Class Notes for Math 901/902: Abstract Algebra, Instructor Tom Marley

Topics include: Free groups and presentations; Automorphism groups; Semidirect products; Classification of groups of small order; Normal series: composition, derived, and solvable series; Algebraic field extensions, splitting fields, algebraic closures; Separable algebraic extensions, the Primitive Element Theorem; Inseparability, purely inseparable extensions; Finite fields; Cyclotomic field extensions; Galois theory; Norm and trace maps of an algebraic field extension; Solvability by radicals, Galois' theorem; Transcendence degree; Rings and modules: Examples and basic properties; Exact sequences, split short exact sequences; Free modules, projective modules; Localization of (commutative) rings and modules; The prime spectrum of a ring; Nakayama's lemma; Basic category theory; The Hom functors; Tensor products, adjointness; Left/right Noetherian and Artinian modules; Composition series, the Jordan-Holder Theorem; Semisimple rings; The Artin-Wedderburn Theorem; The Density Theorem; The Jacobson radical; Artinian rings; von Neumann regular rings; Wedderburn's theorem on finite division rings; Group representations, character theory; Integral ring extensions; Burnside's paqb Theorem; Injective modules.

Complex networks analysis of language complexity

Methods from statistical physics, such as those involving complex networks, have been increasingly used in the quantitative analysis of linguistic phenomena. In this paper, we represented pieces of text with different levels of simplification in co-occurrence networks and found that topological regularity correlated negatively with textual complexity. Furthermore, in less complex texts the distance between concepts, represented as nodes, tended to decrease. The complex networks metrics were treated with multivariate pattern recognition techniques, which allowed us to distinguish between original texts and their simplified versions. For each original text, two simplified versions were generated manually with increasing number of simplification operations. As expected, distinction was easier for the strongly simplified versions, where the most relevant metrics were node strength, shortest paths and diversity. Also, the discrimination of complex texts was improved with higher hierarchical network metrics, thus pointing to the usefulness of considering wider contexts around the concepts. Though the accuracy rate in the distinction was not as high as in methods using deep linguistic knowledge, the complex network approach is still useful for a rapid screening of texts whenever assessing complexity is essential to guarantee accessibility to readers with limited reading ability. Copyright (c) EPLA, 2012

On abstract differential equations with nonlocal conditions involving the temporal derivative of the solution

In this paper we discuss the existence of solutions for a class of abstract differential equations with nonlocal conditions for which the nonlocal term involves the temporal derivative of the solution. Some concrete applications to parabolic differential equations with nonlocal conditions are considered. (C) 2012 Royal Dutch Mathematical Society (KWG). Published by Elsevier B.V. All rights reserved.

Solvability near the characteristic set for a special class of complex vector fields

This work deals with the solvability near the characteristic set Sigma = {0} x S-1 of operators of the form L = partial derivative/partial derivative t+(x(n) a(x)+ ix(m) b(x))partial derivative/partial derivative x, b not equivalent to 0 and a(0) not equal 0, defined on Omega(epsilon) = (-epsilon, epsilon) x S-1, epsilon > 0, where a and b are real-valued smooth functions in (-epsilon, epsilon) and m >= 2n. It is shown that given f belonging to a subspace of finite codimension of C-infinity (Omega(epsilon)) there is a solution u is an element of L-infinity of the equation Lu = f in a neighborhood of Sigma; moreover, the L-infinity regularity is sharp.

Properly coloured copies and rainbow copies of large graphs with small maximum degree

Let G be a graph on n vertices with maximum degree ?. We use the Lovasz local lemma to show the following two results about colourings ? of the edges of the complete graph Kn. If for each vertex v of Kn the colouring ? assigns each colour to at most (n - 2)/(22.4?2) edges emanating from v, then there is a copy of G in Kn which is properly edge-coloured by ?. This improves on a result of Alon, Jiang, Miller, and Pritikin [Random Struct. Algorithms 23(4), 409433, 2003]. On the other hand, if ? assigns each colour to at most n/(51?2) edges of Kn, then there is a copy of G in Kn such that each edge of G receives a different colour from ?. This proves a conjecture of Frieze and Krivelevich [Electron. J. Comb. 15(1), R59, 2008]. Our proofs rely on a framework developed by Lu and Szekely [Electron. J. Comb. 14(1), R63, 2007] for applying the local lemma to random injections. In order to improve the constants in our results we use a version of the local lemma due to Bissacot, Fernandez, Procacci, and Scoppola [preprint, arXiv:0910.1824]. (c) 2011 Wiley Periodicals, Inc. Random Struct. Alg., 40, 425436, 2012

