Algumas generalizações do teorema clássico de Borsuk-Ulam

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Gruppi topologici e rivestimenti

Dopo una breve carrellata sui principali concetti della topologia algebrica, la tesi si concentra sui gruppi topologici e sul loro rivestimento. Si conclude infine con lo studio del rivestimento di SU(2) su SO(3,R).

Teorema di Brouwer ed applicazioni

Lo scopo di questa tesi è analizzare il teorema del punto fisso di Brouwer, e lo faremo da più punti di vista, generalizzandolo e dando una piccola illustrazione di una sua possibile applicazione nella teoria dei giochi. Il teorema del punto fisso è uno dei teoremi prìncipi della topologia algebrica. Nella versione classica esso afferma che qualsiasi funzione continua che porta la palla unitaria di \R^{n} in se stessa possiede un punto fisso.

Rivestimenti topologici e gruppo fondamentale

Questa tesi ha come obiettivo principale quello di calcolare il gruppo fondamentale di alcuni spazi topologici noti, in particolare alcuni spazi di orbite rispetto ad azioni di gruppi. Il gruppo fondamentale è un gruppo che può essere associato ad ogni spazio topologico X connesso per archi e che per le sue proprietà può fornire informazioni sulla topologia di X; è uno dei primi concetti della topologia algebrica. La nozione di gruppo fondamentale è strettamente legata alla nozione di rivestimento, particolare funzione tale che ogni punto del codominio possiede un intorno aperto la cui retroimmagine è unione disgiunta di aperti del dominio ognuno dei quli omeomorfi all’intorno di partenza. Si prendono poi in considerazione il caso di spazio di orbite, cioè di uno spazio quoziente di uno spazio topologico X rispetto all’azione di un gruppo. Se tale azione è propriamente discontinua allora la proiezione canonica è un rivestimento. In questa tesi utilizzeremo i risultati che legano i gruppi fondamentali di X e X/G per calcolare il gruppo fondamentale di alcuni spazi notevoli, quali la circonferenza, il toro, lo spazio proiettivo e il nastro di Moebius.

Tensorial group field theories

In questa tesi il Gruppo di Rinormalizzazione non-perturbativo (FRG) viene applicato ad una particolare classe di modelli rilevanti in Gravit`a quantistica, conosciuti come Tensorial Group Field Theories (TGFT). Le TGFT sono teorie di campo quantistiche definite sulla variet`a di un gruppo G. In ogni dimensione esse possono essere espanse in grafici di Feynman duali a com- plessi simpliciali casuali e sono caratterizzate da interazioni che implementano una non-localit`a combinatoriale. Le TGFT aspirano a generare uno spaziotempo in un contesto background independent e precisamente ad ottenere una descrizione con- tinua della sua geometria attraverso meccanismi fisici come le transizioni di fase. Tra i metodi che meglio affrontano il problema di estrarre le transizioni di fase e un associato limite del continuo, uno dei pi` u efficaci `e il Gruppo di Rinormalizzazione non-perturbativo. In questo elaborato ci concentriamo su TGFT definite sulla variet`a di un gruppo non-compatto (G = R) e studiamo il loro flusso di Rinormalizzazione. Identifichiamo con successo punti fissi del flusso di tipo IR, e una superficie critica che suggerisce la presenza di transizioni di fase in regime Infrarosso. Ci`o spinge ad uno stu- dio per approfondire la comprensione di queste transizioni di fase e della fisica continua che vi `e associata. Affrontiamo inoltre il problema delle divergenze Infrarosse, tramite un processo di regolarizzazione che definisce il limite termodinamico appropriato per le TGFT. Infine, applichiamo i metodi precedentementi sviluppati ad un modello dotato di proiezione sull’insieme dei campi gauge invarianti. L’analisi, simile a quella applicata al modello precedente, conduce nuovamente all’identificazione di punti fissi (sia IR che UV) e di una superficie critica. La presenza di transizioni di fasi `e, dunque, evidente ancora una volta ed `e possibile confrontare il risultato col modello senza proiezione sulla dinamica gauge invariante.

