Un'applicazione della teoria di Morse alla topologia delle varietà di Stein

In questa tesi si è data una dimostrazione dovuta ad Andreotti e Frenkel del Teorema di Lefschetz, utilizzando gli strumenti e i risultati della Teoria di Morse.

L'assioma di scelta : Storia e influenza sulla matematica del novecento.

L’assioma di scelta ha una preistoria, che riguarda l’uso inconsapevole e i primi barlumi di consapevolezza che si trattasse di un nuovo principio di ragionamento. Lo scopo della prima parte di questa tesi è quello di ricostruire questo percorso di usi più o meno impliciti e più o meno necessari che rivelarono la consapevolezza non solo del fatto che fosse indispensabile introdurre un nuovo principio, ma anche che il modo di “fare matematica” stava cambiando. Nei capitoli 2 e 3, si parla dei moltissimi matematici che, senza rendersene conto, utilizzarono l’assioma di scelta nei loro lavori; tra questi anche Cantor che appellandosi alla banalità delle dimostrazioni, evitava spesso di chiarire le situazioni in cui era richiesta questa particolare assunzione. Il capitolo 2 è dedicato ad un caso notevole e rilevante dell’uso inconsapevole dell’Assioma, di cui per la prima volta si accorse R. Bettazzi nel 1892: l’equivalenza delle due nozioni di finito, quella di Dedekind e quella “naturale”. La prima parte di questa tesi si conclude con la dimostrazione di Zermelo del teorema del buon ordinamento e con un’analisi della sua assiomatizzazione della teoria degli insiemi. La seconda parte si apre con il capitolo 5 in cui si parla dell’intenso dibattito sulla dimostrazione di Zermelo e sulla possibilità o meno di accettare il suo Assioma, che coinvolse i matematici di tutta Europa. In quel contesto l’assioma di scelta trovò per lo più oppositori che si appellavano ad alcune sue conseguenze apparentemente paradossali. Queste conseguenze, insieme alle molte importanti, sono analizzate nel capitolo 6. Nell’ultimo capitolo vengono riportate alcune tra le molte equivalenze dell’assioma di scelta con altri enunciati importanti come quello della tricotomia dei cardinali. Ci si sofferma poi sulle conseguenze dell’Assioma e sulla sua influenza sulla matematica del Novecento, quindi sulle formulazioni alternative o su quelle più deboli come l’assioma delle scelte dipendenti e quello delle scelte numerabili. Si conclude con gli importanti risultati, dovuti a Godel e a Cohen sull’indipendenza e sulla consistenza dell’assioma di scelta nell’ambito della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Risolubilità per radicali di equazioni polinomiali

Lo scopo di questa tesi è lo studio della risolubilità per radicali di equazioni polinomiali nel caso in cui il campo dei coefficienti del polinomio abbia caratteristica zero. Nel primo capitolo vengono richiamati i principali risultati riguardanti la teoria di Galois. Nel secondo capitolo si introducono le nozioni di gruppo risolubile e gruppo semplice analizzandone le proprietà. Nel terzo capitolo si definiscono le estensioni di campi radicali e risolubili. Viene inoltre dimostrato il teorema di Galois che mette in evidenza il legame tra gruppi risolubili ed estensioni risolubili. Infine, nell'ultimo capitolo, si applicano i risultati ottenuti al problema della risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali dando anche diversi esempi. In particolare viene analizzato il caso del polinomio universale di grado n.

Tasso di fuga per perturbazioni aperte di sistemi dinamici caotici

Si dimostra che una classe di trasformazioni espandenti a tratti sull'intervallo unitario soddisfa le ipotesi di un teorema di analisi funzionale contenuto nell'articolo "Rare Events, Escape Rates and Quasistationarity: Some Exact Formulae" di G. Keller e C. Liverani. Si considera un sistema dinamico aperto, con buco di misura epsilon. Se al diminuire di epsilon i buchi costituiscono una famiglia decrescente di sottointervalli di I, e per epsilon che tende a zero essi tendono a un buco formato da un solo punto, allora il teorema precedente consente di dimostrare la differenziabilità del tasso di fuga del sistema aperto, visto come funzione della dimensione del buco. In particolare, si ricava una formula esplicita per l'espansione al prim'ordine del tasso di fuga .