Odd homoclinic orbits for a second order Hamiltonian system

The aim of this paper is to find an odd homoclinic orbit for a class of reversible Hamiltonian systems. The proof is variational and it employs a version of the concentration compactness principle of P. L. Lions in a lemma due to Struwe.

Aging reduces complexity of heart rate variability assessed by conditional entropy and symbolic analysis

Increasing age is associated with a reduction in overall heart rate variability as well as changes in complexity of physiologic dynamics. The aim of this study was to verify if the alterations in autonomic modulation of heart rate caused by the aging process could be detected by Shannon entropy (SE), conditional entropy (CE) and symbolic analysis (SA). Complexity analysis was carried out in 44 healthy subjects divided into two groups: old (n = 23, 63 +/- A 3 years) and young group (n = 21, 23 +/- A 2). It was analyzed SE, CE [complexity index (CI) and normalized CI (NCI)] and SA (0V, 1V, 2LV and 2ULV patterns) during short heart period series (200 cardiac beats) derived from ECG recordings during 15 min of rest in a supine position. The sequences characterized by three heart periods with no significant variations (0V), and that with two significant unlike variations (2ULV) reflect changes in sympathetic and vagal modulation, respectively. The unpaired t test (or Mann-Whitney rank sum test when appropriate) was used in the statistical analysis. In the aging process, the distributions of patterns (SE) remain similar to young subjects. However, the regularity is significantly different; the patterns are more repetitive in the old group (a decrease of CI and NCI). The amounts of pattern types are different: 0V is increased and 2LV and 2ULV are reduced in the old group. These differences indicate marked change of autonomic regulation. The CE and SA are feasible techniques to detect alteration in autonomic control of heart rate in the old group.

UNIVERSALITY OF RANDOM GRAPHS

We prove that asymptotically (as n -> infinity) almost all graphs with n vertices and C(d)n(2-1/2d) log(1/d) n edges are universal with respect to the family of all graphs with maximum degree bounded by d. Moreover, we provide an efficient deterministic embedding algorithm for finding copies of bounded degree graphs in graphs satisfying certain pseudorandom properties. We also prove a counterpart result for random bipartite graphs, where the threshold number of edges is even smaller but the embedding is randomized.

Semilinear functional difference equations with infinite delay

We obtain boundedness and asymptotic behavior of solutions for semilinear functional difference equations with infinite delay. Applications to Volterra difference equations with infinite delay are shown. (C) 2011 Elsevier Ltd. All rights reserved.

The tangential variation of a localized flux-type eigenvalue problem

In this work the differentiability of the principal eigenvalue lambda = lambda(1)(Gamma) to the localized Steklov problem -Delta u + qu = 0 in Omega, partial derivative u/partial derivative nu = lambda chi(Gamma)(x)u on partial derivative Omega, where Gamma subset of partial derivative Omega is a smooth subdomain of partial derivative Omega and chi(Gamma) is its characteristic function relative to partial derivative Omega, is shown. As a key point, the flux subdomain Gamma is regarded here as the variable with respect to which such differentiation is performed. An explicit formula for the derivative of lambda(1) (Gamma) with respect to Gamma is obtained. The lack of regularity up to the boundary of the first derivative of the principal eigenfunctions is a further intrinsic feature of the problem. Therefore, the whole analysis must be done in the weak sense of H(1)(Omega). The study is of interest in mathematical models in morphogenesis. (C) 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.

Intersections on moduli spaces of curves

We present a new approach to perform calculations with the certain standard classes in cohomology of the moduli spaces of curves. It is based on an important lemma of Ionel relating the intersection theoriy of the moduli space of curves and that of the space of admissible coverings. As particular results, we obtain expressions of Hurwitz numbers in terms of the intersections in the tautological ring, expressions of the simplest intersection numbers in terms of Hurwitz numbers, an algorithm of calculation of certain correlators which are the subject of the Witten conjecture, an improved algorithm for intersections related to the Boussinesq hierarchy, expressions for the Hodge integrals over two-pointed ramification cycles, cut-and-join type equations for a large class of intersection numbers, etc.

