Aplicaciones elementales ligadas a las ecuaciones diferenciales y aspectos históricos.

Ponencia presentada al curso de Formación del profesorado celebrado en El Escorial los días 10 a 14 de julio de 2000

Revisiting university students' knowledge that involves basic differential equation questions. 'Conocimiento de los estudiantes universitarios con respecto a preguntas que implican ecuaciones diferenciales : una revisión'.

Resumen basado en el de la publicación

Tópicos de Ecuaciones Diferenciales. Epítome para un curso básico

Estas notas forman parte de un primer curso de Ecuaciones Diferenciales que se ha venido impartiendo en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Medellín. Las ecuaciones diferenciales se presentan como una herramienta matemática para resolver problemas, y en este nivel de la carrera el estudiante tiene las bases matemáticas necesarias para comprender la conexión de los conocimientos teóricos adquiridos, con problemas que requieren una solución práctica en una amplia gama de disciplinas. Este curso, además de su utilidad como apoyo a los cursos que le suceden en el área donde se ubica, tiene un carácter formativo.

Ecuaciones diferenciales

El libro consta de 8 capítulos, en el capítulo 1 se hace una reseña histórica de las ecuaciones diferenciales y se dan algunas generalidades de estas incluyendo la existencia de la solución de una ecuación diferencial. En los capítulos 2, 3, y 4 se hace un estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden y de ecuaciones de orden superior, que con una transformación se pueden solucionar como ecuaciones diferenciales de primer orden, y se dan aplicaciones varias de estas ecuaciones. En los capítulos 5 y 6 se estudian las ecuaciones diferenciales de orden superior incluyendo algunas ecuaciones no lineales y se dan algunas aplicaciones de estas. El capítulo 7 está dedicado a la transformada de Laplace y el capítulo 8 a series de Fourier y una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales.

Reconstrucción de significados de la estabilidad de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

En este trabajo presentamos un proyecto de investigación cuyo propósito fundamental es establecer una reconstrucción de significados de la ecuación diferencial y" + by’ + cy = f a través de una situación de una situación de transformación. Esta consiste en identificar patrones de comportamiento de la solución y(x) en relación con la función f, al variar los coeficientes b y c de la ecuación diferencial e interactuar en los contextos algebraico y gráfico. Nuestra hipótesis de investigación consiste en que el comportamiento tendencia! de las unciones es el argumento que tendrá que construir el estudiante en la situación de transformación, el cual posibilitará la reconstrucción de significados de la ecuación y" + by’ + cy = f y de la propiedad de estabilidad al interactuar en los contextos algebraico y geométrico. Nos proponemos diseñar situaciones con la intención de generar los argumentos en el estudiante. Nuestro análisis se fundamentará sobre discusiones en grupo y sobre actividades de trabajos escritos.

Solución interactiva de ecuaciones diferenciales en Mathematica 4.1

El propósito de este trabajo consiste en mostrar de qué manera la programación en Mathematica 4.1 nos permite resolver ecuaciones diferenciales de la forma de manera interactiva por medio de botones. Estos botones operan sobre una ecuación diferencial dada y la transforman por medio de ciertas reglas, de manera que el proceso de solución se observa paso a paso. Se ha puesto especial interés en las ecuaciones exactas de la forma y en ecuaciones de este tipo que admiten factor integrante. Con estos botones se pretende que el estudiante, antes que realizar cálculos, conceptúe los métodos usados en la solución de las ecuaciones diferenciales descritas.

Predicción y simulación: nociones asociadas a las ecuaciones diferenciales

A partir de la hipótesis de que una relación simbiótica entre las nociones de predicción y de simulación sea el eje del cálculo integral escolar, reportamos, aquí, algunos resultados de nuestro trabajo con estudiantes universitarios con los que hemos explorado aspecto de la simulación en las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Favoreciendo la idea de simulación, se trabajó con la ecuación diferencial, dónde se variaron uno a uno los parámetros a, b y c. Encontramos un argumento gráfico que atiende las tendencias de las gráficas, ya sea en una suma de funciones, en la variación de los parámetros o en la forma de la gráfica de la solución de las ecuaciones diferenciales, favorecidos por los dispositivos tecnológicos permiten concebir a una función globalmente.

La matriz normal de Jordan y los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en forma norma

El objetivo esencial del trabajo es emitir una propuesta metodológica, como vía alternativa, para abordar la resolución de ciertos Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales (SEDL) expresables en forma normal, usando métodos matriciales, a partir del empleo de la diagonalimción y normalización de matrices a través de la matriz normal de Jordan y usando para ello un procedimiento único, basado en el método analítico que es empleado para resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden dada en su forma característica, sin soslayar, la obligada extensión a este contexto. Desde el punto de vista didáctico, la metodología general que se propone, para la resolución de estos SEDL es una de sus mayores ventajas metodológicas, ya que, precisamente, proporciona una vía operacional única y fija, con las obligadas transferencias contextuales que fueron señaladas, esperándose lograr una estructuración sistémica de los contenidos asociados al tema, en aras de alcanzar mayores niveles de asequibilidad dentro del proceso de asimilación.

