O papel das representações na resolução de problemas de Matemática: um estudo no 1º ano de escolaridade

Este estudo tem como objectivo investigar o papel que as representações, construídas por alunos do 1.o ano de escolaridade, desempenham na resolução de problemas de Matemática. Mais concretamente, a presente investigação procura responder às seguintes questões: Que representações preferenciais utilizam os alunos para resolver problemas? De que forma é que as diferentes representações são influenciadas pelas estratégias de resolução de problemas utilizadas pelos alunos? Que papéis têm os diferentes tipos de representação na resolução dos problemas? Nesta investigação assume-se que a resolução de problemas constitui uma actividade muito importante na aprendizagem da Matemática no 1.o Ciclo do Ensino Básico. Os problemas devem ser variados, apelar a estratégias diversificadas de resolução e permitir diferentes representações por parte dos alunos. As representações cativas, icónicas e simbólicas constituem importantes ferramentas para os alunos organizarem, registarem e comunicarem as suas ideias matemáticas, nomeadamente no âmbito da resolução de problemas, servindo igualmente de apoio à compreensão de conceitos e relações matemáticas. A metodologia de investigação segue uma abordagem interpretativa tomando por design o estudo de caso. Trata-se simultaneamente de uma investigação sobre a própria prática, correspondendo os quatro estudos de caso a quatro alunos da turma de 1.0 ano de escolaridade da investigadora. A recolha de dados teve lugar durante o ano lectivo 2007/2008 e recorreu à observação, à análise de documentos, a diários, a registos áudio/vídeo e ainda a conversas com os alunos. A análise de dados que, numa primeira fase, acompanhou a recolha de dados, teve como base o problema e as questões da investigação bem como o referencial teórico que serviu de suporte à investigação. Com base no referencial teórico e durante o início do processo de análise, foram definidas as categorias de análise principais, sujeitas posteriormente a um processo de adequação e refinamento no decorrer da análise e tratamento dos dados recolhidos -com vista à construção dos casos em estudo. Os resultados desta investigação apontam as representações do tipo icónico e as do tipo simbólico como as representações preferenciais dos alunos, embora sejam utilizadas de formas diferentes, com funções distintas e em contextos diversos. Os elementos simbólicos apoiam-se frequentemente em elementos icónicos, sendo estes últimos que ajudam os alunos a descompactar o problema e a interpretá-lo. Nas representações icónicas enfatiza-se o papel do diagrama, o qual constitui uma preciosa ferramenta de apoio ao raciocínio matemático. Conclui-se ainda que enquanto as representações activas dão mais apoio a estratégias de resolução que envolvem simulação, as representações icónicas e simbólicas são utilizadas com estratégias diversificadas. As representações construídas, com papéis e funções diferentes entre si, e que desempenham um papel crucial na correcta interpretação e resolução dos problemas, parecem estar directamente relacionadas com as caraterísticas da tarefa proposta no que diz respeito às estruturas matemáticas envolvidas. ABSTRACT; The objective of the present study is to investigate the role of the representations constructed by 1st grade students in mathematical problem solving. More specifically, this research is oriented by the following questions: Which representations are preferably used by students to solve problems? ln which way the strategies adopted by the students in problem solving influence those distinct representations? What is the role of the distinct types of representation in the problems solving process? ln this research it is assumed that the resolution of problems is a very important activity in the Mathematics learning at the first cycle of basic education. The problems must be varied, appealing to diverse strategies of resolution and allow students to construct distinct representations. The active, iconic and symbolic representations are important tools for students to organize, to record and to communicate their mathematical ideas, particularly in problem solving context, as well as supporting the understanding of mathematical concepts and relationships. The adopted research methodology follows an interpretative approach, and was developed in the context of the researcher classroom, originating four case studies corresponding to four 1 st grade students of the researcher's class. Data collection was carried out during the academic year of 2007/2008 and was based on observation, analysis of documents, diaries, audio and video records and informal conversations with students. The initial data analysis was based on the problems and issues of research, as well in the theoretical framework that supports it. The main categories of analysis were defined based on the theoretical framework, and were subjected to a process of adaptation and refining during data processing and analysis aiming the -case studies construction. The results show that student's preferential representations are the iconic and the symbolic, although these types of representations are used in different ways, with different functions and in different contexts. The symbolic elements are often supported by iconic elements, the latter helping students to unpack the problem and interpret it. ln the iconic representations the role of the diagrams is emphasized, consisting in a valuable tool to support the mathematical reasoning. One can also conclude that while the active representations give more support to the resolution strategies involving simulation, the iconic and symbolic representations are preferably used with different strategies. The representations constructed with distinct roles and functions, are crucial in the proper interpretation and resolution of problems, and seem to be directly related to the characteristics of the proposed task with regard to the mathematical structures involved.

