Harnack inequalities in sub-Riemannian settings

In the present thesis, we discuss the main notions of an axiomatic approach for an invariant Harnack inequality. This procedure, originated from techniques for fully nonlinear elliptic operators, has been developed by Di Fazio, Gutiérrez, and Lanconelli in the general settings of doubling Hölder quasi-metric spaces. The main tools of the approach are the so-called double ball property and critical density property: the validity of these properties implies an invariant Harnack inequality. We are mainly interested in the horizontally elliptic operators, i.e. some second order linear degenerate-elliptic operators which are elliptic with respect to the horizontal directions of a Carnot group. An invariant Harnack inequality of Krylov-Safonov type is still an open problem in this context. In the thesis we show how the double ball property is related to the solvability of a kind of exterior Dirichlet problem for these operators. More precisely, it is a consequence of the existence of some suitable interior barrier functions of Bouligand-type. By following these ideas, we prove the double ball property for a generic step two Carnot group. Regarding the critical density, we generalize to the setting of H-type groups some arguments by Gutiérrez and Tournier for the Heisenberg group. We recognize that the critical density holds true in these peculiar contexts by assuming a Cordes-Landis type condition for the coefficient matrix of the operator. By the axiomatic approach, we thus prove an invariant Harnack inequality in H-type groups which is uniform in the class of the coefficient matrices with prescribed bounds for the eigenvalues and satisfying such a Cordes-Landis condition.

Essential spectrum of systems of singular differential equations

In this paper we develop a new method to determine the essential spectrum of coupled systems of singular differential equations. Applications to problems from magnetohydrodynamics and astrophysics are given.

Root system of singular perturbations of the harmonic oscillator type operators

We analyze perturbations of the harmonic oscillator type operators in a Hilbert space H, i.e. of the self-adjoint operator with simple positive eigenvalues μ k satisfying μ k+1 − μ k ≥ Δ > 0. Perturbations are considered in the sense of quadratic forms. Under a local subordination assumption, the eigenvalues of the perturbed operator become eventually simple and the root system contains a Riesz basis.

Dimensions of projections of sets on Riemannian surfaces of constant curvature

We apply the theory of Peres and Schlag to obtain generic lower bounds for Hausdorff dimension of images of sets by orthogonal projections on simply connected two-dimensional Riemannian manifolds of constant curvature. As a conclusion we obtain appropriate versions of Marstrand's theorem, Kaufman's theorem, and Falconer's theorem in the above geometrical settings.

Memoria e historia singular en la vejez y el envejecimiento

Temática principal: En los nuevos escenarios actuales, la vejez y el envejecimiento forman una nueva geografía y una nueva historia cultural, social, y singular. Los cambios y trasformaciones en las concepciones sobre la vejez se han producido por múltiples factores que han transformado no solamente la población, en tanto aumento del porcentaje de personas mayores que habitan la sociedad, sino que han desafiado a los mayores a construir y crear nuevas representaciones de la vejez y los modos de significarla y proyectarla. Asimismo, junto con los criterios actuales para definir y comprender este momento vital desde el aporte y advenimiento de la gerontología, tienen efectos en la construcción de la subjetividad e identidad prejuicios que producen activamente sentimientos de rechazo y desvalorización hacia la vejez como etapa no deseable para ser vivida. Preservar la memoria va de la mano de preservar la identidad; la acción de anudar un recuerdo con otro produciendo un nuevo sentido del acontecimiento narrado, preserva el sentimiento de mismidad otorgando identidad y subjetividad al ser. Objetivos: En este trabajo nuestra inquietud es acercar algunasreflexiones teóricas sobre ciertas observaciones en las personas mayores que muestran un interés particular en realizar talleres de memoria y estimulación cognitiva, expresando su temor a cumplirse la fantasía de adquirir la enfermedad de Alzheimer o de perder la lucidez mental, asociando rápidamente vejez con deterioro y enfermedad mental. Desde esta perspectiva, nos interesa articular y extender más allá del principio de enfermedad que subyace en los mayores con respecto a los olvidos, el valor de la memoria cumpliendo su función coherentizante de la historia singular. A la vez, enfatizar el envejecimiento como un escenario actual, donde aún, y a pesar del auge de los estudios en gerontología, no podemos dar por acabadas y superadas algunas de las visiones teóricas ideológicas, donde subyacen todavía visiones prejuiciosas. Por ello, sería preciso rescatar y dilucidar sus problemáticas específicas, y plantear revisiones críticas, que enfaticen el lugar de los mayores como actores partícipes del cambio cultural. Metodología: Partimos de considerar las observaciones realizadas a las personas mayores que concurren a diferentes talleres de memoria e incorporamos para el análisis las evaluaciones que los mayores realizan al finalizar la actividad a modo de aprovechamiento de la experiencia. Dichas evaluaciones fueron cotejadas con las encuestas que completan al inicio de la actividad en las que expresan susobjetivos y expectativas de realizar al taller. Resultados: Encontramos en consonancia con lo que diferentes investigaciones han demostrado, que los estereotipos negativos hacia la vejez, generan unasensación de 'amenaza' a la integridad personal, promueven un menor rendimiento a nivel de la memoria, en el sentimiento de autoeficiencia, en la capacidad para la escritura, en trastornos de salud, y en toda una serie de retiros anticipados de compromisos sociales, laborales y sexuales. En los distintos recorridos encontramos que los déficits que se ven en la memoria de los adultos mayores no provienen mayormente de cuestiones biológicas sino que se adquieren desde las representaciones sociales y sus efectos. Conclusiones: La significación que los mismos mayores le otorgan al señalar que la memoria 'no es más la de antes', pone en evidencia el valor y la significación que le dan al cambio. Así es que pensamos que las transformaciones profundas y las vivencias de cambios en todos los diferentes planos de la subjetividad en el envejescente jaquean 'lo conocido', un presente nuevo a investir, y las cuestiones que hagan a la memoria se volverían vitales, ya no por las recomendaciones en tanto evitar el deterioro, sino porque la construcción-reconstrucción de un pasado es necesaria para investir el presente y el futuro