An operator formulation of the multiscale finite-volume method with correction function

The multiscale finite-volume (MSFV) method has been derived to efficiently solve large problems with spatially varying coefficients. The fine-scale problem is subdivided into local problems that can be solved separately and are coupled by a global problem. This algorithm, in consequence, shares some characteristics with two-level domain decomposition (DD) methods. However, the MSFV algorithm is different in that it incorporates a flux reconstruction step, which delivers a fine-scale mass conservative flux field without the need for iterating. This is achieved by the use of two overlapping coarse grids. The recently introduced correction function allows for a consistent handling of source terms, which makes the MSFV method a flexible algorithm that is applicable to a wide spectrum of problems. It is demonstrated that the MSFV operator, used to compute an approximate pressure solution, can be equivalently constructed by writing the Schur complement with a tangential approximation of a single-cell overlapping grid and incorporation of appropriate coarse-scale mass-balance equations.

Analysis of a finite volume method for a cross-diffusion model in population dynamics

The main goal of this paper is to propose a convergent finite volume method for a reactionâeuro"diffusion system with cross-diffusion. First, we sketch an existence proof for a class of cross-diffusion systems. Then the standard two-point finite volume fluxes are used in combination with a nonlinear positivity-preserving approximation of the cross-diffusion coefficients. Existence and uniqueness of the approximate solution are addressed, and it is also shown that the scheme converges to the corresponding weak solution for the studied model. Furthermore, we provide a stability analysis to study pattern-formation phenomena, and we perform two-dimensional numerical examples which exhibit formation of nonuniform spatial patterns. From the simulations it is also found that experimental rates of convergence are slightly below second order. The convergence proof uses two ingredients of interest for various applications, namely the discrete Sobolev embedding inequalities with general boundary conditions and a space-time $L^1$ compactness argument that mimics the compactness lemma due to Kruzhkov. The proofs of these results are given in the Appendix.

Stability of preconditioned finite volume schemes at low Mach numbers

In [4], Guillard and Viozat propose a finite volume method for the simulation of inviscid steady as well as unsteady flows at low Mach numbers, based on a preconditioning technique. The scheme satisfies the results of a single scale asymptotic analysis in a discrete sense and comprises the advantage that this can be derived by a slight modification of the dissipation term within the numerical flux function. Unfortunately, it can be observed by numerical experiments that the preconditioned approach combined with an explicit time integration scheme turns out to be unstable if the time step Dt does not satisfy the requirement to be O(M2) as the Mach number M tends to zero, whereas the corresponding standard method remains stable up to Dt=O(M), M to 0, which results from the well-known CFL-condition. We present a comprehensive mathematical substantiation of this numerical phenomenon by means of a von Neumann stability analysis, which reveals that in contrast to the standard approach, the dissipation matrix of the preconditioned numerical flux function possesses an eigenvalue growing like M-2 as M tends to zero, thus causing the diminishment of the stability region of the explicit scheme. Thereby, we present statements for both the standard preconditioner used by Guillard and Viozat [4] and the more general one due to Turkel [21]. The theoretical results are after wards confirmed by numerical experiments.

Numerical simulation of tunnel fires using preconditioned finite volume schemes

This article is concerned with the numerical simulation of flows at low Mach numbers which are subject to the gravitational force and strong heat sources. As a specific example for such flows, a fire event in a car tunnel will be considered in detail. The low Mach flow is treated with a preconditioning technique allowing the computation of unsteady flows, while the source terms for gravitation and heat are incorporated via operator splitting. It is shown that a first order discretization in space is not able to compute the buoyancy forces properly on reasonable grids. The feasibility of the method is demonstrated on several test cases.

