RIEMANN ZETA ZEROS AND PRIME NUMBER SPECTRA IN QUANTUM FIELD THEORY

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)

An Invitation to Additive Prime Number Theory

2000 Mathematics Subject Classification: 11D75, 11D85, 11L20, 11N05, 11N35, 11N36, 11P05, 11P32, 11P55.

On some Extremal Problems of Landau

2000 Mathematics Subject Classification: Primary: 42A05. Secondary: 42A82, 11N05.

Irrégularités dans la distribution des nombres premiers et des suites plus générales dans les progressions arithmétiques

Le sujet principal de cette thèse est la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est-à-dire des nombres premiers de la forme $qn+a$, avec $a$ et $q$ des entiers fixés et $n=1,2,3,\dots$ La thèse porte aussi sur la comparaison de différentes suites arithmétiques par rapport à leur comportement dans les progressions arithmétiques. Elle est divisée en quatre chapitres et contient trois articles. Le premier chapitre est une invitation à la théorie analytique des nombres, suivie d'une revue des outils qui seront utilisés plus tard. Cette introduction comporte aussi certains résultats de recherche, que nous avons cru bon d'inclure au fil du texte. Le deuxième chapitre contient l'article \emph{Inequities in the Shanks-Rényi prime number race: an asymptotic formula for the densities}, qui est le fruit de recherche conjointe avec le professeur Greg Martin. Le but de cet article est d'étudier un phénomène appelé le <>, qui s'observe dans les <>. Chebyshev a observé qu'il semble y avoir plus de premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$. De manière plus générale, Rubinstein et Sarnak ont montré l'existence d'une quantité $\delta(q;a,b)$, qui désigne la probabilité d'avoir plus de premiers de la forme $qn+a$ que de la forme $qn+b$. Dans cet article nous prouvons une formule asymptotique pour $\delta(q;a,b)$ qui peut être d'un ordre de précision arbitraire (en terme de puissance négative de $q$). Nous présentons aussi des résultats numériques qui supportent nos formules. Le troisième chapitre contient l'article \emph{Residue classes containing an unexpected number of primes}. Le but est de fixer un entier $a\neq 0$ et ensuite d'étudier la répartition des premiers de la forme $qn+a$, en moyenne sur $q$. Nous montrons que l'entier $a$ fixé au départ a une grande influence sur cette répartition, et qu'il existe en fait certaines progressions arithmétiques contenant moins de premiers que d'autres. Ce phénomène est plutôt surprenant, compte tenu du théorème des premiers dans les progressions arithmétiques qui stipule que les premiers sont équidistribués dans les classes d'équivalence $\bmod q$. Le quatrième chapitre contient l'article \emph{The influence of the first term of an arithmetic progression}. Dans cet article on s'intéresse à des irrégularités similaires à celles observées au troisième chapitre, mais pour des suites arithmétiques plus générales. En effet, nous étudions des suites telles que les entiers s'exprimant comme la somme de deux carrés, les valeurs d'une forme quadratique binaire, les $k$-tuplets de premiers et les entiers sans petit facteur premier. Nous démontrons que dans chacun de ces exemples, ainsi que dans une grande classe de suites arithmétiques, il existe des irrégularités dans les progressions arithmétiques $a\bmod q$, avec $a$ fixé et en moyenne sur $q$.

ON THE MINIMUM ABSOLUTE VALUE of THE DISCRIMINANT of ABELIAN FIELDS of DEGREE p(2)

Let p be a prime number. A formula for the minimum absolute value of the discriminant of all Abelian extensions of Q of degree p(2) is given in terms of p.