Análise multivariada aplicada ao (in)sucesso escolar a matemática no 3º ciclo : estudo de caso

O insucesso escolar em Portugal é preocupante e é um tema que vem despertando interesse crescente por parte dos políticos, dos professores, dos pais e do público em geral. Entre as disciplinas que mais contribuem para esse insucesso está a Matemática. O insucesso na Matemática é uma realidade incontornável, visível não apenas pelos maus resultados alcançados pelos alunos em testes e exames, mas também pelas enormes dificuldades manifestadas por eles na resolução de problemas, no raciocínio matemático e, sobretudo, pelo seu desinteresse em relação à Matemática. Nesta dissertação procurou aliar-se as metodologias de Estatística Multivariada, nomeadamente de Regressão Logística e de Análise de Clusters, ao insucesso escolar. As técnicas estatísticas foram aplicadas a uma base de dados construída para o efeito a partir dos resultados obtidos num inquérito aplicado aos alunos de uma escola, com o objetivo de investigar associações entre o (in)sucesso dos alunos 3.º Ciclo do Ensino Básico na disciplina de Matemática e um conjunto de variáveis referentes a dados pessoais, familiares e escolares dos alunos. Os resultados obtidos através da Análise de Regressão Logistica sugerem que a repetência a Matemática (nível inferior a 3 no final do ano letivo) está dependente da idade do aluno, das dificuldades sentidas, da participação nas aulas, do empenho e do comportamento do aluno. A Análise de Clusters procurou agrupar as variáveis em grupos homogéneos relativamente a características comuns. Verificou-se que as variáveis comportamento do aluno, fazer os trabalhos de casa e a relação com a professora estão fortemente correlacionadas, bem como as variáveis dificuldades e repetência, mas estas duas últimas bastante distantes das restantes. Da aplicação do Método Duas Etapas às variáveis de opinião, fatores de insucesso escolar e medidas para colmatar esse insucesso, resultou três Clusters, dois grandes grupos, um em que predomina a resposta não concordo nem discordo e outro em que predomina o concordo totalmente. Nesta dissertação conseguiu-se identificar importantes factores que podem ajudar a reduzir o insucesso, pelo que os seus resultados poderão ser usados no futuro na elaboração de medidas para melhorar o sucesso.

O Raciocínio lógico-matemático: sua estrutura neurofisiológica e aplicações à educação matemática

Pós-graduação em Educação Matemática - IGCE

O Raciocínio lógico-matemático: classificação e uso em concursos públicos

This study offers an analysis of classification of the main issues of logic and logical thinking found in competitive tendering and math tests, according to their concepts and characteristics, whether involving mathematics, or not. Moreover, a research on the evolutionary historic processes of logic according to three major crises of the foundations of mathematics was conducted. This research helped to define Logic as a science that is quite distinctive from Mathematics. In order to relate the logical and the mathematical thinking, three types of knowledge, according to Piaget, were presented, with the logical-mathematical one being among them. The study also includes an insight on the basic concepts of propositional and predicative logic, which aids in the classification of issues of logical thinking, formal logic or related to algebraic, and geometric or arithmetic knowledge, according to the Venn diagrams. Furthermore, the key problems - that are most frequently found in tests are resolved and classified, as it was previously described. As a result, the classification in question was created and exemplified with eighteen logic problems, duly solved and explained

O Raciocínio lógico-matemático: classificação e uso em concursos públicos

This study offers an analysis of classification of the main issues of logic and logical thinking found in competitive tendering and math tests, according to their concepts and characteristics, whether involving mathematics, or not. Moreover, a research on the evolutionary historic processes of logic according to three major crises of the foundations of mathematics was conducted. This research helped to define Logic as a science that is quite distinctive from Mathematics. In order to relate the logical and the mathematical thinking, three types of knowledge, according to Piaget, were presented, with the logical-mathematical one being among them. The study also includes an insight on the basic concepts of propositional and predicative logic, which aids in the classification of issues of logical thinking, formal logic or related to algebraic, and geometric or arithmetic knowledge, according to the Venn diagrams. Furthermore, the key problems - that are most frequently found in tests are resolved and classified, as it was previously described. As a result, the classification in question was created and exemplified with eighteen logic problems, duly solved and explained

