Matemáticas para pensar mediante la resolución de problemas.

El artículo forma parte de una sección de la revista dedicada a propuestas didácticas

Resolución de problemas de matemáticas en las pruebas de acceso a la universidad : errores significativos.

Resumen tomado de la publicación

Los libros de texto y la resolución de problemas en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

Resumen tomado de la publicación. - El artículo forma parte del monográfico: matemáticas y su didáctica

Materiales para la enseñanza de las matemáticas con la pizarra digital interactiva.

Se incluye documentación de los dos tipos de PDIs utilizadas, así como del programa Geogebra

Análisis de las funciones implicativas y explicativas de la inteligencia en los niños con problemas de aprendizaje de las Matemáticas.

Hipótesis: 1. Las pruebas de conservación, clasificación, seriación, espacio, tiempo y causalidad, son buenos predictores del fracaso en el área lógico matemática. 2. Deben dicernir entre sujetos con trastornos de aprendizaje en Matemáticas y aquellos que no lo tienen. 3. Las pruebas que hacen referencia a la función explicativa de la inteligencia sirven para diferenciar entre sujetos buenos y malos solucionadores de problemas matemáticos. 4. Las pruebas que hacen referencia a la función implicativa de la inteligencia sirven para diferenciar entre sujetos buenos y malos solucionadores de problemas matemáticos. 5. La combinación de puntuaciones en las variables que se analizan deben discriminar sujetos con problemas de aprendizaje matemático y aquellos que no presentan dicho problema. 85 sujetos pertenecientes al ciclo inicial de EGB de tres centros escolares de pedanías de Murcia. Grupo experimental formado por sujetos que presentaban trastornos y dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas, y grupo control formado por alumnos buenos solucionadores de problemas matemáticos. Prueba de conservación cantidades continuas y discretas (Piaget). Pruebas de clasificación, inclusión, clase única (Piaget). Prueba de seriación (Piaget y Szeminsca 1974). Pruebas espaciales (M.Pinol-Douriez 1979). Prueba de formas geométricas (mini arco E.Haferkamp y H.Vogel 1972). Prueba espacial posturocinética (basada en M.Inol-Douriez 1979). Prueba de tiempo: inteligencia rítmica (Germaine Rossel 1979) y estructuras rítmicas (M.Stamback). Prueba de causalidad. Para la hipótesis primera análisis de regresión múltiple, para la segunda, prueba de 'T'. Para las hipótesis tercera, cuarta y quinta se verificaron sendos análisis estadísticos mediante el empleo de T2 de Hottelling. En el análisis de regresión múltiple se obtuvo un coeficiente de correlación de 0'85, con un total de 658 unidades de variación a explicar: 466'63. En la segunda hipótesis los resultados arrojan un valor de 'T' de 10'87 que resulta significativo (0'0001). La hipótesis tercera arrojó un valor T2 global de 160'4 significativo a un nivel inferior al 0'0001. Los valores 'T' para las variables tercera, cuarta y quinta fueron, 6'45, 9'59 y 8'91, resultados significativos al nivel inferior 0'0001. La T2 de Hottelling para las funciones explicativas e implicativas de la inteligencia arroja un valor de 158 y es significativo. La utilización de dichos instrumentos en el ámbito escolar no es garantía del éxito pedagógico, no obstante, el poder evaluar en cualquier momento la situación o nivel cognitivo de un sujeto, abre muchas posibilidades al educador. El instrumento elaborado ha resultado competente en el marco de las hipótesis que se formularon y se ha mostrado útil para determinar aspectos interesantes para el niño y su desarrollo cognitivo.

La resolución de problemas como contenido en el currículo de matemáticas de primaria y secundaria

Resumen basado en el de la publicación. Resumen en inglés

O processo ensino-aprendizagem-avaliação de geometria através da resolução de problemas: perspectivas didático-matemáticas na formação inicial de professores de matemática

Pós-graduação em Educação Matemática - IGCE

Panorama da educação fundamental e média no Brasil: o modelo da aprendizagem baseada em problemas como experiência na prática docente