Modules d'endo-permutation

Dans la th´eorie des repr´esentations modulaires des groupes finis, les modules d?endo-permutation occupent une place importante. En e_et, c?est le r?ole jou´e par ces modules dans l?analyse de la structure de certains modules simples pour des groupes finis p-nilpotents, qui a amen´e E. Dade `a en introduire le concept, en 1978. Quelques ann´ees plus tard, L. Puig a d´emontr´e que la source de n?importe quel module simple pour un groupe fini p-r´esoluble quelconque est un module d?endo-permutation. Plus r´ecemment, on s?est rendu compte que ces modules interviennent aussi dans l?analyse locale des cat´egories d´eriv´ees et dans l?´etude des syst`emes de fusion. La situation que l?on consid`ere est la suivante. On se donne un nombre premier p, un p-groupe fini P, un corps alg´ebriquement clos k de caract´eristique p et on veut d´eterminer tous les kP-modules d?endo-permutation couverts ind´ecomposables de type fini, c?est-`a-dire tous les kP-modules ind´ecomposables de type fini, tels que leur alg`ebre d?endomorphismes est un kP-module de permutation ayant un facteur direct trivial. On d´efinit une relation d?´equivalence sur l?ensemble de ces kP-modules et le produit tensoriel des modules induit une structure de groupe ab´elien sur l?ensemble des classes d?´equivalence. On appelle ce groupe, le groupe de Dade de P. Ainsi, classifier les modules d?endo-permutation couverts revient `a d´eterminer le groupe de Dade de P. Le groupe de Dade d?un p-groupe fini arbitraire est encore inconnu, bien qu?E. Dade, en 1978, ´etait d´ej`a parvenu `a la classification dans le cas o`u P est ab´elien. La premi`ere partie de ce travail de th`ese est consacr´ee au probl`eme de la classification dans le cas g´en´eral et r´esoud la question dans le cas de deux familles de p-groupes finis, `a savoir celle des p-groupes m´etacycliques, pour un nombre premier p impair, et celle des 2-groupes extrasp´eciaux, de la forme D8 _ · · · _ D8. Ces deux choix ont ´et´e motiv´es par le fait que ces groupes sont "presque" ab´eliens. De plus, certains r´esultats sur la structure du groupe de Dade d?un p-groupe fini quelconque rendent le groupe de Dade des groupes de ces deux familles plus simple `a ´etudier. Dans un deuxi`eme temps, nous nous sommes int´eress´es `a deux occurrences de ces modules dans la th´eorie de la repr´esentation des groupes finis, c?est-`a-dire `a deux raisons qui motivent leur ´etude. Ainsi, nous avons r´ealis´e des modules d?endo-permutation comme sources de modules simples. En particulier, il s?av`ere que, dans le cas d?un nombre premier p impair, tout module d?endo-permutation ind´ecomposable dont la classe est un ´el´ement de torsion dans le groupe de Dade est la source d?un module simple. Finalement, nous avons d´etermin´e, parmi tous les modules d?endo-permutation connus actuellement, lesquels poss`edent une r´esolution de permutation endo-scind´ee. Nous sommes arriv´es `a la conclusion que les seuls modules d?endo-permutation qui n?ont pas de r´esolution de permutation endo-scind´ee sont les modules "exceptionnels" apparaissant pour un 2-groupe de quaternions g´en´eralis´es.<br/><br/>In modular representation theory, endo-permutation modules occupy an important position. Indeed, the role that these modules play, in the analysis of the structure of some particular simple modules for finite p-nilpotent groups, induced E. Dade, in 1978, to give them their current name. A few years later, L. Puig proved that the source of any simple module for any finite psolvable group is an endo-permutation module. More recently, the occurrence of endo-permutation modules has also been noticed in the local analysis of splendid equivalences between derived categories and in the study of fusion systems. We consider the following situation. Given a prime number p, a finite pgroup P and an algebraically closed field k of characteristic p, we are looking for all finitely generated indecomposable capped endo-permutation kP-modules. That is, all finitely generated indecomposable kP-modules such that their endomorphism algebra is a permutation kP-module having a trivial direct summand. Then, we define an equivalence relation on the set of all isomorphism classes of such modules, and it turns out that the tensor product (over k) induces a structure of abelian group on this set. We call this group the Dade group of P. Hence, classifying all indecomposable finitely generated capped endo-permutation