A High Order Finite Volume Scheme for the 2D Shallow Water Equations Including Topography

Inhalt dieser Arbeit ist ein Verfahren zur numerischen Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung, welche das Fließverhalten von Gewässern, deren Oberflächenausdehnung wesentlich größer als deren Tiefe ist, modelliert. Diese Gleichung beschreibt die gravitationsbedingte zeitliche Änderung eines gegebenen Anfangszustandes bei Gewässern mit freier Oberfläche. Diese Klasse beinhaltet Probleme wie das Verhalten von Wellen an flachen Stränden oder die Bewegung einer Flutwelle in einem Fluss. Diese Beispiele zeigen deutlich die Notwendigkeit, den Einfluss von Topographie sowie die Behandlung von Nass/Trockenübergängen im Verfahren zu berücksichtigen. In der vorliegenden Dissertation wird ein, in Gebieten mit hinreichender Wasserhöhe, hochgenaues Finite-Volumen-Verfahren zur numerischen Bestimmung des zeitlichen Verlaufs der Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung aus gegebenen Anfangs- und Randbedingungen auf einem unstrukturierten Gitter vorgestellt, welches in der Lage ist, den Einfluss topographischer Quellterme auf die Strömung zu berücksichtigen, sowie in sogenannten \glqq lake at rest\grqq-stationären Zuständen diesen Einfluss mit den numerischen Flüssen exakt auszubalancieren. Basis des Verfahrens ist ein Finite-Volumen-Ansatz erster Ordnung, welcher durch eine WENO Rekonstruktion unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate und eine sogenannte Space Time Expansion erweitert wird mit dem Ziel, ein Verfahren beliebig hoher Ordnung zu erhalten. Die im Verfahren auftretenden Riemannprobleme werden mit dem Riemannlöser von Chinnayya, LeRoux und Seguin von 1999 gelöst, welcher die Einflüsse der Topographie auf den Strömungsverlauf mit berücksichtigt. Es wird in der Arbeit bewiesen, dass die Koeffizienten der durch das WENO-Verfahren berechneten Rekonstruktionspolynome die räumlichen Ableitungen der zu rekonstruierenden Funktion mit einem zur Verfahrensordnung passenden Genauigkeitsgrad approximieren. Ebenso wird bewiesen, dass die Koeffizienten des aus der Space Time Expansion resultierenden Polynoms die räumlichen und zeitlichen Ableitungen der Lösung des Anfangswertproblems approximieren. Darüber hinaus wird die wohlbalanciertheit des Verfahrens für beliebig hohe numerische Ordnung bewiesen. Für die Behandlung von Nass/Trockenübergangen wird eine Methode zur Ordnungsreduktion abhängig von Wasserhöhe und Zellgröße vorgeschlagen. Dies ist notwendig, um in der Rechnung negative Werte für die Wasserhöhe, welche als Folge von Oszillationen des Raum-Zeit-Polynoms auftreten können, zu vermeiden. Numerische Ergebnisse die die theoretische Verfahrensordnung bestätigen werden ebenso präsentiert wie Beispiele, welche die hervorragenden Eigenschaften des Gesamtverfahrens in der Berechnung herausfordernder Probleme demonstrieren.

A high-order arbitrarily unstructured finite-volume model of the global atmosphere: tests solving the shallow-water equations

Simulations of the global atmosphere for weather and climate forecasting require fast and accurate solutions and so operational models use high-order finite differences on regular structured grids. This precludes the use of local refinement; techniques allowing local refinement are either expensive (eg. high-order finite element techniques) or have reduced accuracy at changes in resolution (eg. unstructured finite-volume with linear differencing). We present solutions of the shallow-water equations for westerly flow over a mid-latitude mountain from a finite-volume model written using OpenFOAM. A second/third-order accurate differencing scheme is applied on arbitrarily unstructured meshes made up of various shapes and refinement patterns. The results are as accurate as equivalent resolution spectral methods. Using lower order differencing reduces accuracy at a refinement pattern which allows errors from refinement of the mountain to accumulate and reduces the global accuracy over a 15 day simulation. We have therefore introduced a scheme which fits a 2D cubic polynomial approximately on a stencil around each cell. Using this scheme means that refinement of the mountain improves the accuracy after a 15 day simulation. This is a more severe test of local mesh refinement for global simulations than has been presented but a realistic test if these techniques are to be used operationally. These efficient, high-order schemes may make it possible for local mesh refinement to be used by weather and climate forecast models.