H-gruppi e co-H-gruppi

Si inizia generalizzando la teoria dei gruppi a categorie qualsiasi, quindi senza necessariamente un insieme sostegno, studiando anche i cogruppi, ovvero gli oggetti duali dei gruppi, e caratterizzando in termini categoriali tali strutture. Vengono poi studiati oggetti topologici con la struttura di gruppo generalizzato vista inizialmente, compatibile con la struttura topologica. L'utilità degli H-gruppi e dei co-H-gruppi è specialmente in topologia algebrica, dove la struttura di questi oggetti fornisce molte informazioni sul loro comportamento, in termini di gruppi di omotopia e di più generici gruppi di mappe fra loro e altri spazi. Vengono poi dati esempi di questi oggetti, e si studia come i co-H-gruppi, in particolare, permettono di definire i gruppi di omotopia e di dimostrare i risultati fondamentali della teoria dell'omotopia.

Rivestimenti ramificati semplici in dimensione 3

In questa tesi, che si colloca nell'ambito della topologia algebrica, si affronta l'approccio allo studio delle 3-varietà mediante il concetto di rivestimento. In particolare si studiano i rivestimenti ramificati il cui l'insieme di ramificazione è un link. Il tema centrale della tesi è il teorema di Hilden-Montesinos, che in particolare tratta di rivestimenti ramificati di ordine 3 semplici. Per questo si affronta il concetto di monodromia e di gruppo di un link. L'ultima parte descrive il problema di trovare equivalenze tra diagrammi colorati che rappresentano 3-varietà, mostrando infine una possibile soluzione trovata da Riccardo Piergallini.

Presentazione di varietà tridimensionali tramite poliedri

Lo scopo della tesi è dimostrare un teorema che offre una condizione necessaria e sufficiente affinché un poliedro con facce identificate risulti una varietà tridimensionale. Nel primo capitolo si descrive una possibile metodologia di studio e presentazione delle superfici al fine di fare un confronto con le 3-varietà. Nel secondo capitolo, prima di studiare il teorema principale, si descrivono nozioni di topologia algebrica utili nella sua dimostrazione: la coomologia e la dualità di Poincaré. Infine il terzo capitolo è dedicato alla descrizione di due esempi di 3-varietà e ad un controesempio al teorema in dimensione 5.