O presente documento atualiza os dados que revelam o perfil atual do ensino fundamental e médio no Brasil, re-visitando os bancos de dados de instituições oficiais (INEP e IBGE). Nós encontramos coincidências suspeitas que relacionam concentração de renda e abstinência educacional, como combustíveis que realimentam o ciclo da miséria em nosso país. Aspectos qualitativos da escola brasileira também foram levantados para que pudéssemos compreender as dificuldades do fazer educacional no Brasil e acenar com possibilidades concretas de mudança. Nós também investigamos, através da metodologia de estudo de caso, dois cursos de férias para implementar e avaliar a Aprendizagem Baseada em Problemas (ABP). As aulas foram direcionadas a professores e alunos do Ensino Médio. Através da observação direta e de inferências obtidas a partir de questionários aplicados a alunos e professores, antes e depois de cada um dos cursos (em 2004 e 2005), mediu-se o impacto da ABP sobre alunos e professores. Os resultados revelaram várias dificuldades e perplexidades demonstradas por professores e alunos, tais como a dificuldade em relacionar experimentos e conteúdos dos livros didáticos, a abstinência quase completa em experimentação e sua relação com o Método Científico, dificuldades de discernir entre hipótese e fato, etc. A Aprendizagem Baseada em Problemas foi aceita por todos (estudantes e professores) como uma possível maneira de mudar as aulas de Ciências e a Biologia. Contudo, sua ampla disseminação vai exigir capacitação em larga escala, gestão e liderança para iniciar o processo de mudança, aumentos de salários, e melhor infra-estrutura das escolas para experimentação. Utilizando metodologias semelhantes à ABP, como alternativa para capacitação, as universidades que desenvolvem atividades de pesquisa precisam ser diretamente envolvidas no processo através de fomento dirigido para a renovação. Um pacto educacional precisa ser construído para reformar o fazer educacional, e essa ação deve incluir Administradores e Professores das escolas de ensino fundamental e médio, Secretários de Educação (do Estado e do Município), Governos de Estado e do Município, Ministérios da Educação e da Ciência e Tecnologia, Universidades e Agências de Fomento para que o esforço possa ganhar dimensões nacionais.

A interpretação e a comunicação das regras matemáticas na resolução de problemas de divisão por alunos da 5ª série do ensino fundamental

Esta pesquisa tem como objetivo compreender os dizeres e as produções escritas no processo de interpretação das regras matemáticas pelos alunos na resolução de problemas individuais e em díades. Valorizando o diálogo, como fonte de proporcionar a comunicação entre os alunos e o texto. A comunicação exerce um importante papel na construção do conhecimento matemático, pois é por meio do jogo de linguagem, - teoria fundamentada por Ludwig Wittgenstein - que os sentidos são atribuídos pelos alunos. Nesta direção, as regras matemáticas evidenciam diferentes formas de vida no seu uso, associadas às diferentes experiências vivenciadas pelo aluno na leitura e na escrita. A comunicação surge, para que os alunos estabeleçam os direcionamentos nas atividades de leitura e escrita nos problemas matemáticos, como também na aplicação da regra matemática. Nesta pesquisa participaram 8 alunos de 5ª série de uma escola pública de Belém, onde executaram, individualmente e em díades, tarefas de resolução de problemas de divisão de números naturais. As respostas, dada pelos alunos nos encontros individuais e em díades, foram filmadas, e posteriormente analisadas. Com base na análise dos dados, observei: (a) a lógica do aluno nem sempre está em conformidade com a regra matemática; (b) a importância da leitura do enunciado do problema é destacada, pois os alunos se projetam nas possibilidades de interpretação das regras matemáticas, e podem re-significar suas ações; (c) a importância da comunicação na interpretação da regra matemática, mediante a negociação de significados, podendo ainda, esclarecer por meio da fala, as ações dos alunos de como as regras estão sendo aplicadas. Neste sentido, a comunicação tem sido princípio básico para se evitar mal-entendidos no processo de construção de conceitos matemáticos, como também estabelece condições favoráveis para a produção textual.