Horn-schunck optical flow with a multi-scale strategy

[EN] The seminal work of Horn and Schunck [8] is the first variational method for optical flow estimation. It introduced a novel framework where the optical flow is computed as the solution of a minimization problem. From the assumption that pixel intensities do not change over time, the optical flow constraint equation is derived. This equation relates the optical flow with the derivatives of the image. There are infinitely many vector fields that satisfy the optical flow constraint, thus the problem is ill-posed. To overcome this problem, Horn and Schunck introduced an additional regularity condition that restricts the possible solutions. Their method minimizes both the optical flow constraint and the magnitude of the variations of the flow field, producing smooth vector fields. One of the limitations of this method is that, typically, it can only estimate small motions. In the presence of large displacements, this method fails when the gradient of the image is not smooth enough. In this work, we describe an implementation of the original Horn and Schunck method and also introduce a multi-scale strategy in order to deal with larger displacements. For this multi-scale strategy, we create a pyramidal structure of downsampled images and change the optical flow constraint equation with a nonlinear formulation. In order to tackle this nonlinear formula, we linearize it and solve the method iteratively in each scale. In this sense, there are two common approaches: one that computes the motion increment in the iterations, like in ; or the one we follow, that computes the full flow during the iterations, like in. The solutions are incrementally refined ower the scales. This pyramidal structure is a standard tool in many optical flow methods.

A variational approach to 3D cylindrical geometry reconstruction from multiple views

[EN] In this paper we present a variational technique for the reconstruction of 3D cylindrical surfaces. Roughly speaking by a cylindrical surface we mean a surface that can be parameterized using the projection on a cylinder in terms of two coordinates, representing the displacement and angle in a cylindrical coordinate system respectively. The starting point for our method is a set of different views of a cylindrical surface, as well as a precomputed disparity map estimation between pair of images. The proposed variational technique is based on an energy minimization where we balance on the one hand the regularity of the cylindrical function given by the distance of the surface points to cylinder axis, and on the other hand, the distance between the projection of the surface points on the images and the expected location following the precomputed disparity map estimation between pair of images. One interesting advantage of this approach is that we regularize the 3D surface by means of a bi-dimensio al minimization problem. We show some experimental results for large stereo sequences.

Dalla città alla casa, dalla casa alla città: la mutevole ricerca di un Piano per il ben-essere urbano

