des espaces avec un exposant cohomologique aux sphères, il n'y a qu'un pas à franchir...