A perspectiva metodológica da resolução de problemas: um estudo sobre enunciados de situações matemáticas na EJA

In this paper we discuss the importance of a methodological perspective of solving problems as a sustaining process of teaching mathematics situated on the perspective of concept formation. Organizing a significant didactic situation for students imposes the need to study the interaction between them and the teacher and between them and their mathematical knowledge, learning environment in which the mere transmission of content gives way to contextualization, to historicizing and handling of topics from intuitive and everyday situations for the student. Thus, we understand mathematics as a fundamental language for the creation of theoretical thinking as a whole. We made use of documental analysis and classroom situations aiming at the use of instructional procedure related to the resolution of problems with the purpose of overcoming some representations about the process of teaching and learning mathematics which is strongly marked by imitative-repetitive algorithmic procedures. Considering mathematics as an investigation discipline, we point out renewal prospects for the curricula of this discipline, which are concrete in the movement of cultural action of the school itself as the cell generating discussion.

Laboratorio de electrónica y componentes: ejercicios y problemas

Ejercicios y problemas del Laboratorio de electrónica y componentes en le E.T.S.I. de Telecomunicación de la Universidad Politécnica de Madrid

El método de los elementos de contorno en los problemas de mecánica del suelo

La preparación de estas notas ha llevado, al más veterano de los autores, a rememorar sus primeros tanteos con los métodos numéricos. Tratando de desarrollar su tesis doctoral sobre efectos dinámicos en puentes de ferrocarril, descubrió, en 1968, en la biblioteca del Laboratorio de Transporte (donde el profesor ]iménez Salas era Director) las Actas de la reunión ASTM en las que Quilan y Sung proponían la asimilación del comportamiento dinámico del semiespacio elástico a un sistema con un grado de libertad. Además de incorporar estos resultados a un modelo de puente para tener en cuenta los fenómenos de interacción dinámica terreno-estructura dicho autor entró en contacto con algunos miembros del equipo de investigación del Prof. ]iménez Salas que, por entonces, estaba explorando la posibilidad de aplicación del ordenador y los métodos numéricos necesarios para tratar los problemas más difíciles de Mecánica de los Medios Continuos. De hecho fue ese grupo quien contribuyó a introducir en España el método de los elementos finitos en la ingeniería civil, pero además, y en relación directa con el título de este artículo fue el propio ]iménez Salas quién inició la línea de trabajo de lo que mas tarde se ha llamado Método Indirecto de Elementos de Contorno que luego fue seguida por otros miembros de su grupo. En aquélla época poco podía sospechar el autor precitado que iba a dedicar una parte sustancial de su vida al desarrollo de ese método numérico en su versión Directa y mucho menos que gran parte de la motivación vendría del problema de interacción dinámica terreno-estructura, una de cuyas primeras soluciones había obtenido en la mencionada visita al Laboratorio de Transporte. En efecto los autores trataban en 1975 de encontrar un procedimiento que les permitiera afrontar el estudio de la interacción en túneles sometidos a carga sísmica y tropezaron, al utilizar el método de elementos finitos, con el problema de las reflexiones de ondas en los contornos artificiales creados al truncar la malla de cálculo. Deseando evitar el uso contornos absorbentes y otros recursos similares se exploró la posibilidad de soluciones fundamentales que incorporasen el comportamiento en el infmito y, fruto de ello, fueron los primeros trabajos que introdujeron el Método Directo de los Elementos de Contorno en España en problemas estáticos. La extensión a teoría del potencial, dinámica en el dominio de la frecuencia, plasticidad, etc tuvo lugar inmediatamente siendo en la mayoría de los casos los problemas típicos de mecánica del suelo los que motivaron y justifican el esfuerzo realizado. Un campo apasionante, el de la poroelasticidad ha dado lugar a nuevas contribuciones y también se han escrito libros de diverso calado que describen las posibilidades del método para dar contestación a preguntas de gran importancia técnica. Los autores quieren poner de manifiesto que la redacción de este trabajo, debe considerarse no solo como la muestra de algunos resultados de aplicación a problemas prácticos, sino también como un homenaje y reconocimiento explícito a la labor precursora del Prof. ]iménez Salas y a su espíritu de permanente curiosidad por el conocimiento científico.

