Formulación tridimensional del método de los elementos de contorno con interpolación parabólica

El método de los elementos de contorno ha suscitado un interés creciente en los últimos diez años, presentándose como una herramienta útil para la resolución de problemas de la ingeniería estructural , modelados matemáticamente por sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. A través de una formulación integral en el contorno del dominio, donde se define el problema, se consigue la resolución de éste, mediante la sola discretización de aquél, en contraposición a los métodos de dominio, que necesitan la completa discretización del mismo (Elementos Finitos ). Estos años han servido, por un lado para cimentar el método anterior - en cuanto a sus bases matemáticas se refiere, y por otro para definir los campos de la Física donde su utilización podría ser más efectiva. Puede decirse que han sido lo que la década de los 60 para elementos finitos : la preparación inicial para el desarrollo espectacular hoy alcanzado. De hecho, el método de los elementos finítos es capaz de abordar eficazmente los grandes retos que plantea el cálculo estructural en la actualidad, mientras que los elementos de contorno no han alcanzado aún dicho estadio. Esta Tesis pretende establecer el camino definitivo para la resolución de este tipo de problemas en el caso elástico tridimensional. Para ello, se ha desarrollado la formulación pertinente tanto en su fase, puramente matemática, como numérica para medios tridimensionales heterogéneos, así como un programa de grandes posibilidades que permiten atacar cualquier caso prácticamente sin limitaciones de tamaño, geometría ó condiciones de contorno en el marco de la Elasticidad Tridimensional. El trabajo se compone de dos partes claramente diferenciadas, el estudio y planteamiento del método, así como la descripción de las soluciones adoptadas para la resolución de los múltiples problemas numéricos que plantea no solo el método en sí, sino la implementación de un programa de tales características , y de un anexo que comprende la descripción detallada de cada uno de los apartados que componen el programa. Por último y paralelamente se ha analizado también el caso axisimétrico, problema tridimensional con características muy especificas, desarrollandose su formulación e implementando asimismo un programa que demuestra la exactitud de dicha formulación.

Elementos de contorno adaptables

Como es bien sabido, en el método de los elementos finitos se suele hablar de dos tipos de convergencia. La primera, o convergencia h, se refiere a la mejora del resultado que se obtiene refinando la malla. Debido a la correspondencia elemento-variables nodales-funciones de interpolación, ello implica un ajuste progresivo de los resultados en aquellas zonas donde se produce el refinamiento. Se trata del método más usado cuando, de forma pragmática, se desea tener una idea de la convergencia de los resultados. Su principal inconveniente radica en el hecho que cada refinamiento exige el cálculo de matrices de rigidez diferentes de las anteriores, de modo que la información debe ser rehecha en cada caso y, por tanto, los costes son elevados. El segundo método analiza la convergencia p, o refinamiento de la aproximación mediante el incremento del grado del polinomio definido sobre cada elemento. Se trata de abandonar la idea de asociar a cada nodo el valor físico de la variable correspondiente en la aproximación típica: u ~ a1Ø1 + a2Ø2 + a3Ø3+ … + anØn; donde las funciones Ø son unidad en el nodo correspondiente y cero en el resto. Por el contrario, se vuelve a la idea original de Ritz, semejante al de un desarrollo en la serie de Fourier, donde las funciones Ø están definidas globalmente y los coeficientes de ponderación no tienen por qué presentar un significado físico concreto. Evidentemente la vuelta no es total; se siguen manteniendo elementos y dentro de cada uno de ellos se establece una jerarquía de funciones Øi. Con esta situación intermedia entre la globalidad absoluta de Ritz y la correspondencia absoluta de la discretización con las variables se consigue, por un lado, mantener una versatilidad suficiente para el ajuste por trozos y, por otro, refinar la aproximación de forma inteligente ya que, al igual que sucede en una serie de Fourier, cada término que se añade produce un efecto menor, lo que posibilita el truncamiento cuando se alcanza un determinado nivel de precisión. Además, puesto que cada Ø tiene un soporte perfectamente definido desde un principio, cada etapa del refinamiento aprovecha todos los cálculos anteriores y sólo se necesita evaluar los nuevos términos de la matriz de rigidez. La primera idea fue propuesta por Zienckiewicz et al.(1970), y posteriormente han desarrollado el método Szabo et al.(1978), Babuska (1975,1978), Peano (1978)etc. El proceso operativo incluye así: a)Establecimiento de una malla amplia sobre el dominio a analizar; b)Definición de una jerarquía de funciones de interpolación dentro de cada elemento; c)Establecimiento de un "indicador" de las zonas que precisen la adición de nuevas funciones jerarquizadas; d)Establecimiento de un "estimador a posteriori" que evalúe el error cometido y precise el momento en que pueda ser detenido el proceso. Un método que sigue los pasos anteriores se denomina autoadaptable y, como se puede comprender, resulta interesantísimo para problemas no triviales. En este artículo, se contempla la posibilidad de extender las ideas anteriores al método de los elementos de contorno.

