Anelli booleani, reticoli booleani e algebre di Boole

Presentazione di anelli booleani, reticoli booleani e algebre di Boole e spiegazione di come e perché sia possibile che lo studio di ciascuna di esse sia equivalente allo studio delle altre due. Trattazione dell'esempio dell'insieme delle parti di un insieme arbitrario, rappresentazione di esso sia come anello booleano che come reticolo booleano e algebra di Boole e descrizione della sua importanza mediante il teorema di Stone (formulato per ciascuna struttura booleana). Rappresentazione dei reticoli distributivi e degli ideali d'ordine di un insieme parzialmente ordinato, per giungere al teorema di Birkhoff.

Adattamento e valutazione del software di ricostruzione Patatrack per rivelatori a pixel applicato a dati TrackML

La ricostruzione delle traiettorie delle particelle prodotte dai vertici di interazione a LHC è di fondamentale importanza per tutti gli esperimenti. Questo passo è uno dei più dispendiosi in termini di tempo e calcolo computazionale nella catena di ricostruzione dell’evento e diventa sempre più complesso con l’aumentare del numero di collisioni. L’esperimento CMS adotta un rivelatore di tracciamento con tecnologia al silicio, dove la parte più interna sfrutta rivelatori con geometria a pixel, mentre la parte esterna utilizza delle strisce di silicio. Per quanto riguarda la ricostruzione nel rivelatore a pixel, sono stati sviluppati diversi algoritmi ottimizzati per fronteggiare l’alto rate di acquisizione dati, sfruttando anche il calcolo parallelo su GPU, con un’efficienza di tracciamento comparabile o superiore agli algoritmi precedentemente utilizzati. Questi nuovi algoritmi sono alla base del software Patatrack per la ricostruzione delle traiettorie. Il lavoro descritto in questa tesi punta ad adattare Patatrack ad una geometria diversa e più complessa di quella di CMS e di valutarne le prestazioni di fisica e computazionali. Sono stati utilizzati i dati forniti dalla TrackML challenge, il cui scopo è incentivare lo sviluppo di nuovi algoritmi di ricostruzione di tracce per gli esperimenti in fisica delle alte energie. E' stato condotto uno studio approfondito della nuova geometria per potervi successivamente adattare il software esistente. Infine, la catena di ricostruzione è stata modificata per poter utilizzare i dati forniti dalla TrackML challenge e permettere la ricostruzione delle traiettorie.

Sul comportamento delle orbite di onde interne in biliardi di forma parabolica

Si studia il comportamento di particelle in un tipo particolare di biliardo dinamico, in cui le riflessioni sul bordo avvengono attraverso l’inversione dell’angolo che la traiettoria compie rispetto a una direzione verticale fissata, invece della solita normale alla curva à la Fresnel. L'interesse in questo argomento deriva dall'evidenza sperimentale di un comportamento simile nella propagazione di onde entro fluidi stratificati: questa tipologia di biliardo è quindi spesso detta biliardo di onde interne. Lo studio di questi oggetti, sebbene puramente matematico, può dare luogo a peculiari considerazioni fisiche ed applicative. Notevolmente, la frequente presenza di attrattori in tali modelli suggerisce che fenomeni di concentrazione delle onde interne dovuti a tale regola di riflessione potrebbero avere un ruolo in alcuni sistemi reali, come la circolazione oceanica. Dopo aver passato in rassegna alcuni elementi della teoria di Poincaré degli omeomorfismi del cerchio, e alcuni risultati specifici sui biliardi di onde interne, si studia il caso particolare di un biliardo di forma parabolica, tagliato da un segmento normale al suo asse di simmetria. In quest'ultimo contesto, si dimostrano alcuni risultati originali sul comportamento delle traiettorie.

L'Integrale di Perron: una Estensione dell'Integrale di Lebesgue, e Applicazioni

Il matematico tedesco Oscar Perron, tra il 1910 e il 1914, introduce l'integrale che porterà il suo nome con lo scopo di risolvere una limitazione negli integrali di Riemann e di Lebesgue. Il primo a studiare questo integrale è Denjoy nel 1912 il cui integrale si dimostrerà essere equivalente a quello di Perron. Oggi è più utilizzato l'integrale di Henstock-Kurzweil, studiato negli anni '60, anch'esso equivalente ai due precedenti. L'integrale di Perron rende integrabili tutte le funzioni che sono la derivata di una qualche funzione e restituisce l'analogo del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale nella versione di Torricelli-Barrow. L'integrale di Perron estende e prolunga l'integrale di Lebesgue, infatti se una funzione è sommabile secondo Lebesgue è anche Perron-integrabile e i due integrali coincidono. Per le funzioni non negative vale anche il viceversa e i due integrali sono equivalenti, ma in generale non è così, esistono infatti funzioni Perron-integrabili ma non sommabili secondo Lebesgue. Una differenza tra questi due integrali è il fatto che quello di Perron non sia un integrale assolutamente convergente, ovvero, la Perron integrabilità di una funzione non implica l'integralità del suo valore assoluto; questa è anche in parte la ragione della poca diffusione di questo integrale. Chiudono la tesi alcuni esempi di funzioni di interesse per la formula di "Torricelli-Barrow" e anche un notevole teorema che non sempre si trova nei libri di testo: se una funzione è derivabile in ogni punto del dominio e la sua derivata prima è sommabile allora vale la formula di "Torricelli-Barrow".

