A ordem da Natureza

Durante a palestra efetuada foram discutidos vários temas relacionados com a regularidade dos eventos naturais. Foi explicitado a diferença entre acontecimento caótico e acontecimento regular, dando-se exemplos de padrões geométricos e numéricos.

Espaço geográfico e complexidade: modelação do crescimento das áreas construídas na aglomeração de Lisboa

Tese apresentada para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Doutor em Geografia e Planeamento Regional, Especialidade em Novas Tecnologias em Geografia

Sistemas de Informação Geográfica e Videojogos

O espaço é um elemento fundamental no design de videojogos. A tecnologia actual dá ao jogador a possibilidade de experienciar mundos de grandes dimensões, sejam eles puramente imaginários, ou réplicas de ambientes reais. As exigências da produção destes mundos fazem com que os métodos de criação manuais não sejam suficientes, e haja recurso a ferramentas de geração procedimental de conteúdos. No que diz respeito aos mapas, estes procedimentos assemelham-se aos processos de modelação geográfica utilizados nos Sistemas de Informação Geográfica, mas são raros os casos em que há a utilização conjunta das tecnologias. Este trabalho replica métodos de geração procedimental de mapas em videojogos com recurso a software de Sistemas de Informação Geográfica, indentifica as mais-valias desta abordagem e aponta duas alternativas, cujo desenvolvimento pode contribuir para a aproximação das duas áreas.

Introdução à Geometria Fractal

No passado, a Matemática esteve, em grande parte, preocupada com conjuntos e funções que podem ser estudados através dos métodos clássicos de cálculo1. Por exemplo, na geometria, Havia o hábito de descrever os objectos através de formas regulares: rectas, circunferências, cones etc. Mas, será que uma nuvem é formada por esferas, uma montanha por cones e continentes por circunferências? Existem alguns objectos na natureza, nas ciências em geral e na matemática, em particular (conjuntos, funções), que não são suficientemente "lisos" e que tendiam a ser ignorados e rotulados como “patológicos” . Tais objectos foram considerados como curiosidades, e assim, estudados e analisados por alguns investigadores ao longo dos tempos. Porém, em 1960, Benoit B. Mandelbrot2, trouxe essa matéria à agenda matemática da actualidade, apresentando uma fundamentação coerente do que seriam essas "não-formas". Refazendo alguns estudos nessa área e conhecendo ideias de outros autores apresentou estudos sobre fractais criando assim a teoria dos fractais ou a geometria fractal. Os fractais caracterizam-se por terem uma aparência complexa e confusa, em certos casos, mas quando olhados matematicamente, sua análise denota figuras que apresentam regularidades e comportamentos curiosos, como o de se assemelharem a elas mesmas quando observadas a diferentes escalas, por exemplo. A geometria fractal é portanto o ramo da Matemática que estuda as propriedades dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela Geometria Euclidiana. A geometria fractal descreve taambém como os fractais podem ser aplicados na ciência, tecnologia, arte, etc., sobretudo com recurso computadores. A geometria fractal ainda não fez a sua entrada nos programas dematemática no sistema educativo cabo-verdiano, sendo portanto, pouco conhecida nesse meio. Assim escolhemos essa geometria como tema do nosso trabalho, cujo objectivo geral é divulgar o mundo dos fractais e as suas aplicações, na educação. Aprofundar os conhecimentos sobre a geometria fractal e suas aplicações práticas e no ensino, integrar os conhecimentos de Álgebra Linear, Geometria e Topologia adquiridos no curso e aplicar os fractais ao estudo das sucessões (progressões geométricas) são os objectivos específicos. A partir destes objectivos surgiram as nossas questões de investigação, que tentamos responder ao longo do estudo: 1. Como se fundamenta a geometria fractal? 2. Quais são as principais aplicações? 3. Como aplicar os fractais no ensino secundário (sucessões), de modo a tornar o ensino de matemática mais interessante e motivador? Tais são as questões para as quais procuramos uma resposta ao longo do desenvolvimento do projecto.

A natureza fractal de ácidos húmicos

Dentre as ferramentas usadas para descrever a estrutura ramificada ou a superfície rugosa e distorcida de ácidos húmicos (AH), a geometria fractal aparece como uma das mais adequadas para explicar a conformação de partículas húmicas (agregados moleculares). Do ponto de vista experimental, a dimensão fractal (D) de sistemas naturais pode ser determinada a partir do monitoramento da luz transmitida, não espalhada e não absorvida (turbidimetria 'τ'). A presença de fractais implica que o sistema pode ser decomposto em partes, em que cada uma, subseqüentemente, é cópia do todo. A determinação do valor 'D' dessas partículas foi conseguida pela utilização de turbidimetria, em que suspensões de AH-comercial e de AH-Espodossolo foram analisadas por espectrofotometria UV-Vis. O fundamento matemático utilizado foi a lei de potência τ ∝ λβ, em que β < 3 indica a presença de fractal de massa (Dm); 3 < β < 4 indica fractal de superfície (Ds), e β ≅ 3 indica não-fractal (NF). A declividade das retas (β) por meio do gráfico (logτ vs logλ) permitiu a obtenção de 'D'. Segundo os resultados, partículas de AH em suspensões aquosas diluídas formam estruturas fractais, cuja geometria pode ser caracterizada por meio de turbidimetria. Entretanto, a faixa de comprimento de onda usada (400 a 550 nm) ainda é pequena para se afirmar sobre a natureza fractal de AH e determinar suas dimensões fractais com precisão.