Organizzazione strutturale della catena respiratoria mitocondriale

La catena respiratoria mitocondriale è principalmente costituita da proteine integrali della membrana interna, che hanno la capacità di accoppiare il flusso elettronico, dovuto alle reazioni redox che esse catalizzano, al trasporto di protoni dalla matrice del mitocondrio verso lo spazio intermembrana. Qui i protoni accumulati creano un gradiente elettrochimico utile per la sintesi di ATP ad opera dell’ATP sintasi. Nonostante i notevoli sviluppi della ricerca sulla struttura e sul meccanismo d’azione dei singoli enzimi della catena, la sua organizzazione sovramolecolare, e le implicazioni funzionali che ne derivano, rimangono ancora da chiarire in maniera completa. Da questa problematica trae scopo la presente tesi volta allo studio dell’organizzazione strutturale sovramolecolare della catena respiratoria mediante indagini sia cinetiche che strutturali. Il modello di catena respiratoria più accreditato fino a qualche anno fa si basava sulla teoria delle collisioni casuali (random collision model) che considera i complessi come unità disperse nel doppio strato lipidico, ma collegate funzionalmente tra loro da componenti a basso peso molecolare (Coenzima Q10 e citocromo c). Recenti studi favoriscono invece una organizzazione almeno in parte in stato solido, in cui gli enzimi respiratori si presentano sotto forma di supercomplessi (respirosoma) con indirizzamento diretto (channeling) degli elettroni tra tutti i costituenti, senza distinzione tra fissi e mobili. L’importanza della comprensione delle relazioni che si instaurano tra i complessi , deriva dal fatto che la catena respiratoria gioca un ruolo fondamentale nell’invecchiamento, e nello sviluppo di alcune malattie cronico degenerative attraverso la genesi di specie reattive dell’ossigeno (ROS). E’ noto, infatti, che i ROS aggrediscono, anche i complessi respiratori e che questi, danneggiati, producono più ROS per cui si instaura un circolo vizioso difficile da interrompere. La nostra ipotesi è che, oltre al danno a carico dei singoli complessi, esista una correlazione tra le modificazioni della struttura del supercomplesso, stress ossidativo e deficit energetico. Infatti, la dissociazione del supercomplesso può influenzare la stabilità del Complesso I ed avere ripercussioni sul trasferimento elettronico e protonico; per cui non si può escludere che ciò porti ad un’ulteriore produzione di specie reattive dell’ossigeno. I dati sperimentali prodotti a sostegno del modello del respirosoma si riferiscono principalmente a studi strutturali di elettroforesi su gel di poliacrilammide in condizioni non denaturanti (BN-PAGE) che, però, non danno alcuna informazione sulla funzionalità dei supercomplessi. Pertanto nel nostro laboratorio, abbiamo sviluppato una indagine di tipo cinetico, basata sull’analisi del controllo di flusso metabolico,in grado di distinguere, funzionalmente, tra supercomplessi e complessi respiratori separati. Ciò è possibile in quanto, secondo la teoria del controllo di flusso, in un percorso metabolico lineare composto da una serie di enzimi distinti e connessi da intermedi mobili, ciascun enzima esercita un controllo (percentuale) differente sull’intero flusso metabolico; tale controllo è definito dal coefficiente di controllo di flusso, e la somma di tutti i coefficienti è uguale a 1. In un supercomplesso, invece, gli enzimi sono organizzati come subunità di una entità singola. In questo modo, ognuno di essi controlla in maniera esclusiva l’intero flusso metabolico e mostra un coefficiente di controllo di flusso pari a 1 per cui la somma dei coefficienti di tutti gli elementi del supercomplesso sarà maggiore di 1. In questa tesi sono riportati i risultati dell’analisi cinetica condotta su mitocondri di fegato di ratto (RLM) sia disaccoppiati, che accoppiati in condizioni fosforilanti (stato 3) e non fosforilanti (stato 4). L’analisi ha evidenziato l’associazione preferenziale del Complesso I e Complesso III sia in mitocondri disaccoppiati che accoppiati in stato 3 di respirazione. Quest’ultimo risultato permette per la prima volta di affermare che il supercomplesso I+III è presente anche in mitocondri integri capaci della fosforilazione ossidativa e che il trasferimento elettronico tra i due complessi possa effettivamente realizzarsi anche in condizioni fisiologiche, attraverso un fenomeno di channeling del Coenzima Q10. Sugli stessi campioni è stata eseguita anche un analisi strutturale mediante gel-elettroforesi (2D BN/SDS-PAGE) ed immunoblotting che, oltre a supportare i dati cinetici sullo stato di aggregazione dei complessi respiratori, ci ha permesso di evidenziare il ruolo del citocromo c nel supercomplesso, in particolare per il Complesso IV e di avviare uno studio comparativo esteso ai mitocondri di cuore bovino (BHM), di tubero di patata (POM) e di S. cerevisiae.

Lo spazio dodecaedrico di Poincaré

Si descrive lo spazio di Poincaré tramite la sua descrizione come dodecaedro con identificazioni sul bordo. A tal proposito sono analizzate le proprietà di gruppo su S^3 (quaternioni) e le proprietà dei politopi regolari in 4 dimensioni. Infine sono calcolati gruppo fondamentale e omologia dello spazio, si dimostra che è una sfera d'omologia e vengono descritte le sue principali proprietà ponendo l'accento sull'importanza storica e matematica di questo spazio.

Combinatoria e topologia di arrangiamenti di iperpiani

In questo elaborato vengono studiati gli arrangiamenti di iperpiani prima di tutto dal punto di vista combinatorio e, in seguito, dal punto di vista topologico. Particolare attenzione verrà riposta nello studio della coomologia del complemento di arrangiamenti complessi. Per giungere ad una completa descrizione coomologica si sfrutterà la costruzione e lo studio di particolari algebre esterne basate sulle caratteristiche combinatorie degli arrangiamenti.