Legami tra la misura di Lebesgue e la misura di Hausdorff n-dimensionale

Si vuole definire una misura sullo spazio R^n, cioè la misura di Hausdorff, che ci permetta di assegnare le nozioni di "lunghezza", "area", "volume" ad opportuni sottoinsiemi di R^n. La definizione della misura di Hausdorff sarà basata sulla richiesta che il ricoprimento segua la geometria locale dell'insieme da misurare. In termini matematici, questa richiesta si traduce nella scelta di ricoprimenti di diametro "piccolo". Si darà risalto al fatto che le due misure coincidano sui Boreliani di R^n e si estenderanno le relazioni tra le due misure su R^n ad un generico spazio di Banach. Nel primo capitolo, si danno delle nozioni basilari di teoria della misura, in particolare definizioni e proprietà che valgono per le misure di Hausdorff. Nel secondo capitolo, si definiscono le misure di Hausdorff, si dimostra che sono misure Borel-regolari, si vedono alcune proprietà di base legate a trasformazioni insiemistiche, si dà la definizione di dimensione di Hausdorff di un insieme e si mostrano esempi di insiemi "non regolari", cioè la cui dimensione non è un numero naturale. Nel terzo capitolo, si dimostra il Teorema di Ricoprimento di Vitali, fondato sul principio di massimalità di Hausdorff. Nel quarto capitolo, si dimostra che per ogni insieme Boreliano di R^n, la misura di Lebesgue e la misura di Hausdorff n-dimensionali coincidono. A tale scopo, si fa uso del Teorema del Ricoprimento di Vitali e della disuguaglianza isodiametrica, che verrà a sua volta dimostrata utilizzando la tecnica di simmetrizzazione di Steiner. Infine, nel quinto capitolo, si osserva che molte delle definizioni e proprietà viste per le misure di Hausdorff in R^n sono generalizzabili al contesto degli spazi metrici e si analizza il legame tra la misura di Hausdorff e la misura di Lebesgue nel caso di uno spazio di Banach n-dimensionale.

Progettazione di un sistema per la movimentazione del simulatore di Sole di un banco di prova per la determinazione e il controllo d'assetto di nanosatelliti

Nel presente documento si discute la progettazione di una guida lineare curva allo scopo di permettere la movimentazione di un simulatore di Sole per nanosatelliti. Vengono presentati i nanosatelliti e vengono introdotti alcuni metodi di rappresentazione d’assetto, per proseguire con una descrizione dei sensori di Sole per la determinazione d’assetto. Si descrive, poi, il banco di prova per il controllo e la determinazione d’assetto presente nel Laboratorio di Microsatelliti e Microsistemi Spaziali e, di seguito, il progetto delle guide con il confronto tra le opzioni commerciali disponibili. Infine, si descrive la progettazione degli elementi di collegamento tra il simulatore e i cursori.

Progetto preliminare di una camera a vuoto per il test di propulsori al plasma

L'obiettivo della seguente tesi è realizzare il progetto preliminare di una camera a vuoto adatta al test di propulsori elettrici in generale. Di seguito, vengono analizzati i principali vantaggi e svantaggi delle tecnologie maggiormente utilizzate nei sistemi per l'alto vuoto, i criteri per la scelta del tipo di architettura di pompaggio più adatta e per il dimensionamento delle pompe. La ricerca di alcuni test, presenti in letteratura, permette di avere parametri di riferimento in base al tipo e alla potenza dei thruster utilizzati. Tramite l'analisi strutturale di una camera sottoposta a pressione esterna è possibile ricavare dimensioni e spessore delle pareti; viene, poi, realizzato un disegno CAD della camera e verificato il dimensionamento strutturale, simulando il carico di pressione esterna, tramite un'analisi FEM-FEA utilizzando il software Solidworks. Infine, vengono elencate le caratteristiche finali della camera a vuoto e, tramite lo studio di modelli matematici che permettono di studiare e quantificare i principali fattori di perdita (outgassing, infiltrazione, throughput del thruster ecc.), si ricava la curva della pressione rispetto al tempo del sistema completo.