Numeric simulation of pollutant dispersion by a control-volume based on finite element method

The dispersion of pollutants in the environment is an issue of great interest as it directly affects air quality, mainly in large cities. Experimental and numerical tools have been used to predict the behavior of pollutant species dispersion in the atmosphere. A software has been developed based on the control-volume based on the finite element method in order to obtain two-dimensional simulations of Navier-Stokes equations and heat or mass transportation in regions with obstacles, varying position of the pollutant source. Numeric results of some applications were obtained and, whenever possible, compared with literature results showing satisfactory accordance. Copyright (C) 2010 John Wiley & Sons, Ltd.

NUMERICAL SIMULATION of CONVECTION-DIFFUSION PROBLEMS BY THE CONTROL-VOLUME-BASED FINITE-ELEMENT METHOD

This work presents a numerical study of the tri-dimensional convection-diffusion equation by the control-volume-based on finite-element method using quadratic hexahedral elements. Considering that the equation governing this problem in its main variable may represent several properties, including temperature, turbulent kinetic energy, viscous dissipation rate of the turbulent kinetic energy, specific dissipation rate of the turbulent kinetic energy, or even the concentration of a contaminant in a given medium, among others, the wide applicability of this problem is thus evidenced. Three cases of temperature distributions will be studied specifically in this work, in addition to one case of pollutant dispersion upon analysis of the concentration of a contaminant in a fixed flow point. Some comparisons will be carried out against works found in the open literature, while others will be done according to each phenomenon characteristics.

Dynamics of the deconfinement transition of quarks and gluons in a finite volume

We employ finite elements methods for the approximation of solutions of the Ginzburg-Landau equations describing the deconfinement transition in quantum chromodynamics. These methods seem appropriate for situations where the deconfining transition occurs over a finite volume as in relativistic heavy ion collisions. where in addition expansion of the system and flow of matter are important. Simulation results employing finite elements are presented for a Ginzburg-Landau equation based on a model free energy describing the deconfining transition in pure gauge SU(2) theory. Results for finite and infinite system are compared. (C) 2009 Elsevier B.V. All rights reserved.

Finite-volume form factors in semi-classical approximation

A semi-classical approach is used to obtain Lorentz covariant expressions for the form factors between the kink states of a quantum field theory with degenerate vacua. Implemented on a cylinder geometry it provides an estimate of the spectral representation of correlation functions in a finite volume. Illustrative examples of the applicability of the method are provided by the sine-Gordon and the broken phi(4) theories in 1 + 1 dimensions. (C) 2003 Elsevier B.V. All rights reserved.