O desenvolvimento do raciocínio dedutivo ao nível do ensino secundário : recurso a geometrias planas

Este trabalho, no âmbito da Didáctica da Matemática, foca-se no estudo de abordagens alternativas de ensino e aprendizagem da Geometria Euclidiana, no Ensino Secundário, no sentido de promover níveis estruturados do pensamento matemático. Em particular, as potencialidades do recurso a outros modelos de Geometria Plana (e.g. Geometria Hiperbólica, Geometria do Motorista de Táxi) em relação a este problema serão investigadas. A opção pelo Ensino Secundário deve-se ao facto de se tratar de um nível de ensino onde se regista uma elevada taxa de insucesso escolar (especialmente no 10º ano) e onde é notório o abismo existente, entre o ensino Secundário e Universitário, no âmbito do raciocínio lógico - dedutivo. O trabalho a desenvolver pretende aprofundar o estudo de questões ligadas à natureza do conhecimento envolvido que estarão na base de decisões, tais como: Quais os processos que vão ser ensinados? Que processos queremos que os alunos dominem? E, por outro lado, ter em conta que se pretende desenvolver capacidades de ordem superior, significando que o ensino da Matemática deve dirigir-se para níveis elevados de pensamento, tais como: resolução de problemas; comunicar matematicamente; raciocínio e demonstração. No currículo de matemática para o Ensino Básico e Secundário tem-se negligenciado a demonstração matemática, contribuindo para que exista uma desconformidade entre os graus de ensino, secundário e universitário. Muitas vezes as abordagens de ensino centram-se na verificação de resultados e desvalorizam a exploração e explicação (Villiers, 1998). Actualmente, assiste-se a uma tendência para retomar o raciocínio lógico - dedutivo. O principal objectivo desta investigação é analisar ambientes de aprendizagem em que os alunos sejam solicitados a resolver problemas de prova em contextos diversificados e, de uma forma mais geral promover o desenvolvimento do raciocínio dedutivo e uma visão mais alargada do conhecimento matemático. Em particular, a abordagem de problemas de prova num contexto de geometria não Euclidiana, com recurso a artefactos e a software de geometria dinâmica, será investigada.

Uma visita ao universo matemático de Lewis Carrol e o (re)encontro com sua lógica do nonsense

Notable mathematics teacher, Lewis Carroll, pseudonym of Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), made the mixture of mathematics with literature a ludic environment for learning that discipline. Author of Alice s Adventures In Wonderland and its sequel Alice Through The Looking Glass, he eventually created a real and complex universe which uses what we call the logic of the nonsense as an element to motivate the development of mathematical thinking of the reader, taking it as well, learn by establishing a link between the concrete (mathematics) and the imaginary (their universe). In order to investigate and discuss the educational potential of their works and state some elements that can contribute to a decentralized math education from the traditional method of following the models and decorate formulas, we visited his works based on the studies of archeology of knowledge (FOUCAULT, 2007), the rational thought and symbolic thinking (VERGANI, 2003) and about the importance of stories and narratives to the development of human cognition (FARIAS, 2006). Through a descriptive, analytical study, we used the literary construction and presented part of our study in form of a mathematical novel, to give the mathematical school a particular charm, without depriving it of its basics properties as discipline and content. Our study showed how the works of Carroll have a strong didactic element that can deploy in various activities of study and teaching for mathematics classes

O raciocínio lógico e a criatividade na resolução de problemas matemáticos no ensino médio

Pós-graduação em Educação - FFC

Dificuldades de aprendizagem em cálculo e a relação com raciocínio lógico formal: uma análise no ensino superior

Pós-graduação em Educação - FFC

Kurt Gödel y San Agustín : platonismo matemático y la existencia de Dios

Resumen: El trabajo explica el siguiente razonamiento: si las verdades matemáticas no son creación humana, entonces necesariamente hay que aceptar la existencia de un Intelecto Eterno que sea su sustento metafísico. La premisa es defendida a partir del descubrimiento gödeliano de la imposibilidad de formalizar la totalidad de las matemáticas en un sistema deductivo formal. A partir de allí se muestra la necesidad de admitir una existencia eidética objetiva de las “entidades matemáticas”. Luego, tomando un argumento de San Agustín en De libero arbitrio, se llega a la necesidad de la existencia de Dios como Intelecto que sostiene el ser de las Ideas.

