Il gruppo dei quaternioni

In questa tesi si descrive il gruppo dei quaternioni come gruppo non abeliano avente tutti i sottogruppi normali. In particolare si dimostra il teorema di Dedekind che determina la struttura dei gruppi aventi tutti i sottogruppi normali. Si dà poi un polinomio a coefficienti razionali il cui gruppo di Galois coincide con il gruppo dei quaternioni.

Un'applicazione della teoria di Morse alla topologia delle varietà di Stein

In questa tesi si è data una dimostrazione dovuta ad Andreotti e Frenkel del Teorema di Lefschetz, utilizzando gli strumenti e i risultati della Teoria di Morse.

L'assioma di scelta : Storia e influenza sulla matematica del novecento.

L’assioma di scelta ha una preistoria, che riguarda l’uso inconsapevole e i primi barlumi di consapevolezza che si trattasse di un nuovo principio di ragionamento. Lo scopo della prima parte di questa tesi è quello di ricostruire questo percorso di usi più o meno impliciti e più o meno necessari che rivelarono la consapevolezza non solo del fatto che fosse indispensabile introdurre un nuovo principio, ma anche che il modo di “fare matematica” stava cambiando. Nei capitoli 2 e 3, si parla dei moltissimi matematici che, senza rendersene conto, utilizzarono l’assioma di scelta nei loro lavori; tra questi anche Cantor che appellandosi alla banalità delle dimostrazioni, evitava spesso di chiarire le situazioni in cui era richiesta questa particolare assunzione. Il capitolo 2 è dedicato ad un caso notevole e rilevante dell’uso inconsapevole dell’Assioma, di cui per la prima volta si accorse R. Bettazzi nel 1892: l’equivalenza delle due nozioni di finito, quella di Dedekind e quella “naturale”. La prima parte di questa tesi si conclude con la dimostrazione di Zermelo del teorema del buon ordinamento e con un’analisi della sua assiomatizzazione della teoria degli insiemi. La seconda parte si apre con il capitolo 5 in cui si parla dell’intenso dibattito sulla dimostrazione di Zermelo e sulla possibilità o meno di accettare il suo Assioma, che coinvolse i matematici di tutta Europa. In quel contesto l’assioma di scelta trovò per lo più oppositori che si appellavano ad alcune sue conseguenze apparentemente paradossali. Queste conseguenze, insieme alle molte importanti, sono analizzate nel capitolo 6. Nell’ultimo capitolo vengono riportate alcune tra le molte equivalenze dell’assioma di scelta con altri enunciati importanti come quello della tricotomia dei cardinali. Ci si sofferma poi sulle conseguenze dell’Assioma e sulla sua influenza sulla matematica del Novecento, quindi sulle formulazioni alternative o su quelle più deboli come l’assioma delle scelte dipendenti e quello delle scelte numerabili. Si conclude con gli importanti risultati, dovuti a Godel e a Cohen sull’indipendenza e sulla consistenza dell’assioma di scelta nell’ambito della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Varietà topologiche compatte di dimensione due

In questa tesi si mostra che la caratteristica di Eulero e l'orientabilità (o non orientabilità) sono invarianti topologici per le superfici compatte e si studia il teorema di classificazione per tali superfici.

Risolubilità per radicali di equazioni polinomiali

Lo scopo di questa tesi è lo studio della risolubilità per radicali di equazioni polinomiali nel caso in cui il campo dei coefficienti del polinomio abbia caratteristica zero. Nel primo capitolo vengono richiamati i principali risultati riguardanti la teoria di Galois. Nel secondo capitolo si introducono le nozioni di gruppo risolubile e gruppo semplice analizzandone le proprietà. Nel terzo capitolo si definiscono le estensioni di campi radicali e risolubili. Viene inoltre dimostrato il teorema di Galois che mette in evidenza il legame tra gruppi risolubili ed estensioni risolubili. Infine, nell'ultimo capitolo, si applicano i risultati ottenuti al problema della risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali dando anche diversi esempi. In particolare viene analizzato il caso del polinomio universale di grado n.