kPmodules is equivalent to determining the Dade group of P. At present, the Dade group of an arbitrary finite p-group is still unknown. However, E. Dade computed the Dade group of all finite abelian p-groups, in 1978 already. The first part of this doctoral thesis is concerned with the problem of the classification in the general case and solve it in the case of two families of finite p-groups, namely the metacyclic p-groups, for an odd prime number p, and the extraspecial 2-groups of the shape D8 _· · ·_D8. These two choices have been motivated by the fact that these groups are not far from being abelian. Moreover, some general results concerning the Dade group of arbitrary finite p-groups suggest that the Dade group of the groups belonging to these two families is easier to study. In the second part of this thesis, we have been looking at two particular occurrences of these modules in representation theory of finite groups which motivate the interest of their classification. Thus, we realised endo-permutation modules as sources of simple modules. In particular, it turns out that, in case p is an odd prime, any indecomposable module whose class in the Dade group is a torsion element is the source of some simple module. Finally, we considered all the modules we know at present and determined which ones have an endo-split permutation resolution. We could then conclude that all but the "exceptionnal" modules occurring in the generalized quaternion case have an endo-split permutation resolution.<br/><br/>"Module d?endo-permutation" n?est pas le nom d?une maladie exotique contagieuse (du moins pas `a ma connaissance), comme vous pourriez peut-?etre l?imaginer si vous faites partie des personnes qui croient que le titre de docteur n?est destin´e qu?aux m´edecins. Dans ce cas, il se peut que le sujet dont il est question ici vous cause quelques naus´ees et r´eveille de douloureux souvenirs d?´ecole, car un module d?endo-permutation est un objet math´ematique, alg´ebrique, plus pr´ecis´ement. Ce concept a ´et´e introduit il y a un quart de si`ecle, de l?autre c?ot´e de l?Atlantique, et il s?est r´ev´el´e su_samment int´eressant pour qu?aujourd?hui il ait franchi bien des fronti`eres, celles de l?alg`ebre y compris. Mais de quoi s?agit-il ? Si vous entendez le terme "endo-permutation" probablement pour la premi`ere fois, ce n?est certainement pas le cas pour celui de "module". Cependant, sa d´efinition dans le pr´esent contexte ne co¨ýncide avec aucune de celles figurant dans les dictionnaires ordinaires. Les personnes qui ont d´ej`a entendu parler de Frobenius, Burnside, Schur, ou encore Brauer, pourront vous dire qu?un module est une repr´esentation. "De quoi ?" vous demanderezvous. "Un spectacle de marionnettes, peut-?etre ?" Bien s?ur que non ! Un module d?endo-permutation est une repr´esentation particuli`ere de certains groupes finis, o`u un groupe n?est pas un groupe de rock, comme vous pouvez vous en douter, mais d´esigne un objet math´ematique connu par tous les ´etudiants en sciences au terme de leur premi`ere ann´ee universitaire (en th´eorie, du moins). La "popularit´e" de la notion de groupe, fini ou non, est due au fait que les groupes sont fr´equemment utilis´es, aussi bien dans le domaine abstrait des math´ematiques, que dans le monde r´eel des physiciens, chimistes et autres biologistes (pour ne citer qu?eux). "Mais comment peut-on utiliser concr`etement ces objets invisibles ?" vous demanderez-vous alors. Et bien, justement, en les consid´erant par l?interm´ediaire de leurs repr´esentations, c?est-`a-dire en leur associant des matrices, de fa¸con plus ou moins naturelle. Or, comme il y a "beaucoup trop" de matrices pour un groupe donn´e, elles sont classifi´ees selon certaines de leurs propri´et´es, ce qui permet de les r´epertorier dans diverses familles (celle des modules d?endo-permutation, par exemple). Un groupe est ainsi rendu "concret", car les donn´ees matricielles sont manipulables par tous les scienti- fiques (et leurs ordinateurs), qui peuvent alors les utiliser dans leurs recherches, afin de contribuer au progr`es de la science. En toute franchise, c?est bien loin de ces soucis terre-`a-terre que ce travail de th`ese sur la classification des modules d?endo-permutation a ´et´e accompli. En fait, quitte `a choquer certaines ?ames sensibles, sa r´ealisation est surtout due au caract`ere ´epicure de son auteur, qui, avouons-le, en a ´et´e pleinement satisfait !