Método para el análisis independiente de problemas

habilidades de comprensión y resolución de problemas. Tanto es así que se puede afirmar con rotundidad que no existe el método perfecto para cada una de las etapas de desarrollo y tampoco existe el modelo de ciclo de vida perfecto: cada nuevo problema que se plantea es diferente a los anteriores en algún aspecto y esto hace que técnicas que funcionaron en proyectos anteriores fracasen en los proyectos nuevos. Por ello actualmente se realiza un planteamiento integrador que pretende utilizar en cada caso las técnicas, métodos y herramientas más acordes con las características del problema planteado al ingeniero. Bajo este punto de vista se plantean nuevos problemas. En primer lugar está la selección de enfoques de desarrollo. Si no existe el mejor enfoque, ¿cómo se hace para elegir el más adecuado de entre el conjunto de los existentes? Un segundo problema estriba en la relación entre las etapas de análisis y diseño. En este sentido existen dos grandes riesgos. Por un lado, se puede hacer un análisis del problema demasiado superficial, con lo que se produce una excesiva distancia entre el análisis y el diseño que muchas veces imposibilita el paso de uno a otro. Por otro lado, se puede optar por un análisis en términos del diseño que provoca que no cumpla su objetivo de centrarse en el problema, sino que se convierte en una primera versión de la solución, lo que se conoce como diseño preliminar. Como consecuencia de lo anterior surge el dilema del análisis, que puede plantearse como sigue: para cada problema planteado hay que elegir las técnicas más adecuadas, lo que requiere que se conozcan las características del problema. Para ello, a su vez, se debe analizar el problema, eligiendo una técnica antes de conocerlo. Si la técnica utiliza términos de diseño entonces se ha precondicionado el paradigma de solución y es posible que no sea el más adecuado para resolver el problema. En último lugar están las barreras pragmáticas que frenan la expansión del uso de métodos con base formal, dificultando su aplicación en la práctica cotidiana. Teniendo en cuenta todos los problemas planteados, se requieren métodos de análisis del problema que cumplan una serie de objetivos, el primero de los cuales es la necesidad de una base formal, con el fin de evitar la ambigüedad y permitir verificar la corrección de los modelos generados. Un segundo objetivo es la independencia de diseño: se deben utilizar términos que no tengan reflejo directo en el diseño, para que permitan centrarse en las características del problema. Además los métodos deben permitir analizar problemas de cualquier tipo: algorítmicos, de soporte a la decisión o basados en el conocimiento, entre otros. En siguiente lugar están los objetivos relacionados con aspectos pragmáticos. Por un lado deben incorporar una notación textual formal pero no matemática, de forma que se facilite su validación y comprensión por personas sin conocimientos matemáticos profundos pero al mismo tiempo sea lo suficientemente rigurosa para facilitar su verificación. Por otro lado, se requiere una notación gráfica complementaria para representar los modelos, de forma que puedan ser comprendidos y validados cómodamente por parte de los clientes y usuarios. Esta tesis doctoral presenta SETCM, un método de análisis que cumple estos objetivos. Para ello se han definido todos los elementos que forman los modelos de análisis usando una terminología independiente de paradigmas de diseño y se han formalizado dichas definiciones usando los elementos fundamentales de la teoría de conjuntos: elementos, conjuntos y relaciones entre conjuntos. Por otro lado se ha definido un lenguaje formal para representar los elementos de los modelos de análisis – evitando en lo posible el uso de notaciones matemáticas – complementado con una notación gráfica que permite representar de forma visual las partes más relevantes de los modelos. El método propuesto ha sido sometido a una intensa fase de experimentación, durante la que fue aplicado a 13 casos de estudio, todos ellos proyectos reales que han concluido en productos transferidos a entidades públicas o privadas. Durante la experimentación se ha evaluado la adecuación de SETCM para el análisis de problemas de distinto tamaño y en sistemas cuyo diseño final usaba paradigmas diferentes e incluso paradigmas mixtos. También se ha evaluado su uso por analistas con distinto nivel de experiencia – noveles, intermedios o expertos – analizando en todos los casos la curva de aprendizaje, con el fin de averiguar si es fácil de aprender su uso, independientemente de si se conoce o no alguna otra técnica de análisis. Por otro lado se ha estudiado la capacidad de ampliación de modelos generados con SETCM, para comprobar si permite abordar proyectos realizados en varias fases, en los que el análisis de una fase consista en ampliar el análisis de la fase anterior. En resumidas cuentas, se ha tratado de evaluar la capacidad de integración de SETCM en una organización como la técnica de análisis preferida para el desarrollo de software. Los resultados obtenidos tras esta experimentación han sido muy positivos, habiéndose alcanzado un alto grado de cumplimiento de todos los objetivos planteados al definir el método.