O raciocínio clínico do enfermeiro na avaliação de feridas em clientes com afecções oncológicas

Estudo de natureza qualitativa, descritiva e exploratória, que teve como objeto o raciocínio clínico elaborado pelos enfermeiros ao cuidarem de feridas em clientes com afecções oncológicas. Os objetivos traçados para o estudo foram: identificar as estratégias cognitivas que os enfermeiros com especialização em área oncológica consideram adotar para o estabelecimento de um julgamento clínico na avaliação de feridas em clientes com afecções oncológicas e caracterizar as etapas de elaboração mental para construção do raciocínio clínico que os enfermeiros consideram percorrer quando da avaliação de feridas em cliente acometido por afecções oncológicas. O campo de pesquisa foi o Instituto Nacional do Câncer, no qual os cenários de coleta foi a unidade HC-I nas Seções de Oncologia Clínica, Neurocirurgia, Abdominopélvica, Centro de Tratamento Intensivo e Cirurgia de Cabeça e Pescoço. Os sujeitos do estudo foram treze enfermeiros com especialização em oncologia, que assistiam clientes com afecções oncológicas, há pelo menos cinco anos. A coleta dos dados aconteceu nos meses de junho e julho de 2009, sendo utilizado um roteiro de entrevista semi-estruturada para captar as informações. A análise dos dados foi realizada com base no método de análise de conteúdo, que ao ser aplicado possibilitou a apreensão de quatro categorias: (1) a afecção oncológica como fator expressivo na elaboração mental diagnóstica do enfermeiro; (2) a relevância do conhecimento teórico-prático avançado para a elaboração mental avaliativa do enfermeiro; (3) a construção da elaboração mental para o raciocínio clínico diagnóstico do enfermeiro; (4) a importância da interação humana no contexto avaliativo. Concluiu-se que, este estudo identificou, na discussão das categorias, as quatro principais estratégias cognitivas que os enfermeiros com especialização em área oncológica consideram adotar para o estabelecimento de um julgamento clínico na avaliação de feridas em clientes com afecções oncológicas e caracterizou as etapas de elaboração mental para construção do raciocínio clínico diagnóstico do tipo hipotético-dedutivo e intuitivo. Compreendeu-se que os sujeitos da pesquisa detêm qualidades intelectuais específicas e avançadas, quando elaboram diagnósticos e intervenções baseadas nas respostas humanas em situação de avaliação de feridas nos clientes com doença oncológica, e foi considerado que o ensino pode impulsionar o desenvolvimento das competências cognitivas no sentido de formar profissionais capazes de avaliar o próprio conhecimento, bem como a fomentação de novas pesquisas relativas a essa temática imprescindível para uma assistência de enfermagem qualificada.

A influência da linguagem para o raciocínio de crenças falsas em Teoria da Mente: uma análise em pacientes afásicos agramáticos