Digitale Einstrahl-Holographie atmosphärischer Eiskristalle

Es wurde ein für bodengebundene Feldmessungen geeignetes System zur digital-holographischen Abbildung luftgetragener Objekte entwickelt und konstruiert. Es ist, abhängig von der Tiefenposition, geeignet zur direkten Bestimmung der Größe luftgetragener Objekte oberhalb von ca. 20 µm, sowie ihrer Form bei Größen oberhalb von ca. 100µm bis in den Millimeterbereich. Die Entwicklung umfaßte zusätzlich einen Algorithmus zur automatisierten Verbesserung der Hologrammqualität und zur semiautomatischen Entfernungsbestimmung großer Objekte entwickelt. Eine Möglichkeit zur intrinsischen Effizienzsteigerung der Bestimmung der Tiefenposition durch die Berechnung winkelgemittelter Profile wurde vorgestellt. Es wurde weiterhin ein Verfahren entwickelt, das mithilfe eines iterativen Ansatzes für isolierte Objekte die Rückgewinnung der Phaseninformation und damit die Beseitigung des Zwillingsbildes erlaubt. Weiterhin wurden mithilfe von Simulationen die Auswirkungen verschiedener Beschränkungen der digitalen Holographie wie der endlichen Pixelgröße untersucht und diskutiert. Die geeignete Darstellung der dreidimensionalen Ortsinformation stellt in der digitalen Holographie ein besonderes Problem dar, da das dreidimensionale Lichtfeld nicht physikalisch rekonstruiert wird. Es wurde ein Verfahren entwickelt und implementiert, das durch Konstruktion einer stereoskopischen Repräsentation des numerisch rekonstruierten Meßvolumens eine quasi-dreidimensionale, vergrößerte Betrachtung erlaubt. Es wurden ausgewählte, während Feldversuchen auf dem Jungfraujoch aufgenommene digitale Hologramme rekonstruiert. Dabei ergab sich teilweise ein sehr hoher Anteil an irregulären Kristallformen, insbesondere infolge massiver Bereifung. Es wurden auch in Zeiträumen mit formal eisuntersättigten Bedingungen Objekte bis hinunter in den Bereich ≤20µm beobachtet. Weiterhin konnte in Anwendung der hier entwickelten Theorie des ”Phasenrandeffektes“ ein Objekt von nur ca. 40µm Größe als Eisplättchen identifiziert werden. Größter Nachteil digitaler Holographie gegenüber herkömmlichen photographisch abbildenden Verfahren ist die Notwendigkeit der aufwendigen numerischen Rekonstruktion. Es ergibt sich ein hoher rechnerischer Aufwand zum Erreichen eines einer Photographie vergleichbaren Ergebnisses. Andererseits weist die digitale Holographie Alleinstellungsmerkmale auf. Der Zugang zur dreidimensionalen Ortsinformation kann der lokalen Untersuchung der relativen Objektabstände dienen. Allerdings zeigte sich, dass die Gegebenheiten der digitalen Holographie die Beobachtung hinreichend großer Mengen von Objekten auf der Grundlage einzelner Hologramm gegenwärtig erschweren. Es wurde demonstriert, dass vollständige Objektgrenzen auch dann rekonstruiert werden konnten, wenn ein Objekt sich teilweise oder ganz außerhalb des geometrischen Meßvolumens befand. Weiterhin wurde die zunächst in Simulationen demonstrierte Sub-Bildelementrekonstruktion auf reale Hologramme angewandt. Dabei konnte gezeigt werden, dass z.T. quasi-punktförmige Objekte mit Sub-Pixelgenauigkeit lokalisiert, aber auch bei ausgedehnten Objekten zusätzliche Informationen gewonnen werden konnten. Schließlich wurden auf rekonstruierten Eiskristallen Interferenzmuster beobachtet und teilweise zeitlich verfolgt. Gegenwärtig erscheinen sowohl kristallinterne Reflexion als auch die Existenz einer (quasi-)flüssigen Schicht als Erklärung möglich, wobei teilweise in Richtung der letztgenannten Möglichkeit argumentiert werden konnte. Als Ergebnis der Arbeit steht jetzt ein System zur Verfügung, das ein neues Meßinstrument und umfangreiche Algorithmen umfaßt. S. M. F. Raupach, H.-J. Vössing, J. Curtius und S. Borrmann: Digital crossed-beam holography for in-situ imaging of atmospheric particles, J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 8, 796-806 (2006) S. M. F. Raupach: A cascaded adaptive mask algorithm for twin image removal and its application to digital holograms of ice crystals, Appl. Opt. 48, 287-301 (2009) S. M. F. Raupach: Stereoscopic 3D visualization of particle fields reconstructed from digital inline holograms, (zur Veröffentlichung angenommen, Optik - Int. J. Light El. Optics, 2009)