Le funzioni olomorfe e il loro collegamento con le funzioni armoniche

Questo elaborato si propone di analizzare il collegamento tra olomorfia e armonicità. La prima parte della tesi tratta le funzioni olomorfe, mentre la seconda parte tratta le funzioni armoniche. Per quanto riguarda la seconda parte, inizialmente ci limiteremo a studiare le funzioni armoniche in R^2, sottolineando il legame tra queste e le funzioni olomorfe. Considereremo poi il caso generale, ovvero estenderemo la nozione di funzione armonica ad R^N e osserveremo che molte delle proprietà viste per le funzioni olomorfe valgono anche per le funzioni armoniche. In particolare, vedremo che le formule di media per le funzioni armoniche svolgono un ruolo analogo alla formula integrale di Cauchy per le funzioni olomorfe. Vedremo anche che il Teorema di Liouville per le funzioni armoniche è l’analogo del Teorema di Liouville per le funzioni intere (funzioni olomorfe su tutto C) e, infine, osserveremo che il Principio del massimo forte non è altro che il trasferimento alle funzioni armoniche del Principio del massimo modulo visto nella teoria delle funzioni olomorfe.

Tasso di fuga per perturbazioni aperte di sistemi dinamici caotici

Si dimostra che una classe di trasformazioni espandenti a tratti sull'intervallo unitario soddisfa le ipotesi di un teorema di analisi funzionale contenuto nell'articolo "Rare Events, Escape Rates and Quasistationarity: Some Exact Formulae" di G. Keller e C. Liverani. Si considera un sistema dinamico aperto, con buco di misura epsilon. Se al diminuire di epsilon i buchi costituiscono una famiglia decrescente di sottointervalli di I, e per epsilon che tende a zero essi tendono a un buco formato da un solo punto, allora il teorema precedente consente di dimostrare la differenziabilità del tasso di fuga del sistema aperto, visto come funzione della dimensione del buco. In particolare, si ricava una formula esplicita per l'espansione al prim'ordine del tasso di fuga .

Varietà algebriche affini

Studio degli insiemi algebrici e delle varietà affini: proprietà, frecce e risultati, tra cui il teorema degli zeri di Hilbert.

Luminosity determination for the measurement of the proton-proton total cross section at 8 TeV in the Atlas experiment

La sezione d’urto totale adronica gioca un ruolo fondamentale nel programma di fisica di LHC. Un calcolo di questo parametro, fondamentale nell’ambito della teoria delle interazioni forti, non é possibile a causa dell’inapplicabilità dell’approccio perturbativo. Nonostante ciò, la sezione d’urto può essere stimata, o quanto meno le può essere dato un limite, grazie ad un certo numero di relazioni, come ad esempio il Teorema Ottico. In questo contesto, il detector ALFA (An Absolute Luminosity For ATLAS) sfrutta il Teorema Ottico per determinare la sezione d’urto totale misurando il rate di eventi elastici nella direzione forward. Un tale approccio richiede un metodo accurato di misura della luminosità in condizioni sperimentali difficoltose, caratterizzate da valori di luminosità istantanea inferiore fino a 7 ordini di grandezza rispetto alle normali condizioni di LHC. Lo scopo di questa tesi è la determinazione della luminosità integrata di due run ad alto β*, utilizzando diversi algoritmi di tipo Event-Counting dei detector BCM e LUCID. Particolare attenzione è stata riservata alla sottrazione del fondo e allo studio delle in- certezze sistematiche. I valori di luminosità integrata ottenuti sono L = 498.55 ± 0.31 (stat) ± 16.23 (sys) μb^(-1) and L = 21.93 ± 0.07 (stat) ± 0.79 (sys) μb^(-1), rispettivamente per i due run. Tali saranno forniti alla comunità di fisica che si occupa della misura delle sezioni d’urto protone-protone, elastica e totale. Nel Run II di LHC, la sezione d’urto totale protone-protone sarà stimata con un’energia nel centro di massa di 13 TeV per capire meglio la sua dipendenza dall’energia in un simile regime. Gli strumenti utilizzati e l’esperienza acquisita in questa tesi saranno fondamentali per questo scopo.