Formule di rappresentazione e disuguaglianze di Sobolev e Poincaré

La tesi si suddivide in tre capitoli. Nel primo capitolo viene presentata una prima dimostrazione della disuguaglianza di Sobolev. La prova del Capitolo 1 si basa in modo essenziale sul fatto che R^ n è prodotto cartesiano di R per se stesso n volte. Nel Capitolo 2 si introducono i cosiddetti potenziali di Riesz Iα, con 0 < α < n che sono una tra le più importanti classi di operatori di convoluzione. Vediamo come sia possibile legare la teoria di questi operatori di tipo integrale frazionario a formule di rappresentazione . Il teorema principale di questo capitolo è il teorema di Hardy-Littlewood-Sobolev: si forniscono stime in norma L^p per tali operatori. La prova di tale teorema che qui abbiamo fornito segue l’idea di dimostrazione di Hedberg ed è basata sull’uso della disuguaglianza di Holder e sulle stime per la funzione massimale di Hardy-Littlewood. Le stime per il nucleo di Riesz I_1 sono state utilizzate nel Capitolo 3 per dimostrare le disuguaglianze di Sobolev e Poincaré nel caso p ∈]1, n[. Il caso p = 1 viene trattato a parte in quanto, nel caso p = 1, il teorema di Hardy-Littlewood- Sobolev fornisce solo una stima di tipo debole per il nucleo di Riesz I_1. Questo tipo di approccio, mediante le formule di rappresentazione, ha il vantaggio che può essere adattato a contesti geometrici diversi da quello Euclideo e a misure diverse della misura di Lebesgue. Infine, sempre nel Capitolo 3 abbiamo dato un breve cenno del collegamento che si ha tra la disuguaglianza di Sobolev nel caso p=1 e il problema isoperimetrico in R^n.

Processi di semi-Markov a tempo discreto

Studio della teoria dei processi di semi-Markov nella modellizzazione a tempo discreto. Introduzione delle catene di rinnovo di Markov, del nucleo di semi-Markov e delle catene di semi-Markov, risultati ad essi relativi. Analisi delle equazioni di rinnovo di Markov, caratterizzazione degli stati di una catena di semi-Markov, teorema di esistenza e unicità dell'equazione di rinnovo di Markov. Un esempio concreto.

Soluzioni Deboli di Equazioni Differenziali Stocastiche: il Problema della Martingala di Stroock e Varadhan

In questa tesi si definisce il problema della martingala, fondamentale in quanto la sua esistenza e unicità della soluzione coincidono con l'esistenza e unicità delle soluzioni deboli delle SDE. Nel Capitolo 1 vengono richiamate alcune nozioni di topologia negli spazi metrici, in particolare la nozione di tightness e il Teorema di Prokhorov. Nel Capitolo 2 vengono introdotte le equazioni differenziali stocastiche, con cenni a risultati di esistenza e unicità forte. Nel Capitolo 3 viene definito il problema della martingala, viene dimostrata la sua equivalenza con il problema delle soluzioni deboli; infine, vengono enunciati e dimostrati importanti risultati di esistenza e unicità.

Dispositivi organ-on-chip per l' ingegnerizzazione di tessuto cardiaco destinato allo screening farmacologico

Negli ultimi anni, nell' ambito dell' ingegneria dei tessuti, ha avuto un rapido aumento la generazione di tessuti cardiaci miniaturizzati, per lo studio della fisiologia cardiaca e delle patologie. In questa tesi, viene analizzato un processo di realizzazione di un dispositivo heart-on-a-chip recentemente pubblicato da Jayne et al. Per il processo di fabbricazione dei dispositivi è stata utilizzata una combinazione di Soft Lithography e Direct Laser Writing (DLW). Quest' ultima, in particolare, ha fornito due importanti caratteristiche ai dispositivi deputati alla semina cellulare: una struttura curva lungo l’ asse verticale e strutture 3D di diverse altezze sullo stesso piano. Tramite DLW sono stati realizzati anche precisi punti di adesione per le cellule staminali pluripotenti indotte, che hanno consentito di controllare la geometria dei tessuti ingegnerizzati. In particolare, oltre al processo di fabbricazione, in questo lavoro vengono anche illustrate le procedure necessarie al fine di calibrare i microsensori utilizzati per monitorare i costrutti. La prima fase della calibrazione si occupa di determinare la responsività meccanica dei sensori di spostamento, mentre la seconda valuta quella dei sensori elettrici, deputati alla conversione di spostamenti in variazioni di resistenza elettrica.