Evaluación de integrales singulares y cuasisingulares en el método de los elementos de contorno bidimensional mediante transformaciones no lineales

Se presentan en este trabajo distintos niétodos, basados en transformaciones de coordenadas no-lineales, para la evaluación de las integrales singulares y cuasisingulares que aparecen en el Método Directo de los Elementos de Contorno. Se detecta un error inherente a algunas de las transformaciones propuestas y finalmente se sugieren dos nuevas transformaciones que mejoran las actualmente disponibles.

Simulación numérica del cruce de trenes: combinación de un método de reducción del modelo con una implementación de los elementos de contorno

En este artículo se presentan los resultados obtenidos con un método aproximado para calcular las historias temporales de los coeficientes aerodinámicos correspondientes a las fuerzas y los momentos a que están sometidos los coches de cabeza durante el cruce de dos trenes de alta velocidad al aire libre.

Un nuevo procedimiento numérico para la evaluación de integrales singulares de Valor Principal de Cauchy en métodos de contorno

Es indudable que las estrategias para evaluar numéricamente en el computador integrales singulares en el sentido de Valor Principal de Cauchy (VPC) constituyen uno de los aspectos clave en la precisión y confiabilidad del Método de los Elementos de Contorno. Así pues, en este trabajo se presenta un nuevo procedimiento numérico orientado a la evaluación de integrales singulares VPC y de aquellas que contengan otro tipo de singularidades, basado en una transformación bi-cúbica de coordenadas. Se desarrollan las ideas y detalles de la formulación propuesta, obteniéndose expresiones sencillas y atractivas para la cuadratura numérica y rápidamente incorporables a los códigos MEC ya existentes. Se presentan algunos ejemplos numéricos que avalan la estabilidad y precisión de los nuevos algoritmos.

Aplicaciones de la versión p-adaptable del método de contorno en el análisis de medios continuos

Este trabajo está dedicado a la presentación y discusión de los resultados obtenidos al aplicar la versión p-adaptable del Método de los Elementos de Contorno (MEC) a problemas de elastostática bidimensional. Se describen brevemente algunos criterios básicos inherentes al desarrollo e implementación de la versión p-adaptable del MEC. Se presentan y discuten algunos ejemplos ilustrativos con singularidades producidas por cambios repentinos en la geometría y las condiciones de contorno, los cuales demuestran la potencia y veqsatilidad de la técnica p-adaptable propuesta.

Simulación de excavaciones mediante un método de acoplamiento elementos finitos – elementos de contorno

Cuando se modelan sistemas físicos no lineales de extensión infinita, como las excavaciones, se hace necesario simular adecuadamente tanto la solución en el infinito como la no linealidad. El método de elementos finitos es una herramienta efectiva para representar la no linealidad. Sin embargo, el tratamiento del campo infinito truncando el dominio es bastante cuestionable. Por otro lado, el método de elementos de contorno es adecuado para simular el comportamiento en el infinito sin truncamientos. Por combinación de ambos métodos, se puede obtener un uso adecuado de las ventajas de cada uno. En este trabajo se proponen diversas posibilidades de acoplamiento entre los dos métodos. Se desarrollan algoritmos de acoplamiento basados en una descomposición de dominios y se comparan con los esquemas más tradicionales de acoplamiento.