Enunciati indipendenti dagli assiomi dell'aritmetica di Peano

Enunciati indipendenti dagli assiomi dell'aritmetica di Peano; è rivolta particolare attenzione all'indipendenza del teorema di Goodstein.

Basi ortonormali negli spazi di Hilbert

Questo elaborato presenta gli elementi di base della Teoria degli Spazi di Hilbert, con particolare attenzione al Teorema della Proiezione sui convessi e ai sistemi ortonormali completi.

Invarianti polinomiali sotto l'azione di gruppi finiti

Il teorema di Chevalley-Shephard-Todd è un importante risultato del 1954/1955 nella teoria degli invarianti polinomiali sotto l'azione del gruppo delle matrici invertibili. Lo scopo di questa tesi è presentare e dimostrare il teorema nella versione in cui l'anello dei polinomi ha come campo base R e di vedere alcuni esempi concreti di applicazione del teorema. Questa dimostrazione può essere generalizzata facilmente avendo come campo base un qualsiasi campo K di caratteristica 0.

Lo spettro di alcuni oscillatori non commutativi

Questa tesi si occupa della teoria spettrale di certi sistemi di equazioni ordinarie chiamati oscillatori non commutativi. Dopo avere introdotto i fondamenti necessari per la teoria vengono dimostrati alcuni teoremi qualitativi sullo spettro di tali sistemi.

I coefficienti binomiali.

In questa tesi si trattano alcune delle proprietà dei coefficienti binomiali, il cui nome deriva dal fatto che uno dei principali utilizzi di tali coefficienti è proprio nel Teorema binomiale di Newton, che permette di calcolare in modo esplicito lo sviluppo di un generico binomio con esponente naturale. I coefficienti binomiali si ricavano anche dal noto Triangolo di Tartaglia, che prende nome dal matematico Niccolò Fontana (1490-1557), il quale lo introdusse in Italia nel 1556 nella sua opera "General trattato di numeri et misure". Tuttavia, esso era già noto agli indiani e ai cinesi nel XIV secolo. Successivamente, in Francia e nel mondo anglosassone, tale triangolo prese anche il nome di Triangolo di Pascal, quando nel 1654 il matematico francese pubblicò il libro "Le triangle Aritmetique", interamente dedicato alle sue proprietà. I coefficienti binomiali, inoltre, trovano largo uso in calcolo combinatorio, ossia in quella branca della matematica che si occupa di contare i modi di raggruppare, secondo determinate regole, gli elementi di un insieme finito di oggetti. Dunque, per quanto la definizione stessa di coefficienti binomiali sia semplice, essendo un rapporto di interi fattoriali, in realtà essi trovano ampio utilizzo in vari ambiti e proprio per questo suscitano un notevole interesse ed hanno svariate applicazioni, giocando un ruolo fondamentale in parti della matematica come la combinatoria. In questa tesi, oltre alle proprietà più note, sono contenuti anche alcuni collegamenti tra i coefficienti binomiali e i polinomi di variabile naturale, nonché, nell'ultima parte, applicazioni alle differenze finite di progressioni geometriche.

Representations of semisimple Lie algebras

La tesi è dedicata allo studio delle rappresentazioni delle algebre di Lie semisemplici su un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Mediante il teorema di Weyl sulla completa riducibilità, ogni rappresentazione di dimensione finita di una algebra di Lie semisemplice è scrivibile come somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili. Questo permette di poter concentrare l'attenzione sullo studio delle rappresentazioni irriducibili. Inoltre, mediante il ricorso all'algebra inviluppante universale si ottiene che ogni rappresentazione irriducibile è una rappresentazione di peso più alto. Perciò è naturale chiedersi quando una rappresentazione di peso più alto sia di dimensione finita ottenendo che condizione necessaria e sufficiente perché una rappresentazione di peso più alto sia di dimensione finita è che il peso più alto sia dominante. Immediata è quindi l'applicazione della teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie semisemplici nello studio delle superalgebre di Lie, in quanto costituite da un'algebra di Lie e da una sua rappresentazione, dove viene utilizzata la tecnica della Z-graduazione che viene utilizzata per la prima volta da Victor Kac nello studio delle algebre di Lie di dimensione infinita nell'articolo ''Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth'' del 1968.