---ABSTRACT---Software development is an inherently complex activity, which requires specific abilities of problem comprehension and solving. It is so difficult that it can even be said that there is no perfect method for each of the development stages and that there is no perfect life cycle model: each new problem is different to the precedent ones in some respect and the techniques that worked in other problems can fail in the new ones. Given that situation, the current trend is to integrate different methods, tools and techniques, using the best suited for each situation. This trend, however, raises some new problems. The first one is the selection of development approaches. If there is no a manifestly single best approach, how does one go about choosing an approach from the array of available options? The second problem has to do with the relationship between the analysis and design phases. This relation can lead to two major risks. On one hand, the analysis could be too shallow and far away from the design, making it very difficult to perform the transition between them. On the other hand, the analysis could be expressed using design terminology, thus becoming more a kind of preliminary design than a model of the problem to be solved. In third place there is the analysis dilemma, which can be expressed as follows. The developer has to choose the most adequate techniques for each problem, and to make this decision it is necessary to know the most relevant properties of the problem. This implies that the developer has to analyse the problem, choosing an analysis method before really knowing the problem. If the chosen technique uses design terminology then the solution paradigm has been preconditioned and it is possible that, once the problem is well known, that paradigm wouldn’t be the chosen one. The last problem consists of some pragmatic barriers that limit the applicability of formal based methods, making it difficult to use them in current practice. In order to solve these problems there is a need for analysis methods that fulfil several goals. The first one is the need of a formal base, which prevents ambiguity and allows the verification of the analysis models. The second goal is design-independence: the analysis should use a terminology different from the design, to facilitate a real comprehension of the problem under study. In third place the analysis method should allow the developer to study different kinds of problems: algorithmic, decision-support, knowledge based, etc. Next there are two goals related to pragmatic aspects. Firstly, the methods should have a non mathematical but formal textual notation. This notation will allow people without deep mathematical knowledge to understand and validate the resulting models, without losing the needed rigour for verification. Secondly, the methods should have a complementary graphical notation to make more natural the understanding and validation of the relevant parts of the analysis. This Thesis proposes such a method, called SETCM. The elements conforming the analysis models have been defined using a terminology that is independent from design paradigms. Those terms have been then formalised using the main concepts of the set theory: elements, sets and correspondences between sets. In addition, a formal language has been created, which avoids the use of mathematical notations. Finally, a graphical notation has been defined, which can visually represent the most relevant elements of the models. The proposed method has been thoroughly tested during the experimentation phase. It has been used to perform the analysis of 13 actual projects, all of them resulting in transferred products. This experimentation allowed evaluating the adequacy of SETCM for the analysis of problems of varying size, whose final design used different paradigms and even mixed ones. The use of the method by people with different levels of expertise was also evaluated, along with the corresponding learning curve, in order to assess if the method is easy to learn, independently of previous knowledge on other analysis techniques. In addition, the expandability of the analysis models was evaluated, assessing if the technique was adequate for projects organised in incremental steps, in which the analysis of one step grows from the precedent models. The final goal was to assess if SETCM can be used inside an organisation as the preferred analysis method for software development. The obtained results have been very positive, as SETCM has obtained a high degree of fulfilment of the goals stated for the method.

El laboratorio de matemáticas como estrategia docente

En esta experiencia docente se pone en práctica una forma diferente de llevar a cabo las clases prácticas de algunas asignaturas de matemáticas de primer curso de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Alicante. El objetivo es sustituir las habituales clases prácticas, donde el profesor realiza los ejercicios en la pizarra, por la resolución de problemas por parte de los alumnos incorporando además otras estrategias docentes; es decir, además de las hojas de ejercicios que el profesor prepara para los alumnos, los docentes preparan unas actividades prácticas para que sean realizadas en clase por los estudiantes, en grupos reducidos y guiados por el profesor. Estas actividades son puntuadas por el tutor y, tras ser devueltas a los alumnos, éstos deberán observar y analizar sus errores con la ayuda extra de las tutorías presenciales y virtuales. Con este método se consigue una mayor interacción entre alumno y profesor, un estudio continuo de la asignatura y una constante evaluación del profesor al alumno y del alumno a la asignatura.