La ricerca si propone di definire le linee guida per la stesura di un Piano che si occupi di qualità della vita e di benessere. Il richiamo alla qualità e al benessere è positivamente innovativo, in quanto impone agli organi decisionali di sintonizzarsi con la soggettività attiva dei cittadini e, contemporaneamente, rende evidente la necessità di un approccio più ampio e trasversale al tema della città e di una più stretta relazione dei tecnici/esperti con i responsabili degli organismi politicoamministrativi. La ricerca vuole indagare i limiti dell’urbanistica moderna di fronte alla complessità di bisogni e di nuove necessità espresse dalle popolazioni urbane contemporanee. La domanda dei servizi è notevolmente cambiata rispetto a quella degli anni Sessanta, oltre che sul piano quantitativo anche e soprattutto sul piano qualitativo, a causa degli intervenuti cambiamenti sociali che hanno trasformato la città moderna non solo dal punto di vista strutturale ma anche dal punto di vista culturale: l’intermittenza della cittadinanza, per cui le città sono sempre più vissute e godute da cittadini del mondo (turisti e/o visitatori, temporaneamente presenti) e da cittadini diffusi (suburbani, provinciali, metropolitani); la radicale trasformazione della struttura familiare, per cui la famiglia-tipo costituita da una coppia con figli, solido riferimento per l’economia e la politica, è oggi minoritaria; l’irregolarità e flessibilità dei calendari, delle agende e dei ritmi di vita della popolazione attiva; la mobilità sociale, per cui gli individui hanno traiettorie di vita e pratiche quotidiane meno determinate dalle loro origini sociali di quanto avveniva nel passato; l’elevazione del livello di istruzione e quindi l’incremento della domanda di cultura; la crescita della popolazione anziana e la forte individualizzazione sociale hanno generato una domanda di città espressa dalla gente estremamente variegata ed eterogenea, frammentata e volatile, e per alcuni aspetti assolutamente nuova. Accanto a vecchie e consolidate richieste – la città efficiente, funzionale, produttiva, accessibile a tutti – sorgono nuove domande, ideali e bisogni che hanno come oggetto la bellezza, la varietà, la fruibilità, la sicurezza, la capacità di stupire e divertire, la sostenibilità, la ricerca di nuove identità, domande che esprimono il desiderio di vivere e di godere la città, di stare bene in città, domande che non possono essere più soddisfatte attraverso un’idea di welfare semplicemente basata sull’istruzione, la sanità, il sistema pensionistico e l’assistenza sociale. La città moderna ovvero l’idea moderna della città, organizzata solo sui concetti di ordine, regolarità, pulizia, uguaglianza e buon governo, è stata consegnata alla storia passata trasformandosi ora in qualcosa di assai diverso che facciamo fatica a rappresentare, a descrivere, a raccontare. La città contemporanea può essere rappresentata in molteplici modi, sia dal punto di vista urbanistico che dal punto di vista sociale: nella letteratura recente è evidente la difficoltà di definire e di racchiudere entro limiti certi l’oggetto “città” e la mancanza di un convincimento forte nell’interpretazione delle trasformazioni politiche, economiche e sociali che hanno investito la società e il mondo nel secolo scorso. La città contemporanea, al di là degli ambiti amministrativi, delle espansioni territoriali e degli assetti urbanistici, delle infrastrutture, della tecnologia, del funzionalismo e dei mercati globali, è anche luogo delle relazioni umane, rappresentazione dei rapporti tra gli individui e dello spazio urbano in cui queste relazioni si muovono. La città è sia concentrazione fisica di persone e di edifici, ma anche varietà di usi e di gruppi, densità di rapporti sociali; è il luogo in cui avvengono i processi di coesione o di esclusione sociale, luogo delle norme culturali che regolano i comportamenti, dell’identità che si esprime materialmente e simbolicamente nello spazio pubblico della vita cittadina. Per studiare la città contemporanea è necessario utilizzare un approccio nuovo, fatto di contaminazioni e saperi trasversali forniti da altre discipline, come la sociologia e le scienze umane, che pure contribuiscono a costruire l’immagine comunemente percepita della città e del territorio, del paesaggio e dell’ambiente. La rappresentazione del sociale urbano varia in base all’idea di cosa è, in un dato momento storico e in un dato contesto, una situazione di benessere delle persone. L’urbanistica moderna mirava al massimo benessere del singolo e della collettività e a modellarsi sulle “effettive necessità delle persone”: nei vecchi manuali di urbanistica compare come appendice al piano regolatore il “Piano dei servizi”, che comprende i servizi distribuiti sul territorio circostante, una sorta di “piano regolatore sociale”, per evitare quartieri separati per fasce di popolazione o per classi. Nella città contemporanea la globalizzazione, le nuove forme di marginalizzazione e di esclusione, l’avvento della cosiddetta “new economy”, la ridefinizione della base produttiva e del mercato del lavoro urbani sono espressione di una complessità sociale che può essere definita sulla base delle transazioni e gli scambi simbolici piuttosto che sui processi di industrializzazione e di modernizzazione verso cui era orientata la città storica, definita moderna. Tutto ciò costituisce quel complesso di questioni che attualmente viene definito “nuovo welfare”, in contrapposizione a quello essenzialmente basato sull’istruzione, sulla sanità, sul sistema pensionistico e sull’assistenza sociale. La ricerca ha quindi analizzato gli strumenti tradizionali della pianificazione e programmazione territoriale, nella loro dimensione operativa e istituzionale: la destinazione principale di tali strumenti consiste nella classificazione e nella sistemazione dei servizi e dei contenitori urbanistici. E’ chiaro, tuttavia, che per poter rispondere alla molteplice complessità di domande, bisogni e desideri espressi dalla società contemporanea le dotazioni effettive per “fare città” devono necessariamente superare i concetti di “standard” e di “zonizzazione”, che risultano essere troppo rigidi e quindi incapaci di adattarsi all’evoluzione di una domanda crescente di qualità e di servizi e allo stesso tempo inadeguati nella gestione del rapporto tra lo spazio domestico e lo spazio collettivo. In questo senso è rilevante il rapporto tra le tipologie abitative e la morfologia urbana e quindi anche l’ambiente intorno alla casa, che stabilisce il rapporto “dalla casa alla città”, perché è in questa dualità che si definisce il rapporto tra spazi privati e spazi pubblici e si contestualizzano i temi della strada, dei negozi, dei luoghi di incontro, degli accessi. Dopo la convergenza dalla scala urbana alla scala edilizia si passa quindi dalla scala edilizia a quella urbana, dal momento che il criterio del benessere attraversa le diverse scale dello spazio abitabile. Non solo, nei sistemi territoriali in cui si è raggiunto un benessere diffuso ed un alto livello di sviluppo economico è emersa la consapevolezza che il concetto stesso di benessere sia non più legato esclusivamente alla capacità di reddito collettiva e/o individuale: oggi la qualità della vita si misura in termini di qualità ambientale e sociale. Ecco dunque la necessità di uno strumento di conoscenza della città contemporanea, da allegare al Piano, in cui vengano definiti i criteri da osservare nella progettazione dello spazio urbano al fine di determinare la qualità e il benessere dell’ambiente costruito, inteso come benessere generalizzato, nel suo significato di “qualità dello star bene”. E’ evidente che per raggiungere tale livello di qualità e benessere è necessario provvedere al soddisfacimento da una parte degli aspetti macroscopici del funzionamento sociale e del tenore di vita attraverso gli indicatori di reddito, occupazione, povertà, criminalità, abitazione, istruzione, etc.; dall’altra dei bisogni primari, elementari e di base, e di quelli secondari, culturali e quindi mutevoli, trapassando dal welfare state allo star bene o well being personale, alla wellness in senso olistico, tutte espressioni di un desiderio di bellezza mentale e fisica e di un nuovo rapporto del corpo con l’ambiente, quindi manifestazione concreta di un’esigenza di ben-essere individuale e collettivo. Ed è questa esigenza, nuova e difficile, che crea la diffusa sensazione dell’inizio di una nuova stagione urbana, molto più di quanto facciano pensare le stesse modifiche fisiche della città.