Variabilidade espacial da agregação do solo avaliada pela geometria fractal e geoestatística

Este trabalho teve por objetivo explorar a aplicabilidade da teoria de fractais no estudo da variabilidade espacial em agregação de solo. A geometria de fractais tem sido proposta como um modelo para a distribuição de tamanho de partículas. A distribuição do tamanho de agregados do solo, expressos em termos de massa, é apresentada. Os parâmetros do modelo, tais como: a dimensão fractal D, medida representativa da fragmentação do solo (quanto maior seu valor, maior a fragmentação), e o tamanho do maior agregado R L foram definidos como ferramentas descritivas para a agregação do solo. Os agregados foram coletados em uma profundidade de 0-10 cm de um Latossolo Vermelho distrófico típico álico textura argilosa, em Angatuba, São Paulo. Uma grade regular de 100 x 100 m foi usada e a amostragem realizada em 76 pontos nos quais se determinou a distribuição de agregados por via úmida, usando água, álcool e benzeno como pré-tratamentos. Pelo exame de semivariogramas, constatou-se a ocorrência de dependência espacial. A krigagem ordinária foi usada como interpolador e mapas de contorno mostraram-se de grande utilidade na descrição da variabilidade espacial de agregação do solo.

Funil de haines modificado: curvas de retenção de solos próximos à saturação

O movimento da água através da matriz do solo é geralmente modelado pelas equações de Darcy, Darcy-Buckingam e Richards, cujo uso está baseado no conhecimento de algumas propriedades físicas do solo, como, por exemplo, a distribuição de poros e a retenção de água pelo solo. A retenção de água pelo solo é conhecida a partir da determinação de sua curva de retenção (CR) ou curva característica. O primeiro objetivo deste trabalho foi apresentar um aparato simples, desenvolvido pela modificação do funil de placa porosa (funil de Haines), para a investigação e o levantamento de CRs detalhadas, em amostras de solos em condições de umidade próximas à saturação e em amostras com potenciais mátricos (ψm) que vão desde 0 kPa a aproximadamente -12 kPa (120 cm de altura de coluna de água). Foram investigados agregados de um Latossolo Vermelho distrófico (LVd) de uma região do Estado do Paraná, cujos diâmetros médios e densidades variaram, respectivamente, entre 1,6 e 5,7 cm e 1,01 e 1,31 g cm-3, e amostras arenosas reconstituídas com areias de diâmetros médios entre 0,106 mm e 2,000 mm, com dimensões fractais de fracionamento (Df) entre 2,5 e 3,0. O segundo objetivo do trabalho foi inferir a distribuição de poros das amostras investigadas. Isso foi conseguido utilizando-se os parâmetros de ajuste da curva de van Genuchtenaos pontos das CRs obtidas para a determinação da Função Capacidade de Água (FCA). Pela análise dessas FCAs, observou-se que as amostras de agregados de solo apresentaram um sistema poroso de maior complexidade; e que a variação da granulometria do solo arenoso está diretamente relacionada às modificações de suas propriedades de retenção de água. Finalmente, a variação na densidade dos agregados investigados não alterou significativamente o comportamento das curvas de retenção na faixa de tensões estudadas.

ANÁLISE DE IMAGENS NA DETERMINAÇÃO DA FORMA E TEXTURA DE AREIAS

A forma dos grãos tem importante papel na avaliação da distribuição granulométrica das partículas de um solo. Entretanto, a maioria das técnicas de peneiramento evidencia que os grãos são esféricos e descritos por um único parâmetro, o diâmetro. Este trabalho teve por objetivo estudar a aplicação da análise de imagens, aliada ao grau de esfericidade e à teoria dos fractais, como ferramenta para mensurar parâmetros de forma e textura superficial de duas areias de características supostamente distintas da região da Grande Vitória, Espírito Santo, Brasil. Os resultados dos parâmetros de forma e textura superficial das amostras são apresentados e discutidos. As análises dos resultados para a variável esfericidade mostram diferenças estatísticas significativas entre as duas areias de origens diferentes. A areia de jazida de cordão litorâneo (AJ) apresentou grau de esfericidade ligeiramente superior e textura superficial mais lisa do que a de rio (AR), indicando que as areias AJ sofreram maior intemperismo em razão do transporte.