Tecniche di apprendimento automatico per la ricerca di eventi top-top con l’esperimento ATLAS a LHC

Il Modello Standard è attualmente la teoria che meglio spiega il comportamento della fisica subnucleare, includendo la definizione delle particelle e di tre delle quattro forze fondamentali presenti in natura; risulta però una teoria incompleta sulle cui integrazioni i fisici stanno lavorando in diverse direzioni: uno degli approcci più promettenti nella ricerca di nuova fisica risulta essere quello delle teorie di campo efficaci. Il vertice di interazione del processo di produzione di coppie di quark top dello stesso segno a partire da protoni è fortemente soppresso nel Modello Standard e deve quindi essere interpretato con le teorie di campo efficaci. Il presente elaborato si concentra su questo nuovo approccio per la ricerca di quark top same-sign e si focalizza sull’utilizzo di una rete neurale per discriminare il segnale dal fondo. L’obiettivo è capire se le prestazioni di quest’ultima cambino quando le vengono fornite in ingresso variabili di diversi livelli di ricostruzione. Utilizzando una rete neurale ottimizzata per la discriminazione del segnale dal fondo, le si sono presentati tre set di variabili per l’allenamento: uno di alto livello, il secondo strettamente di basso livello, il terzo copia del secondo con aggiunta delle due variabili principali di b-tagging. Si è dimostrato che la performance della rete in termini di classificazione segnale-fondo rimane pressoché inalterata: la curva ROC presenta aree sottostanti le curve pressoché identiche. Si è notato inoltre che nel caso del set di variabili di basso livello, la rete neurale classifica come input più importanti gli angoli azimutali dei leptoni nonostante questi abbiano distribuzioni identiche tra segnale e fondo: ciò avviene in quanto la rete neurale è in grado di sfruttare le correlazioni tra le variabili come caratteristica discriminante. Questo studio preliminare pone le basi per l’ottimizzazione di un approccio multivariato nella ricerca di eventi con due top dello stesso segno prodotti a LHC.

Progettazione di un veicolo a guida automatica per linee di assemblaggio automotive

Questa tesi tratta la progettazione meccanica di un prototipo di veicolo a guida automatica (AGV). A partire dallo studio dello stato dell'arte e da considerazioni dinamiche su stabilità in frenata/accelerazione/curva si è definita la geometria di base. E' poi seguita la progettazione dei vari gruppi che compongono il veicolo, accompagnata dalle necessarie verifiche strutturali.

Gruppi di Galois primitivi ed imprimitivi

L'obiettivo di questa tesi è la caratterizzazione dei gruppi di Galois di alcune classi di polinomi separabili e risolubili per radicali. Questa classificazione si baserà sulle proprietà di primitività e imprimitività di tali gruppi, proprietà che descrivono il carattere della loro azione permutativa sulle radici dei polinomi. Da tale analisi potremo inoltre dedurre importanti informazioni sui polinomi, i quali, a loro volta, saranno detti primitivi o imprimitivi. Dopo aver ricordato alcune definizioni e risultati fondamentali di Teoria di Galois e Teoria dei gruppi, studieremo alcuni gruppi di permutazioni, concentrandoci in particolare sul gruppo lineare affine e sul prodotto intrecciato di due gruppi di permutazioni: tali oggetti costituiscono, infatti, gli strumenti principali per la descrizione dei gruppi di Galois che affronteremo negli ultimi capitoli. Nel Capitolo 3, in particolare, ci concentreremo su polinomi imprimitivi di grado p², con p primo. Nel quarto, invece, dimostreremo un potente Teorema che fornisce una notevole caratterizzazione dei gruppi di Galois di tutti i polinomi primitivi e risolubili per radicali.

Formule di media per funzioni armoniche

Questa tesi tratta delle proprietà fondamentali delle funzioni armoniche. Nel primo Capitolo utilizziamo il teorema della divergenza per ottenere importanti identità integrali quali la formula di rappresentazione di Green e la formula dell'integrale di Poisson; tali identità ci permettono di mostrare nel secondo Capitolo che per le funzioni armoniche valgono le formule di media e, in particolare, queste rappresentano una proprietà caratterizzante per tali funzioni. Le formule di media rappresentano un ottimo punto di partenza per lo studio delle proprietà delle funzioni armoniche che osserviamo nel terzo Capitolo; da esse è possibile ottenere il principio del massimo e del minimo forte e la disuguaglianza di Harnack. Da queste due è possibile ottenere alcune importanti proprietà sulla convergenza di successioni di funzioni armoniche; in particolare osserviamo che una successione di funzioni armoniche convergente converge ad una funzione armonica.