Estudio de las ecuaciones de Boussinesq para la modelización de tsunamis

[es]Podemos encontrar las ecuaciones de Boussinesq en la descripción de playas, rios y lagos. Estas ecuaciones estudian la dinámica de las aguas poco profundas como las ecuaciones “ Korteweg-deVries (KdV)". Sin embargo, a pesar de ser más conocidas, las ecuaciones de KdV, no son capaces de modelar olas solitarias propagándose en distintas direcciones. Entre muchas otras aplicaciones de las ecuaciones de Boussinesq destaca la de modelar olas de tsunamis. Estos tipos de olas ya son perfectamente descritos por las ecuaciones de Navier Stokes, pero todavía no existen técnicas que permitan resolverlas en un dominio tridimensional. Para ello se usan las ecuaciones de Boussinesq, pensadas como una simplificación de las ecuaciones de Navier Stokes. Los años 1871 y 1872 fueron muy importantes para el desarrollo de las ecuaciones de Boussinesq. Fue en 1871 cuando Valentin Joseph Boussinesq recibió el premio de la “Academy of Sciences”, por su trabajo dedicado a las aguas poco profundas. Ahí fue donde Boussinesq introdujo por primera vez los efectos dispersivos en las ecuaciones de Saint-Venant. Por ello, se puede decir que las ecuaciones de Boussinesq son más completas físicamente que las ecuaciones de Saint-Venant. Las ecuaciones de Boussinesq contienen una estructura hiperbólica (al igual que las ecuaciones no lineales de aguas poco profundas) combinada con derivadas de orden elevado para modelar la dispersión de la ola. Las ecuaciones de Boussinesq pueden aparecer de muchas formas distintas. Dependiendo de como hayamos escogido la variable de la velocidad podemos obtener un modelo u otro. El caso más usual es escoger la variable velocidad en un nivel del agua arbitrario. La efectividad de la ecuación de Boussinesq seleccionada variará dependiendo de la dispersión. Una buena elección de la variable velocidad puede mejorar significativamente la modelización de la propagación de ondas largas. Formalmente, como veremos en el capítulo 1, podemos transformar términos de orden elevado en términos de menor orden usando las relaciones asintóticas. Esto nos proporciona una forma elegante de mejorar las relaciones de dispersi\'on. Las ecuaciones de Boussinesq más conocidas son las que resolveremos en el capítulo 2. En dicho capítulo veremos la ecuación cúbica de Boussinesq, que sirve para describir el movimiento de ondas largas en aguas poco profundas; las ecuaciones de Boussinesq acopladas, que describen el movimiento de dos fluidos distintos en aguas poco profundas (como puede ser el caso de un barco que desprende accidentalmente aceite, el aceite va creando una capa que flota encima de la superficie del agua); la ecuación de Boussinesq estándar, que describe un gran número de fenómenos de olas dispersivas no lineales como la propagaci\ón en ambas direcciones de olas largas en la superficie de aguas poco profundas. Pero en olas de longitud de onda corta presenta una inestabilidad y la ecuación es incorrecta para el problema de Cauchy, por ello Bogolubsky propuso la ecuación de Boussinesq mejorada. Esta ecuación es la última que estudiaremos en el capítulo 2 y es una ecuación físicamente estable, correcta para el problema de Cauchy y además como veremos en el capítulo 3, apropiada para las simulaciones numéricas. Como ya indicado, en el capi tulo 1 deduciremos las ecuaciones de Boussinesq a partir de las ecuaciones físicas del flujo potencial. El objetivo principal es deducir dos modelos de ecuaciones de Boussinesq acopladas y obtener su relación de dispersión. Para llegar a ello, se usa un método de la expansión asintótica de la velocidad potencial en términos de un pequeño parámetro. De esta manera conseguimos dos modelos distintos, cada uno asociado a uno de los dos modelo de disipación que hemos establecido. Por último dado que las ecuaciones siempre vienen dadas en variables dimensionales, volveremos a la notación dimensional para analizar la relación de dispersión de las ecuaciones de Boussinesq disipativas. En el capí tulo 2 pasaremos a su resolución analítica, buscando soluciones de tipo solitón. Introduciremos el método de la tangente hiperbólica, muy útil para encontrar soluciones exactas de ecuaciones no lineales. Usaremos este método para resolver la ecuación cúbica de Boussinesq, un sistema de ecuaciones acopladas de Boussinesq, la ecuación estandar de Boussinesq y la mejorada. Los sistemas que aparecen en la aplicación del método de la tangente hiperbólica estan resueltos usando el software Mathematica y uno de ellos irá incluido en el apéndice A. En el capíulo 3 se introduce un esquema en diferencias finitas, que sirve para convertir problemas de ecuaciones diferenciales en problemas algebraicos fácilmente resolubles numéricamente. Este método nos ayudaráa estudiar la estabilidad y a resolver la ecuación mejorada de Boussinesq numéricamente en dos ejemplos distintos. En el apéndice B incluiremos el programa para la resolución numérica del primer ejemplo con el Mathematica.

Algunas aplicaciones de las ecuaciones funcionales.

Este libro pretende definir y explicar el valor y la utilidad de las ecuaciones funcionales, con este fin desarrolla los siguientes capítulos: 1. Motivación. 2. Introducción. 3. Métodos de resolución de ecuaciones funcionales. 4. Aplicaciones al Algebra y la Geometría. 5. Aplicaciones a la economía. 6. Aplicaciones a la ciencia. 7. Aplicacionesa la probabilidad y la estadística. 8. Ecuaciones funcionales y ecuaciones diferenciales. 9. Resolución simbólica de ecuaciones funcionales.

Precondicionamiento de sistemas de ecuaciones de matrices variables en la modelización de campos de viento

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