A geometria fractal da rede de drenagem da bacia hidrográfica do Caeté, Alfredo Wagner-SC

Os objetivos deste trabalho foram estimar e avaliar a dimensão fractal da rede de drenagem da bacia hidrográfica do Caeté, em Alfredo Wagner, SC, a partir de diferentes métodos, com o propósito de caracterizar as formas geomorfológicas irregulares. A rede de drenagem apresenta propriedades multifractais. As dimensões fractais para os segmentos individuais (df) e para a rede de drenagem inteira (Df) foram determinadas por métodos que se fundamentaram nas razões de Horton e pelo método da contagem de caixas (Box-Counting). A rede de drenagem tem característica de autoafinidade. A dimensão fractal proveniente da relação de parâmetros obtidos pelas Leis de Horton apresentou resultados dentro dos limiares da teoria da geometria fractal.

Sistemas complexos: novas formas de ver a Botânica

Uma parte da ciência denominada Complexidade vem se desenvolvendo rapidamente durante os últimos 15 anos e as aplicações de tais ferramentas às Ciências Vegetais são iminentes. Na presente revisão, são apresentados conceitos básicos relacionados à Complexidade e dados alguns exemplos de suas aplicações em diferentes áreas da Botânica. O argumento principal deste trabalho é que a melhor compreensão e conseqüente aplicação de tais enfoques à taxonomia, fisiologia, anatomia e ecologia pelos botânicos provavelmente levará a uma ampliação considerável do que se sabe sobre os vegetais.

Estrutura fractal em séries temporais : uma investigação quanto à hipótese de passeio aleatório no mercado à vista de commodities Agrícolas Brasileiro.

As variáveis econômicas são frequentemente governadas por processos dinâmicos e não-lineares que podem gerar relações de dependência de longo prazo e padrões cíclicos não-periódicos com mudanças abruptas de tendências. Para o caso dos preços agrícolas este comportamento não é diferente e as peculiaridades destes mercados podem gerar séries temporais fracionalmente integradas, cujas singularidades não seriam adequadamente capturadas pelos tradicionais modelos analíticos fundamentados na hipótese dos mercados eficientes e de passeio aleatório. Sendo assim, o presente estudo buscou investigar a presença de estruturas fractais no mercado à vista de algumas das principais commodities agrícolas brasileiras: café, boi gordo, açúcar, milho, soja e bezerro. Foram empregadas técnicas tradicionais e específicas para a análise de séries temporais fractais como a análise de R/S e a aplicação de modelos das famílias ARFIMA e FIGARCH. Os resultados indicaram que, com exceção do bezerro, o componente de drift destas séries não apresentou comportamento fractal, ao contrário do observado para o componente da volatilidade, que apresentou aspecto de estrutura fractal para todas as commodities analisadas.

Verificação da memória longa persistente no mercado de bitcoins : uma análise do expoente de Hurst ao longo do tempo

Um dos principais fatores de estudo do mercado de capitais é a discussão a respeito da teoria de eficiência de mercado, que no caso diverge em relação ao comportamento do preço da maioria dos ativos. Este trabalho tem o intuito de analisar o comportamento do principal índice de preços do mercado de bitcoins (BPI) durante o período de julho de 2010 a setembro de 2014. Inicialmente será testada a hipótese do passeio aleatório para o BPI. Em seguida serão verificadas as correlações de longa data nas séries financeiras temporais utilizando como instrumento de análise o expoente de Hurst (H), que inicialmente foi usado para calcular correlações em fenômenos naturais e posteriormente sua abrangência alcançou a área financeira. O estudo avalia o expoente H através de métodos distintos destacando-se a análise R/S e a DFA. Para o cálculo do expoente ao longo do tempo, utiliza-se uma janela móvel de 90 dias deslocando-se de 10 em 10 dias. Já para o cálculo em diferentes escalas verifica-se, para cada dia, o valor do expoente H nos últimos 360, 180 e 90 dias respectivamente. Os resultados evidenciaram que o índice BPI apresenta memória longa persistente em praticamente todo o período analisado. Além disso, a análise em diferentes escalas indica a possibilidade de previsão de eventos turbulentos no índice neste mesmo período. Finalmente foi possível comprovar a hipótese de mercados fractais para a série histórica de retornos do BPI.