Sur la répartition des unités dans les corps quadratiques réels

Ce mémoire s'emploie à étudier les corps quadratiques réels ainsi qu'un élément particulier de tels corps quadratiques réels : l'unité fondamentale. Pour ce faire, le mémoire commence par présenter le plus clairement possible les connaissances sur différents sujets qui sont essentiels à la compréhension des calculs et des résultats de ma recherche. On introduit d'abord les corps quadratiques ainsi que l'anneau de ses entiers algébriques et on décrit ses unités. On parle ensuite des fractions continues puisqu'elles se retrouvent dans un algorithme de calcul de l'unité fondamentale. On traite ensuite des formes binaires quadratiques et de la formule du nombre de classes de Dirichlet, laquelle fait intervenir l'unité fondamentale en fonction d'autres variables. Une fois cette tâche accomplie, on présente nos calculs et nos résultats. Notre recherche concerne la répartition des unités fondamentales des corps quadratiques réels, la répartition des unités des corps quadratiques réels et les moments du logarithme de l'unité fondamentale. (Le logarithme de l'unité fondamentale est appelé le régulateur.)

Ein Algorithmus zur numerischen Verifikation der äquivarianten Tamagawazahlvermutung für eine Familie von Zahlkörpererweiterungen

Sei $N/K$ eine galoissche Zahlkörpererweiterung mit Galoisgruppe $G$, so dass es in $N$ eine Stelle mit voller Zerlegungsgruppe gibt. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen, die für das gegebene Fallbeispiel $N/K$, die äquivariante Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach für das Paar $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$ (numerisch) verifizieren. Grob gesprochen stellt die äquivariante Tamagawazahlvermutung (im Folgenden ETNC) in diesem Spezialfall einen Zusammenhang her zwischen Werten von Artinschen $L$-Reihen zu den absolut irreduziblen Charakteren von $G$ und einer Eulercharakteristik, die man in diesem Fall mit Hilfe einer sogenannten Tatesequenz konstruieren kann. Unter den Voraussetzungen 1. es gibt eine Stelle $v$ von $N$ mit voller Zerlegungsgruppe, 2. jeder irreduzible Charakter $\chi$ von $G$ erfüllt eine der folgenden Bedingungen 2a) $\chi$ ist abelsch, 2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$ und $\chi$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von induzierten trivialen Charakteren; wird ein Algorithmus entwickelt, der ETNC für jedes Fallbeispiel $N/\mathbb{Q}$ vollständig beweist. Voraussetzung 1. erlaubt es eine Idee von Chinburg ([Chi89]) umzusetzen zur algorithmischen Berechnung von Tatesequenzen. Dabei war es u.a. auch notwendig lokale Fundamentalklassen zu berechnen. Im höchsten zahm verzweigten Fall haben wir hierfür einen Algorithmus entwickelt, der ebenfalls auf den Ideen von Chinburg ([Chi85]) beruht, die auf Arbeiten von Serre [Ser] zurück gehen. Für nicht zahm verzweigte Erweiterungen benutzen wir den von Debeerst ([Deb11]) entwickelten Algorithmus, der ebenfalls auf Serre's Arbeiten beruht. Voraussetzung 2. wird benötigt, um Quotienten aus den $L$-Werten und Regulatoren exakt zu berechnen. Dies gelingt, da wir im Fall von abelschen Charakteren auf die Theorie der zyklotomischen Einheiten zurückgreifen können und im Fall (b) auf die analytische Klassenzahlformel von Zwischenkörpern. Ohne die Voraussetzung 2. liefern die Algorithmen für jedes Fallbeispiel $N/K$ immer noch eine numerische Verifikation bis auf Rechengenauigkeit. Den Algorithmus zur numerischen Verifikation haben wir für $A_4$-Erweiterungen über $\mathbb{Q}$ in das Computeralgebrasystem MAGMA implementiert und für 27 Erweiterungen die äquivariante Tamagawazahlvermutung numerisch verifiziert.

Beurling zeta functions, generalised primes, and fractal membranes

We study generalised prime systems P (1 < p(1) <= p(2) <= ..., with p(j) is an element of R tending to infinity) and the associated Beurling zeta function zeta p(s) = Pi(infinity)(j=1)(1 - p(j)(-s))(-1). Under appropriate assumptions, we establish various analytic properties of zeta p(s), including its analytic continuation, and we characterise the existence of a suitable generalised functional equation. In particular, we examine the relationship between a counterpart of the Prime Number Theorem (with error term) and the properties of the analytic continuation of zeta p(s). Further we study 'well-behaved' g-prime systems, namely, systems for which both the prime and integer counting function are asymptotically well-behaved. Finally, we show that there exists a natural correspondence between generalised prime systems and suitable orders on N-2. Some of the above results are relevant to the second author's theory of 'fractal membranes', whose spectral partition functions are given by Beurling-type zeta functions, as well as to joint work of that author and R. Nest on zeta functions attached to quasicrystals.

O número de Lefschetz e teoremas do tipo Borsuk-Ulam

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Representação geométrica em Q(zeta_pq)

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Reticulados ideais via corpos abelianos

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Zeros da função zeta de Riemann e o teorema dos números primos

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Critérios de Divisibilidade e Aplicação em Sala de Aula

Pós-graduação em Matemática - IBILCE

Euler characteristics and elliptic curves

Let E be a modular elliptic curve over ℚ, without complex multiplication; let p be a prime number where E has good ordinary reduction; and let F∞ be the field obtained by adjoining to ℚ all p-power division points on E. Write G∞ for the Galois group of F∞ over ℚ. Assume that the complex L-series of E over ℚ does not vanish at s = 1. If p ⩾ 5, we make a precise conjecture about the value of the G∞-Euler characteristic of the Selmer group of E over F∞. If one makes a standard conjecture about the behavior of this Selmer group as a module over the Iwasawa algebra, we are able to prove our conjecture. The crucial local calculations in the proof depend on recent joint work of the first author with R. Greenberg.