Maximum principle, mean value operators and quasi boundedness in non-euclidean settings

This work deals with some classes of linear second order partial differential operators with non-negative characteristic form and underlying non- Euclidean structures. These structures are determined by families of locally Lipschitz-continuous vector fields in RN, generating metric spaces of Carnot- Carath´eodory type. The Carnot-Carath´eodory metric related to a family {Xj}j=1,...,m is the control distance obtained by minimizing the time needed to go from two points along piecewise trajectories of vector fields. We are mainly interested in the causes in which a Sobolev-type inequality holds with respect to the X-gradient, and/or the X-control distance is Doubling with respect to the Lebesgue measure in RN. This study is divided into three parts (each corresponding to a chapter), and the subject of each one is a class of operators that includes the class of the subsequent one. In the first chapter, after recalling “X-ellipticity” and related concepts introduced by Kogoj and Lanconelli in [KL00], we show a Maximum Principle for linear second order differential operators for which we only assume a Sobolev-type inequality together with a lower terms summability. Adding some crucial hypotheses on measure and on vector fields (Doubling property and Poincar´e inequality), we will be able to obtain some Liouville-type results. This chapter is based on the paper [GL03] by Guti´errez and Lanconelli. In the second chapter we treat some ultraparabolic equations on Lie groups. In this case RN is the support of a Lie group, and moreover we require that vector fields satisfy left invariance. After recalling some results of Cinti [Cin07] about this class of operators and associated potential theory, we prove a scalar convexity for mean-value operators of L-subharmonic functions, where L is our differential operator. In the third chapter we prove a necessary and sufficient condition of regularity, for boundary points, for Dirichlet problem on an open subset of RN related to sub-Laplacian. On a Carnot group we give the essential background for this type of operator, and introduce the notion of “quasi-boundedness”. Then we show the strict relationship between this notion, the fundamental solution of the given operator, and the regularity of the boundary points.