Prototipizzazione di cappa disinquinante per applicazioni ospedaliere con tecnologia koala

Le infezioni ospedaliere (o nosocomiali) sono le complicanze più frequenti e gravi nell’ambito dell’assistenza sanitaria, e costituiscono una delle maggiori cause di morbilità e mortalità. Tale denominazione comprende un insieme piuttosto eterogeneo di condizioni diverse sotto il profilo sia microbiologico che epidemiologico, ma accomunate dall’elevato impatto sulla salute dei pazienti e sui costi sanitari. Molti fattori contribuiscono a condizionare la frequenza delle infezioni nosocomiali, tra cui la compromissione delle difese immunitarie dei pazienti, l’invasività delle nuove tecnologie e pratiche sanitarie in campo diagnostico/terapeutico, l’esecuzione di procedure assistenziali nel non rispetto delle norme igieniche da parte degli operatori sanitari, l’utilizzo estensivo degli antibiotici con conseguente insorgenza di ceppi batterici resistenti; per ultimo, non a caso, l’inquinamento dell’ambiente ospedaliero. Ad oggi, infatti, la contaminazione microbica dell’ambiente (aria e superfici) è ritenuto un fattore di rischio secondario, rispetto alla correttezza dei comportamenti degli operatori (rispetto delle procedure di asepsi, delle precauzioni di isolamento, adeguate tecniche operatorie, ecc), per la quale si sono concentrati gran parte degli sforzi in materia di prevenzione. Ciò probabilmente è anche dovuto al fatto che finora nessuna tecnologia è stata in grado di intervenire in maniera adeguata sulla decontaminazione microbica di aria e superfici. I dati allarmanti sulle infezioni ospedaliere a livello mondiale sono la prova che le misure adottate finora per contrastare il problema non sono sufficienti; inoltre il monito lanciato dall’Organizzazione Mondiale della Sanità riguardo alla progressiva perdita d’efficacia delle terapie antibiotiche impone di trovare al più presto nuove armi per la lotta alle infezioni. Una via sperimentale e innovativa, volta alla riduzione della frequenza d’infezioni ospedaliere, potrebbe essere proprio il disinquinamento dell’aria indoor negli ambienti ospedalieri e delle superfici a contatto diretto con il paziente, ottenibile per mezzo di una tecnologia ad hoc: la “Tecnologia Nano-Safe Koala®” (brevettata da D.A.TECH., azienda specializzata nel disinquinamento dell’aria indoor). Per l’applicazione di tale tecnologia in ambito ospedaliero è stata progettata una "cappa disinquinante", pensata per essere installata al di sopra del posto letto, al fine di fornire al paziente aria incontaminata e di sanificare le superfici a contatto con esso. Una volta realizzato il prototipo, sono state condotte delle sperimentazioni per testarne l’efficacia e l’efficienza, per mezzo di strumenti specifici per quanto riguarda l’analisi dell’aria, e con test biologici per quanto riguarda l’analisi delle superfici.

Modellazione e rendering del lungomare di Riccione mediante Blender

Lo scopo di questa tesi è quello di realizzare un modello tridimensionale del lungomare di Riccione, mediante l'uso di programmi di modellazione, grafica e CAD (computer aided design). Lo scopo è di riprodurre un intero ambiente virtuale che l'utente sia libero di esplorare e in cui possa muoversi in totale libertà. Il possibile utilizzo di un tale progetto è quindi essenzialmente divulgativo o a fini turistici, poiché permette di far conoscere il lungomare di Riccione e di farlo esplorare attivamente dall'utente attraverso il computer comodamente da casa. Questo potrebbe successivamente invogliare gli utenti a visitare dal vivo la città, destando curiosità in merito agli arredi turistici precedentemente osservati in maniera virtuale.

Modellazione di mesh tramite operatori booleani

Nella computer grafica, nell’ambito della modellazione geometrica, si fa uso delle operazioni booleane tra solidi per la manipolazione e la creazione di nuovi oggetti. Queste operazioni, quali unione, intersezione e differenza, vengono applicate alle superfici degli oggetti 3D esattamente come si fa su altri insiemi. In questo modo si riescono ad ottenere nuove forme complesse come combinazione delle altre, che sono in genere più semplici. Ciò che è stato realizzato in questo lavoro di tesi si colloca all’interno di un progetto preesistente, realizzato per consentire la manipolazione di modelli tridimensionali mediante l’utilizzo di operatori booleani: Mesh Glue. In questo lavoro, si è estesa la logica dell’applicazione degli operatori booleani, presente in Mesh Glue, per poter gestire anche scenari con mesh che presentano facce in tangenza. Inoltre, si è inserito Mesh Glue all’interno di un progetto più grande: Mesh Craft. Mesh Craft è un progetto che consiste in un ambiente di modellazione che utilizza come sistema di input il Leap Motion Controller, un dispositivo capace di identificare le dita di una mano e seguirne i movimenti con alta precisione.

Enunciati indipendenti dagli assiomi dell'aritmetica di Peano

Enunciati indipendenti dagli assiomi dell'aritmetica di Peano; è rivolta particolare attenzione all'indipendenza del teorema di Goodstein.

Basi ortonormali negli spazi di Hilbert

Questo elaborato presenta gli elementi di base della Teoria degli Spazi di Hilbert, con particolare attenzione al Teorema della Proiezione sui convessi e ai sistemi ortonormali completi.