O termo Teoria da Mente diz respeito à habilidade que os seres humanos adquirem de compreender seus próprios estados mentais e os dos outros e predizer ações e comportamentos dentro de uma interação social. As principais questões da pesquisa em Teoria da Mente são: determinar qual o tipo de conhecimento que sustenta essa habilidade, qual sua origem e desenvolvimento e em que momento se manifesta. (Astington e Gopnik, 1991). Ao levar em consideração que a língua pode ser vista como instrumento da cognição (Spelke, 2003), através da qual o falante adquire suporte para o planejamento de ações, contribuindo para o desempenho de tarefas cognitivas complexas (Corrêa, 2006), de Villiers (2004, 2005, 2007 e subsequentes), no que diz respeito à Teoria da Mente, argumenta que o seu desenvolvimento depende do desenvolvimento linguístico, estando diretamente ligado à aquisição de verbos de estado mental, como pensar, por exemplo, pelo fato de que esses verbos subcategorizam uma sentença encaixada. Para ela, o domínio dessa estrutura possibilita que o raciocínio de crenças falsas da Teoria da Mente seja efetivamente realizado. A presente dissertação tem como objetivo verificar em que medida há uma influência direta e necessária da linguagem para a condução de tarefas de Teoria da Mente. Para tanto, focamos nossa atenção em pessoas que estão, por algum motivo, destituídas parcialmente da capacidade linguística, mas que mantêm intacta a capacidade cognitiva, os afásicos. Por meio de uma pesquisa realizada com dois pacientes afásicos de Broca, selecionados pelos critérios clássicos, procuramos entender se a habilidade de predizer ações está intacta nestes pacientes ou se tal habilidade foi perdida, assim como a linguagem. Para tanto, aplicamos dois testes de crença falsa em Teoria da Mente. O primeiro utilizou-se de suporte verbal, uma narração de eventos e expectativas dos personagens envolvidos. A pergunta-teste foi manipulada em função do grau de complexidade por meio do cruzamento de dois fatores: sentenças simples ou complexas e QU-in situ ou movido. O segundo teste seguiu o padrão não-verbal, sendo constituído de uma sequência de imagens, sendo que o sujeito deveria decidir entre duas últimas imagens apresentadas, aquela que coerentemente finalizava a história. Uma vez que houvesse influência direta da linguagem na condução de tarefas de Teoria da Mente, esperar-se-ia que a dificuldade no teste verbal refletisse o grau de complexidade das questões apresentadas. Adicionalmente, o desempenho no teste não-verbal também deveria ser insatisfatório, dado o comprometimento linguístico apresentado pelos sujeitos testados. Para o primeiro teste, o desempenho dos pacientes foi aleatório e inferior ao do grupo controle, já para o segundo teste, o aproveitamento foi de 100%. Em geral, os resultados sugerem que o raciocínio de crenças falsas em Teoria da Mente é alcançado por esses sujeitos, haja vista o desempenho plenamente satisfatório no teste não-verbal. Os resultados do teste verbal, por outro lado, atestam tão somente a dificuldade linguística característica dessa população. Desse modo, conclui-se que uma vez desenvolvida a habilidade em Teoria da Mente, esta permanece intacta na mente destes pacientes, mesmo que destituídos parcialmente da capacidade linguística

Um modelo físico-matemático para escoamentos em meios porosos com transição insaturado-saturado.

Neste trabalho é apresentada uma nova modelagem matemática para a descrição do escoamento de um líquido incompressível através de um meio poroso rígido homogêneo e isotrópico, a partir do ponto de vista da Teoria Contínua de Misturas. O fenômeno é tratado como o movimento de uma mistura composta por três constituintes contínuos: o primeiro representando a matriz porosa, o segundo representando o líquido e o terceiro representando um gás de baixíssima densidade. O modelo proposto possibilita uma descrição matemática realista do fenômeno de transição insaturado/saturado a partir de uma combinação entre um sistema de equações diferenciais parciais e uma desigualdade. A desigualdade representa uma limitação geométrica oriunda da incompressibilidade do líquido e da rigidez do meio poroso. Alguns casos particulares são simulados e os resultados comparados com resultados clássicos, mostrando as consequências de não levar em conta as restrições inerentes ao problema.

Una aproximación operativa al diagnóstico y la evaluación de la comprensión del conocimiento matemático

La comprensión del conocimiento matemático constituye un objeto de investigación de interés creciente en Educación Matemática. No obstante, su elevada complejidad hace que los avances más recientes aún resulten insuficientes y reclama la necesidad de ir adoptando enfoques más operativos y menos preocupados por el estudio directo de sus aspectos internos. En tal sentido, se presentan aquí las bases de una aproximación centrada en los efectos observables de la comprensión, que utiliza el análisis de comportamientos y respuestas adaptadas a situaciones expresamente planificadas derivadas del análisis fenómeno-epistemológico del conocimiento matemático. La operatividad de la propuesta se ilustra con el estudio realizado sobre el algoritmo estándar escrito para la multiplicación de números naturales.

Una propuesta para los estándares del límite matemático

Uno de los objetos matemáticos que los alumnos manipulan algebraicamente, sin saber su significado, es el concepto del límite matemático. Ejemplo de tal situación son los estándares de evaluación de algunos libros sobre el tema: “aplico las propiedades para hallar límites de funciones sencillas”, “calculo límites infinitos o al infinito de funciones racionales”, entre otros. La presente propuesta pretende que a partir de problemas el alumno construya el significado del límite y del infinito en matemáticas. La propuesta está basada en los sistemas de representación y el modelamiento funcional.