Análise fractal da vasculatura retínica: métodos de segmentação e de cálculo dimensional

Embora tenha sido proposto que a vasculatura retínica apresenta estrutura fractal, nenhuma padronização do método de segmentação ou do método de cálculo das dimensões fractais foi realizada. Este estudo objetivou determinar se a estimação das dimensões fractais da vasculatura retínica é dependente dos métodos de segmentação vascular e dos métodos de cálculo de dimensão. Métodos: Dez imagens retinográficas foram segmentadas para extrair suas árvores vasculares por quatro métodos computacionais (“multithreshold”, “scale-space”, “pixel classification” e “ridge based detection”). Suas dimensões fractais de “informação”, de “massa-raio” e “por contagem de caixas” foram então calculadas e comparadas com as dimensões das mesmas árvores vasculares, quando obtidas pela segmentação manual (padrão áureo). Resultados: As médias das dimensões fractais variaram através dos grupos de diferentes métodos de segmentação, de 1,39 a 1,47 para a dimensão por contagem de caixas, de 1,47 a 1,52 para a dimensão de informação e de 1,48 a 1,57 para a dimensão de massa-raio. A utilização de diferentes métodos computacionais de segmentação vascular, bem como de diferentes métodos de cálculo de dimensão, introduziu diferença estatisticamente significativa nos valores das dimensões fractais das árvores vasculares. Conclusão: A estimação das dimensões fractais da vasculatura retínica foi dependente tanto dos métodos de segmentação vascular, quanto dos métodos de cálculo de dimensão utilizados

Simulação de fluxo de fluidos em meios porosos desordenados uma análise de efeito de escala na estimativa da permeabilidade e do coeficiente de arrasto

The present study provides a methodology that gives a predictive character the computer simulations based on detailed models of the geometry of a porous medium. We using the software FLUENT to investigate the flow of a viscous Newtonian fluid through a random fractal medium which simplifies a two-dimensional disordered porous medium representing a petroleum reservoir. This fractal model is formed by obstacles of various sizes, whose size distribution function follows a power law where exponent is defined as the fractal dimension of fractionation Dff of the model characterizing the process of fragmentation these obstacles. They are randomly disposed in a rectangular channel. The modeling process incorporates modern concepts, scaling laws, to analyze the influence of heterogeneity found in the fields of the porosity and of the permeability in such a way as to characterize the medium in terms of their fractal properties. This procedure allows numerically analyze the measurements of permeability k and the drag coefficient Cd proposed relationships, like power law, for these properties on various modeling schemes. The purpose of this research is to study the variability provided by these heterogeneities where the velocity field and other details of viscous fluid dynamics are obtained by solving numerically the continuity and Navier-Stokes equations at pore level and observe how the fractal dimension of fractionation of the model can affect their hydrodynamic properties. This study were considered two classes of models, models with constant porosity, MPC, and models with varying porosity, MPV. The results have allowed us to find numerical relationship between the permeability, drag coefficient and the fractal dimension of fractionation of the medium. Based on these numerical results we have proposed scaling relations and algebraic expressions involving the relevant parameters of the phenomenon. In this study analytical equations were determined for Dff depending on the geometrical parameters of the models. We also found a relation between the permeability and the drag coefficient which is inversely proportional to one another. As for the difference in behavior it is most striking in the classes of models MPV. That is, the fact that the porosity vary in these models is an additional factor that plays a significant role in flow analysis. Finally, the results proved satisfactory and consistent, which demonstrates the effectiveness of the referred methodology for all applications analyzed in this study.

Análise fractal da vasculatura arteriolar e venular da retina em pessoas sem doença ocular

Although it has been suggested that retinal vasculature is a diffusion-limited aggregation (DLA) fractal, no study has been dedicated to standardizing its fractal analysis . The aims of this project was to standardize a method to estimate the fractal dimensions of retinal vasculature and to characterize their normal values; to determine if this estimation is dependent on skeletization and on segmentation and calculation methods; to assess the suitability of the DLA model and to determine the usefulness of log-log graphs in characterizing vasculature fractality . To achieve these aims, the information, mass-radius and box counting dimensions of 20 eyes vasculatures were compared when the vessels were manually or computationally segmented; the fractal dimensions of the vasculatures of 60 eyes of healthy volunteers were compared with those of 40 DLA models and the log-log graphs obtained were compared with those of known fractals and those of non-fractals. The main results were: the fractal dimensions of vascular trees were dependent on segmentation methods and dimension calculation methods, but there was no difference between manual segmentation and scale-space, multithreshold and wavelet computational methods; the means of the information and box dimensions for arteriolar trees were 1.29. against 1.34 and 1.35 for the venular trees; the dimension for the DLA models were higher than that for vessels; the log-log graphs were straight, but with varying local slopes, both for vascular trees and for fractals and non-fractals. This results leads to the following conclusions: the estimation of the fractal dimensions for retinal vasculature is dependent on its skeletization and on the segmentation and calculation methods; log-log graphs are not suitable as a fractality test; the means of the information and box counting dimensions for the normal eyes were 1.47 and 1.43, respectively, and the DLA model with optic disc seeding is not sufficient for retinal vascularization modeling