Invarianti polinomiali sotto l'azione di gruppi finiti

Il teorema di Chevalley-Shephard-Todd è un importante risultato del 1954/1955 nella teoria degli invarianti polinomiali sotto l'azione del gruppo delle matrici invertibili. Lo scopo di questa tesi è presentare e dimostrare il teorema nella versione in cui l'anello dei polinomi ha come campo base R e di vedere alcuni esempi concreti di applicazione del teorema. Questa dimostrazione può essere generalizzata facilmente avendo come campo base un qualsiasi campo K di caratteristica 0.

Lo spettro di alcuni oscillatori non commutativi

Questa tesi si occupa della teoria spettrale di certi sistemi di equazioni ordinarie chiamati oscillatori non commutativi. Dopo avere introdotto i fondamenti necessari per la teoria vengono dimostrati alcuni teoremi qualitativi sullo spettro di tali sistemi.

Il test di primalità aks

La tesi presenta l'algoritmo AKS, deterministico e polinomiale, scoperto dai matematici Agrawal, Kayal e Saxena nel 2002. Esso si basa su una generalizzazione del Piccolo Teorema di Fermat all'anello dei polinomi a coefficienti in Zp.

Estensioni trascendenti di campi

Lo scopo di questa tesi è di studiare i principali risultati riguardanti le estensioni trascendenti di campi, l'indipendenza algebrica di elementi trascendenti su un campo, le basi di trascendenza di un'estensione. A partire da questi risultati vengono dimostrati due importanti teoremi di geometria algebrica: il Teorema degli zeri di Hilbert e il Teorema di Lüroth.

Punti razionali di ordine finito su una curva ellittica

Questa tesi nasce dal voler approfondire lo studio delle curve piane di grado 3 iniziato nel corso di Geometria Proiettiva. In particolare si andrà a studiare la legge di gruppo che si può definire su tali curve e i punti razionali di ordine finito appartenenti alle curve ellittiche. Nel primo capitolo si parla di equazioni diofantee, dell’Ultimo Teorema di Fermat, dell'equazione e della formula di duplicazione di Bachet. Si parla inoltre dello stretto rapporto tra la geometria, l'algebra e la teoria dei numeri nella teoria delle curve ellittiche e come le curve ellittiche siano importanti nella crittografia. Nel secondo capitolo vengono enunciate alcune definizioni, proposizioni e teoremi, riguardanti polinomi e curve ellittiche. Nel terzo capitolo viene introdotta la forma normale di una cubica. Nel quarto capitolo viene descritta la legge di gruppo su una cubica piana non singolare e la costruzione geometrica che porta ad essa; si vede il caso particolare della legge di gruppo per una cubica razionale in forma normale ed inoltre si ricavano le formule esplicite per la somma di due punti appartenenti ad una cubica. Nel capitolo cinque si iniziano a studiare i punti di ordine finito per una curva ellittica con la legge di gruppo dove l'origine è un flesso: vengono descritti e studiati i punti di ordine 2 e quelli di ordine 3. Infine, nel sesto capitolo si studiano i punti razionali di ordine finito qualsiasi: viene introdotto il concetto di discriminante di una cubica e successivamente viene enunciato e dimostrato il teorema di Nagell-Lutz.

Dimensione di un insieme parzialmente ordinato

Con questo lavoro si studia l'argomento della dimensione di un insieme parzialmente ordinato P, introdotta nel 1941 da Dushnik e Miller, tramite diagrammi di Hasse, in modo da avere una visione geometrica di un concetto algebrico. Il Teorema di Szpilrajn permette di linearizzare un qualsiasi insieme parzialmente ordinato P: questo anticipa la definizione di dimensione, siccome tutte le linearizzazioni sono realizzatori: le loro coppie comuni sono presenti anche in P. La dimensione viene definita come il minimo numero cardinale m di realizzatori per P. Vengono rivisti alcuni dei risultati già pubblicati da M. Barnabei, F. Bonetti e R. Pirastu e ripresi da M. Silimbani nella sua Tesi di Dottorato: ci si concentra sulla dimensione 2 in cui può essere definito un etichettamento doppio, che si può utilizzare per avere un algoritmo poco costoso atto a sapere se un insieme parzialmente ordinato ha dimensione 2 : esso pone le basi per una corrispondenza biunivoca tra un insieme parzialmente ordinato di cardinalità n dotato di un etichettamento doppio e l'insieme delle permutazioni su n elementi. Infine viene spiegato un altro modo per scoprire se un insieme parzialmente ordinato P ha dimensione al massimo 2 servendosi del solo diagramma di Hasse: ciò succede se e solo se il grafo di inconfrontabilità di P ammette un orientamento transitivo.