Arquitetura de uma rede de interconexão com memória compartilhada baseada na topologia crossbar

Multi-Processor System-on-Chip (MPSoC) possui vários processadores, em um único chip. Várias aplicações podem ser executadas de maneira paralela ou uma aplicação paralelizável pode ser particionada e alocada em cada processador, a fim de acelerar a sua execução. Um problema em MPSoCs é a comunicação entre os processadores, necessária para a execução destas aplicações. Neste trabalho, propomos uma arquitetura de rede de interconexão baseada na topologia crossbar, com memória compartilhada. Esta arquitetura é parametrizável, possuindo N processadores e N módulos de memórias. A troca de informação entre os processadores é feita via memória compartilhada. Neste tipo de implementação cada processador executa a sua aplicação em seu próprio módulo de memória. Através da rede, todos os processadores têm completo acesso a seus módulos de memória simultaneamente, permitindo que cada aplicação seja executada concorrentemente. Além disso, um processador pode acessar outros módulos de memória, sempre que necessite obter dados gerados por outro processador. A arquitetura proposta é modelada em VHDL e seu desempenho é analisado através da execução paralela de uma aplicação, em comparação à sua respectiva execução sequencial. A aplicação escolhida consiste na otimização de funções objetivo através do método de Otimização por Enxame de Partículas (Particle Swarm Optimization - PSO). Neste método, um enxame de partículas é distribuído igualmente entre os processadores da rede e, ao final de cada interação, um processador acessa o módulo de memória de outro processador, a fim de obter a melhor posição encontrada pelo enxame alocado neste. A comunicação entre processadores é baseada em três estratégias: anel, vizinhança e broadcast. Essa aplicação foi escolhida por ser computacionalmente intensiva e, dessa forma, uma forte candidata a paralelização.

Os valores semânticos das preposições a, até e para em Português Europeu Trajetórias, fronteiras, telicidade e topologia

Tese apresentada para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Doutor em Linguística

Càlcul funcional: topologia, successions i continuïtat

Oferim als estudiants universitaris i als lectors interessats aquesta guia didàctica de la matemàtica universitària com a fruit dels nostres anys de docència de les matemàtiques a la Universitat. El resultat final ha esdevingut una col·lecció de setze petits volums agrupats en els dos mòduls d'Àlgebra Lineal i de Càlcul Infinitesimal. El present volum s’inicia amb un estudi de les nocions de la topologia de Rn , que creiem necessari per analitzar amb un mínim de rigor el concepte de continuïtat d’una funció, que tractem en aquest mateix volum, i el concepte de derivabilitat que analitzem en el volum següent. Així mateix, es realitza un estudi de les successions i sèries numèriques, noció que emprarem també per definir el límit d’una funció en un punt. Malgrat que incloem les definicions rigoroses d’alguns conceptes, hem volgut fugir deliberadament de l’excessiu rigor per donar prioritat a les idees intuïtives que ens poden ajudar a entendre la pràctica dels conceptes

Topologia e cálculo no Rn

Os autores objetivam, com este trabalho preliminar (críticas são bemvindas), bem como com aqueles que lhe darão continuidade, registrar as suas experiência ao longo dos últimos anos ministrando cadeiras de matemática nos cursos de pós-graduação em economia da Fundação Getúlio Vargas e da PUC-RJ. Reveste-se de constante repetição em tais cursos a discussão sobre que pontos abordar, bem como com qual grau de profundidade, e em que ordem. É neste sentido que os autores esperam trazer alguma contribuição para o assunto. No texto, demostram-se apenas os resultados mais importantes e específicos, levando-se em consideração o tempo que um curso de pós-graduação em economia pode dedicar ao ensino de matemática. Para os demais resultados há inúmeras referências mais especializadas citadas no apêndice. Em contrapartida à omissão de algumas formalizações, os autores procuram propiciar ao leitor o domínio das técnicas apresentadas através da apresentação de vários exemplos e/ou exercícios propostos.