IMEX finite volume methods for the shallow water equations

Die Flachwassergleichungen (SWE) sind ein hyperbolisches System von Bilanzgleichungen, die adäquate Approximationen an groß-skalige Strömungen der Ozeane, Flüsse und der Atmosphäre liefern. Dabei werden Masse und Impuls erhalten. Wir unterscheiden zwei charakteristische Geschwindigkeiten: die Advektionsgeschwindigkeit, d.h. die Geschwindigkeit des Massentransports, und die Geschwindigkeit von Schwerewellen, d.h. die Geschwindigkeit der Oberflächenwellen, die Energie und Impuls tragen. Die Froude-Zahl ist eine Kennzahl und ist durch das Verhältnis der Referenzadvektionsgeschwindigkeit zu der Referenzgeschwindigkeit der Schwerewellen gegeben. Für die oben genannten Anwendungen ist sie typischerweise sehr klein, z.B. 0.01. Zeit-explizite Finite-Volume-Verfahren werden am öftersten zur numerischen Berechnung hyperbolischer Bilanzgleichungen benutzt. Daher muss die CFL-Stabilitätsbedingung eingehalten werden und das Zeitinkrement ist ungefähr proportional zu der Froude-Zahl. Deswegen entsteht bei kleinen Froude-Zahlen, etwa kleiner als 0.2, ein hoher Rechenaufwand. Ferner sind die numerischen Lösungen dissipativ. Es ist allgemein bekannt, dass die Lösungen der SWE gegen die Lösungen der Seegleichungen/ Froude-Zahl Null SWE für Froude-Zahl gegen Null konvergieren, falls adäquate Bedingungen erfüllt sind. In diesem Grenzwertprozess ändern die Gleichungen ihren Typ von hyperbolisch zu hyperbolisch.-elliptisch. Ferner kann bei kleinen Froude-Zahlen die Konvergenzordnung sinken oder das numerische Verfahren zusammenbrechen. Insbesondere wurde bei zeit-expliziten Verfahren falsches asymptotisches Verhalten (bzgl. der Froude-Zahl) beobachtet, das diese Effekte verursachen könnte.Ozeanographische und atmosphärische Strömungen sind typischerweise kleine Störungen eines unterliegenden Equilibriumzustandes. Wir möchten, dass numerische Verfahren für Bilanzgleichungen gewisse Equilibriumzustände exakt erhalten, sonst können künstliche Strömungen vom Verfahren erzeugt werden. Daher ist die Quelltermapproximation essentiell. Numerische Verfahren die Equilibriumzustände erhalten heißen ausbalanciert.rnrnIn der vorliegenden Arbeit spalten wir die SWE in einen steifen, linearen und einen nicht-steifen Teil, um die starke Einschränkung der Zeitschritte durch die CFL-Bedingung zu umgehen. Der steife Teil wird implizit und der nicht-steife explizit approximiert. Dazu verwenden wir IMEX (implicit-explicit) Runge-Kutta und IMEX Mehrschritt-Zeitdiskretisierungen. Die Raumdiskretisierung erfolgt mittels der Finite-Volumen-Methode. Der steife Teil wird mit Hilfe von finiter Differenzen oder au eine acht mehrdimensional Art und Weise approximniert. Zur mehrdimensionalen Approximation verwenden wir approximative Evolutionsoperatoren, die alle unendlich viele Informationsausbreitungsrichtungen berücksichtigen. Die expliziten Terme werden mit gewöhnlichen numerischen Flüssen approximiert. Daher erhalten wir eine Stabilitätsbedingung analog zu einer rein advektiven Strömung, d.h. das Zeitinkrement vergrößert um den Faktor Kehrwert der Froude-Zahl. Die in dieser Arbeit hergeleiteten Verfahren sind asymptotisch erhaltend und ausbalanciert. Die asymptotischer Erhaltung stellt sicher, dass numerische Lösung das "korrekte" asymptotische Verhalten bezüglich kleiner Froude-Zahlen besitzt. Wir präsentieren Verfahren erster und zweiter Ordnung. Numerische Resultate bestätigen die Konvergenzordnung, so wie Stabilität, Ausbalanciertheit und die asymptotische Erhaltung. Insbesondere beobachten wir bei machen Verfahren, dass die Konvergenzordnung fast unabhängig von der Froude-Zahl ist.